Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений,




Скачать 18,35 Kb.
НазваниеИсследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений,
Дата03.02.2016
Размер18,35 Kb.
ТипИсследование

МИНИМИЗАЦИЯ ДИСПЕРСИОННЫХ ЭФФЕКТОВ В РАЗНОСТНОЙ СХЕМЕ ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНЫХ УРАВНЕНИЙ


Ирина АНДРОС, В. БЕРЗАН

MINIMIZATION OF DISPERSIVE EFFECTS IN THE DIFFERENCE SCHEME TELEGRAPHIC EQUATIONS

Abstract. Paper deals with difference scheme for the system of telegraph equations, which describes the potential’s and current’s waves diffusion in a long line, considering Earth as the return line. Using the first differential approximation was obtained the approximation of the differential equations with the minimized influence of the dissipative and dispersing terms.

АННОТАЦИЯ. В работе исследуется расчетная схемах в конечных разностях дя системы гиперболических уравнений, известных в электротехнике как телеграфные уравнения и которые описывают процесс распространения волн потенциала и тока в длинной линии , обратным проводом для которой является земля. Используя метод аппроксимации в конечных разностях первого порядка была получена аппроксимация, при которой обеспечивается минимизация диссипативной и дисперсной составляющих в численном решении


MINIMIZAREA EFECTELOR DE DISPERSIE ÎN SCHEMA ÎN DIFERENŢE FINITE PENTRU ECUAŢIILE TELEGRAFIŞTILOR

REZUMAT. În articolul este cercetată schema în diferenţe pentru sistemul de ecuaţii telegrafice care descrie propagarea undelor potenţialului şi a curentului electric într-o linie lungă, pământul fiind considerat fir invers. Utilizând metoda aproximării diferenţiale de primul ordin a fost obţinută aproximarea ecuaţiilor diferenţiale în care asigură minimizarea influenţei componentelor de disipaţie şi dispersie.

Ведение

Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, затуханий и перенапряжений, но и для решения задач из области диагностики энергооборудования. Точность получаемых решений влияет на достоверность результатов диагностики. Неоднородность электрических длинных линий, потери в линиях их многопроводность усложняют задачу анализа процессов аналитическими методами. С этой точки зрения обоснованным и эффективным является расчет динамических процессов в этих цепях численными методами, в частности методом характеристик. Потери в проводах и в изоляции линии вносят определенную погрешность в результат численного решения задачи из-за присутствия в классической разностной схемы диссипативных и дисперсных компонент. Влияние этих компонент сильнее проявляется при анализе процессов в длинных линиях с относительно высоким уровнем потерь энергии. Как следствие происходит деформирование волн и появление остаточного фона, проявляющегося внешне как белый частотный шум в численном решении. По сути этот фон и деформирование волн во временем является ошибкой численного метода. Рассматриваемая в работе задача имеет целью определения условий при которых минимизируется влияние этих компонент на точность решения получаемого методом характеристик.

Постановка задачи

Для решения поставленной задачи в работе рассматривается разностная схема для системы телеграфных уравне­ний, ко­то­рая описывает распространение волн потенциала и тока в длинной линии с учетом земли как об­рат­ного провода. Необходимо получить условия минимизации влияния диссипативного и дис­пер­си­он­ного членов в расчетной численной схеме непрерывного счета.

Метод и алгоритм решения задачи

Методом первого дифференциального прибли­же­ния по­лу­че­на аппрокси­ма­ция диф­фе­ренциальных уравнений, с целью ми­ни­ми­зи­ро­вания влияния диссипативного и дис­пер­си­он­ного членов.

Рассмотрим в области систему двух дифференциальных уравне­ний в частных производных для неизвестных функций и

, . (1)

Для выделения единственного решения системы (1) зададим следующие на­чаль­ные и граничные условия



, . (2)

Здесь L и R – коэффициенты самоиндукции и активное сопротивление провод­ни­ка на единицу длины, а C и G – емкость и проводимость утечки, рассчитанные на еди­ни­цу длины. Если потери через изоляцию и погонное активное сопротивление пре­не­бре­жимо мало (), тогда система (1) является аналогом известной системы уравнений акустики [1] и описывает процессы распространения волн возмущений без потери энергии, т.е. без диссипации.

