Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска»




Скачать 31,38 Kb.
НазваниеУрока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска»
Дата03.02.2016
Размер31,38 Kb.
ТипУрок

Разработка открытого урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска»



Цели урока:

Познавательные:

  • Актуализация знаний об игровых моделях и о методах их решения в условиях неопределенности и риска, знакомство с историей развития теории игр и биографиями великих математиков.

  • Уметь применять полученные знания на практике, при выполнении заданий.

Развивающие:

  • Развивать наблюдательность, самостоятельность в решении учебных проблем;

  • Развивать умения пользоваться приемами сравнения, обобщения, делать выводы;

  • Развивать навыки работы с компьютерными программами;

  • Развивать у учащихся умение добывать необходимую информацию, перерабатывать ее.

  • Развивать метапредметные связи.

Воспитательные:

  • Формировать у студентов собственное отношение к изучаемому материалу, к своей значимости в образовательном процессе.

  • Воспитывать настойчивость, упорство в достижении цели.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Оборудование и дидактический материал:

  • Компьютер;

  • Мультимедиа-проектор;

  • Экран;

  • Кейс по дисциплине “Математические методы”.

Раздаточный материал:

  • Условия практической задачи, требующей построения игровой модели в условиях частичной неопределённости и риска.

Планируемые результаты:

В процессе освоения темы предлагается формирование следующих компетентностей у студентов:

  • получение и обработка информации;

  • использование различных критериев принятия решений в зависимости от ситуации (case-метод);

  • принимать на себя ответственность за получаемое решение;

  • закреплять и применять метапредметные знания;

  • пользоваться приемами сравнения, обобщения, делать выводы;

  • самостоятельно пополнять и систематизировать свои знания.

 

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, сообщение темы и целей урока.


2. Повторение теоретического материала.

Ответы учащихся сопровождаются показом презентации.


 - Что такое теория игр? В чём заключается основная задача теории игр? Как описывается игровая модель?

ТЕОРИЯ ИГР [game theory] — раздел современной математики, изучающий математические модели принятия решений в т. н. конфликтных ситуациях (т. е. ситуациях, при которых интересы участников либо противоположны и тогда эти модели называются антагонистическими играми; либо не совпадают, хотя и не противоположны, и тогда речь идет об “играх с непротивоположными интересами”). Основоположники теории Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн попытались математически описать характерные для рыночной экономики явления конкуренции как некую “игру”. В наиболее простом случае речь идет о противоборстве только двух противников, например, двух конкурентов, борющихся за рынок сбыта (о дуополии). В более сложных случаях в игре участвуют многие, причем они могут вступать между собой в постоянные или временные коалиции, союзы. Игра двух лиц называется парной; когда в ней участвуют n игроков, это “игра n лиц”, в случае образования коалиций игра называется “коалиционной”.

Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения (т. е. выбирает стратегию действий), которые, как он полагает, обеспечивают ему наибольший выигрыш или наименьший проигрыш, причем этому участнику игры ясно, что результат зависит не только от него, но и от действий партнера (или партнеров), иными словами, он принимает решения в условиях неопределенности. Эти решения отражаются в таблице, которая называется матрицей игры, или платежной матрицей.

- Какие методы решения матричных игр вам известны?

1. Поиск седловой точки.

Рассмотрим с этих позиций игру со следующей платёжной матрицей



.

Попробуем порассуждать с точки зрения первого игрока. Если он сделает ход i=1, то наихудшей для него будет ситуация, когда второй игрок сделает ход j=3, так как в этом случае он получит 0. Если первый игрок сделает ход i=2, то в наихудшем случае (при ходе второго игрока j=1) он также получит 0. Аналогично, при i=3 он в наихудшем случае получит 4 (при j=2), при i=4  2 (при j=3 ) и, наконец, при i=5 он в наихудшем случае получит 0 (при j=3).

Стремясь сделать свой гарантированный выигрыш как можно больше, первый игрок должен выбрать ход i=3, так как в этом случае он гарантирует себе выигрыш, равный 4 (правда, и его максимальный выигрыш невелик  всего 5).