В монографии [2] приведена разностная схема, построенная на основе метода рас­пада разрыва С.К. Годунова [3]. На отрезке вводится разностная сетка с шагом h: , , . Кроме того, используются также узлы с полу­це­лы­ми индексами . В со­ответствии с методом распада разрыва под­ле­жа­щие определению не­из­вестные функции отно­сят­ся к узлам и обозначаются , на временном слое (τ– шаг сетки по коор­ди­на­те t) и , – на слое . В це­лых узлах исполь­зу­ют­ся “вспомогательные” вели­чи­ны , , которые выражаются через , . Уравнения (1) аппроксимируются следующим разностным аналогом

,

, (3)

где величины , определяются из соотношений на характеристиках системы (1): ,

. (4)

Граничные условия (2) аппроксимируются формулами

,

. (5)

Построенная разностная схема обладает первым порядком аппроксимации и ус­той­чива при выполнении условия .

Проведенные численные расчеты по схеме (3)-(5) позволили успешно решить ряд прак­ти­чески важных задач [2]. Однако при попытках решения задач со входным сиг­на­лом, имеющим об­ласть резкого изменения значения (большим градиентом), был об­на­ру­жен эффект появления не­фи­зических осцилляций на фронте изменения сигнала. Этот эф­фект проявляется в случае, когда и . Если же , то ос­цил­ляции не появляются, но резкий фронт сигнала “разма­зы­вается”. Такое поведение чис­ленного решения обычно является следствием наличия в разност­ных уравнениях диссипативных и дисперсионных членов большой величины.

Для анализа структуры разностной схемы и минимизации нежелательных эф­фек­тов дис­си­пации и дисперсии воспользуемся методом первого дифференциального приближе­ния (ПДП), предложенным и описанным в [4]. Запишем разностную схему (3) в более простом виде, исполь­зуя обозначения без индексов i, u для , и , для , , а также обще­приз­нан­ные обозначения разностных производных [5]. Воспользуемся соотношениями (4) для исключения из уравнений (3) величин , , тогда получим

,



или

, . (6)

Так как



то схему (6) можно записать в виде

, . (7)

Используя процедуру разложения в ряд Тейлора значений неизвестных функций i, u в окресности базового узла разностной схемы , запишем аппроксимацию диф­фе­рен­циальной системы (1) разностной схемой (7)



,



. (8)

Из формул (8) видно, что разностная схема (7) аппроксимирует уравнения (1) с первым порядком точности по  и h. Со вторым же порядком ап­прок­си­ми­ру­ют­ся уравнения, в которых к (1) добавлены диссипативные члены, содержащие вто­рые про­из­вод­ные , , и дисперсионные члены, содержащие , . Такие уравнения называются пер­вым диффе­рен­циальным приближением (ПДП). В ре­зультате при проведении расчетов с шагом диссипативные члены имеют второй порядок малости, а дисперсионные – первый, что и приводит к появле­нию в решении нефизических осцилляций. Если же , то ос­новной дис­си­па­тив­ный член не равен нулю и поскольку он содержит вторую производную, то на фронтах с большими градиентами он существенно больше дисперсионного члена, что приводит к “раз­ма­зы­ва­нию” фронтов. Из структуры формул (8) видно, что уменьшить влияние дисси­патив­ных и дисперсионных членов в построенной схеме можно только за счет изменения значений имеющих­ся параметров разностной схемы  и h. Причем, если диссипативный член может быть исключен путем выбора значений , то дис­пер­си­он­ный – только за счет уменьшения зна­че­ния времен­ного шага , что приводит к необходимости реше­ния задачи с неоправданно малыми значениями  и h.