А теперь попробуем посмотреть на эту же матрицу с точки зрения второго игрока. Для него это  матрица его проигрыша.

Если он выберет ход j=1, то его максимальный проигрыш будет равен 18 (если первый игрок сделает ход i=1). Аналогично, при j=2 его максимальный проигрыш будет равен 4, при j=3 8, и, наконец, при j=4 его максимальный проигрыш будет равен 25. Стремясь сделать свой максимальный проигрыш как можно меньше, второй игрок должен выбрать ход j=2, так как в этом случае его максимальный проигрыш, равный 4, самый маленький.

Итак, мы пришли к выводу, что первый игрок должен ходить i=3, а второй j=2. Допустим теперь, что второй игрок, как говорят, “открывает карты” и заявляет первому игроку: “Я буду делать ход j=2”. Есть ли первому игроку необходимость менять свой ход? Нет, так как в этом случае его наилучший ход всё равно i=3.

Аналогично, если первый игрок заявит второму, что он будет ходить i=3, то второму игроку также нет смысла менять свой ход, так как наилучшим ответом будет всё равно j=2. Пара i=3, j=2 является, как говорят, уравновешенной парой, так как “открытие карт” игроками не даёт поводов противнику менять свою стратегию. Как говорят, пара i=3, j=2 есть решение игры (седловая точка), а величина выигрыша при этом первого игрока (и одновременно величина проигрыша второго)  4  это цена игры.


Задание 1

1. Решить игру в чистых стратегиях.

2. Выписать седловые точки.

3. Вычислить цену игры.





В1

В2

В3

В4

А1

1

4

1

2

А2

0

5

0

3

А3

1

3

1

3


Решение:





Седловые точки: (А1,В1); (А3,В1); (А1,В3); (А3,В3). V (цена игры) = 1.


2. Использование принципа доминирования.

При выборе своей стратегии из множества допустимых игрок сравнивает по предпочтительности исходы от их применения. Может возникать три типа результатов:

  • Стратегия В доминирует стратегию A, если при любом поведении остальных игроков использование стратегии В приводит к не худшему исходу, нежели использование А. Различают строгое доминирование, когда В дает больший выигрыш, чем А, в любых условиях, и слабое доминирование, если при некоторых действиях других игроков В обеспечивает больший выигрыш, чем А, а при других — одинаковый с ней.

  • Стратегия В доминируется стратегией A, если при любом поведении остальных игроков стратегия В приводит к не лучшему исходу, нежели стратегия А. Аналогично предыдущему случаю, стратегия может доминироваться строго и слабо.

  • Стратегии А и В называются нетранзитивными, если В не доминирует А и А не доминирует В. Это оначает, что в зависимости от выбора стратегий другими игроками, большие выигрыши игроку может обесппечивать как выбор стратегии А, так и В.

Это понятие обобщается на сравнение более чем двух стратегий:

  • Стратегия B называется строго доминирующей, если она строго доминирует любую другую допустимую стратегию игрока.

  • Стратегия B называется слабо доминирующей, если она доминирует любую другую допустимую стратегию игрока, при этом некоторые из них доминируются слабо.

  • Стратегия B называется строго доминируемой, если существует другая стратегия, которая строго ее доминирует.

  • Стратегия B называется слабо доминируемой, если существует другая стратегия, которая слабо ее доминирует.

Задание 2

1. Решить игру.

Указание: использовать принцип доминирования.




В1

В2

В3

В4

В5

А1

-2

1

3

0

1

А2

-3

-4

2

-1

-4

А3

1

-5

6

3

-5

А4

-2

1

3

0

1


Решение:





3. Графический метод решения.

Игры допускают простое графическое толкование и решение, следующее из него. Действительно, пусть игра задана матрицей . На оси абсцисс отложим отрезок 0D, равный 1, и условимся считать, что левый конец отрезка – стратегии А2, тогда промежуточная точка N с координатой x соответствует некоторой смешанной стратегии первого игрока, причём, , , так как при имеем и , и при имеем и .

Вводя ось 0y, можно построить прямую, отвечающую стратегии второго игрока, её уравнение (при каждом x, y даёт значение выигрыша игрока А, когда В применяет стратегию В1). Отметим, что для построения В1 достаточно провести из концов отрезка 0D прямые, не перпендикулярные ему, на левой прямой отложить , на правой – и, соединив их получим прямую В1В1, отвечающую стратегии В1 . Затем аналогично строим стратегию В2 (её уравнение ). Заметим, что при каждом x точки на прямых В1В1 и В2В2 отвечают выигрышем первого игрока при применении вторым игроком стратегий В2 и В1 соответственно. Откуда следует, что ломаная В2КВ1 рис. 2.2 отвечает нижней границе выигрыша игрока А, а значит в точке её максимума, то есть цена игры и точка N отвечает оптимальной стратегии игрока А: .

Для нахождения оптимальной стратегии игрока В, исходя из графика, можно воспользоваться формулами:


; .

Аналогично, меняя ролями x и y, можно построить решение для игрока А.


a21

x

0

x

D

D

0

B1(50)

B1(30)

B2(40)







Графическое толкование игры толкование игры


4. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.

Теперь рассмотрю сведение матричной игры к двойственной задаче линейного программирования. Предполагаю, что матрица Н не содержит седловой точки, поэтому решение игры представлено в смешанных стратегиях.

Соотношениям отыскания и можно поставить в соответствие эквивалентные им задачи

Здесь есть математическое ожидание выигрыша первого игрока.

Тогда для любой чистой стратегии y(j) игрока В



можно записать , а для любой чистой стратегии x(i) игрока А: можно записать .

Следовательно, эти задачи допускают следующую запись в форме задач линейного программирования

,

.

Нетрудно видеть, что эти задачи взаимно двойственные, а поэтому их оптимальные значения должны совпадать, т.е. , где V – цена игры (требуемое значение эффективности).

Для первой задачи положим и , а для второй задачи положим и . Тогда, отыскание оптимальной смешанной стратегии хопт игрока А приводит к необходимости решения следующей задачи линейного программирования: минимизировать линейную функцию при условиях , ; , , а отыскание оптимальной смешанной стратегии уопт игрока В привело к необходимости решения следующей задачи линейного программирования: максимизировать линейную функцию при условиях , ; , .

Исходя из основной теоремы теории двойственности, обе задачи имеют конечное решение и .

Для решения задач линейного программирования применяем симплексный метод. Недостатком данного метода является достаточно большой объём вычислительных операций даже для матрицы с размером . Однако применение ЭВМ снимает это неудобство. Демонстрация презентации «Решение задач линейного программирования в MS Excel».


- Какие игры называются «играми с природой»?

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными ус­ловиями или с природными стихийными силами).

Данный тип задач относится к задачам принятия решений в условиях неопределенности


- Какие критерии принятия решения в «играх с природой» вы можете предложить?


Критерий максимакса.

Критерий максимакса ориентирует статистику на самые благоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает оптимистическую оценку ситуации.

Ai

П1

П2

max(aij)

A1

5

4

5

A2

3

6

6


Выбираем из (5; 6) максимальный элемент max=6

Вывод: выбираем стратегию N=2.

Критерий Байеса.

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.

Считаем значения ∑(aijpj)

∑(a1,jpj) = 5•0.5 + 4•0.5 = 4.5

∑(a2,jpj) = 3•0.5 + 6•0.5 = 4.5

Ai

П1

П2

∑(aijpj)

A1

2.5

2

4.5

A2

1.5

3

4.5

pj

0.5

0.5

0


Выбираем из (4.5; 4.5) максимальный элемент max=4.5

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Вальда.

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

a = max(min aij)

Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Ai

П1

П2

min(aij)

A1

5

4

4

A2

3

6

3


Выбираем из (4; 3) максимальный элемент max=4

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Севиджа.

Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:

a = min(max rij)

Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Находим матрицу рисков.

Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце bj = max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.

1. Расчитываем 1-й столбец матрицы рисков.

r11 = 5 - 5 = 0; r21 = 5 - 3 = 2;