Для улучшения качества разностной схемы предлагается изменить аппрок­си­ма­цию сво­бод­ных членов в уравнениях (1). Вместо вычисления среднего значения на двух вре­менных слоях и рассмотрим линейную комбинацию: и , где α и β – неизвестные параметры. Тогда разностная схема в форме уравнений (7) принимает вид

, . (9)

Соответствующие уравнениям (9) ПДП имеет вид



,



. (10)

Из структуры соотношений (10) видно, что основные диссипативные члены, содержащие вторую производную, могут быть исключены как и в предыдущем схеме при , однако на­ли­чие свободных параметров α и β позволяет одновременно занулить и дисперсионные члены, вы­брав их значения равными

, . (11)

Диссипативные члены, содержащие значения функций i и u, остаются ненуле­вы­ми, но их значения на фронте сигнала существенно меньше значений первых и вторых производных и нали­чие множителя, пропорционального шагу τ, обеспечивает прак­тическое отсутствие диссипативных и дисперсионных эффектов при проведении рас­четов. Отметим, что в случае идеальной линии при дисперсионные члены в (10) отсутствуют и расчеты можно проводить по первой схеме (7) при .

Выводы

Полученные теоретические результаты были проверены расчетами на ком­пью­те­ре, кото­рые полностью подтвердили ожидаемое отсутствие нефизических осцилляций и “размазывания” волновых фронтов входного сигнала.

Литература

  1. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их при­ло­же­ния к газовой динамике.–М: Наука, 1968.–592с.

  2. Римский В., Берзан В., Тыршу М. Волновые явления в неоднородных линиях.–Кишинев: Ти­пография Академии Наук, 1997.–296с.

  3. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Числен­ное реше­ние многомерных задач газовой динамики.– М: Наука, 1976.–484с.

  4. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Примене­ние к газо­вой динамике.–Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1985.–364с.

  5. Самарский А.А. Теория разностных схем.–М: Наука, 1977.–656с.

АНДРОС Ирина-преподаватель, кафедра информационных технологий, Институт Непрерывного Образования, Кишинэу, Республика Молдова. Область научных интересов: информатика и численные методы расчета задач из области математической физики. Автор 2 научных публикаций.

Берзан В.П.- д.х.т.н. , зам. директора по науке Института Энергетики АН Молдовы. Область научных интересов: Энергетика, возобновляемая энергетика, процессы в неоднородных электрических цепях и диагностика энергетического, математическое моделирование. Автор 130 научных работ, в том числе 2 монограпфий , 2 справочников , 20 авторских свидетельств и патентов на изобретения.

e-mail: berzan@cc.acad.md



Похожие:

Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, iconИнновационные процессы в развитии сферы услуг украины
Поэтому для определения роли сферы услуг в экономической стратегии государства исследование современных закономерностей развития...
Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, iconКонцентрация напряжений и деформаций
Причины и характерные особенности явления концентрации напряжений. Коэффициент концентрации напряжений. Метод Нейбера для приближенного...
Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, iconРешетников Алексей Алексеевич исследование влияния теплового фактора на формирование остаточных напряжений при шлифовании
Целью работы является исследование влияния теплового фактора на формирование остаточных напряжений при шлифовании стали шх15 hrc...
Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, iconРабочая программа педагога тришкиной Ларисы Леонидовны ( вторая квалификационная категория) по географии для 5 класса Рассмотрено на заседании педагогического совета протокол №1 от «30»августа2012 Пояснительная записка «Начальный курс географии»
Большое внимание уделяется изучению влияния человека на развитие географических процессов. Исследование своей местности используется...
Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, iconТехнические науки
Татьи отечественных и зарубежных ученых и специалистов, отражающие фундаментальные результаты исследований ведущих научных школ в...
Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, iconЦелью изучения дисциплины «Иностранный язык» является: формирование и развитие коммуникативной иноязычной компетенции, необходимой и достаточной, для решения
...
Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, iconКурсовая работа по дисциплине: «Общая и профессиональная педагогика»
Тема данной курсовой работы является актуальной, так как главной задачей технологии профессионального обучения является обеспечение...
Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, iconВопросы и задания для самопроверки
Целью изучения дисциплины является понимание принципов проектирования и строительства промышленных предприятий, освоение методик...
Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, iconРабочая программа дисциплины «Моделирование и оптимизация технологических процессов»
Целью дисциплины является освоение магистрантами вопросов моделирования и оптимизации сложных технологических процессов, для решения...
Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, iconНовгород Факультатив " Экспериментальная физика "
Знания по физике и другим естественным наукам необходимы людям не только для объяснения окружающего мира, но и для использования...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница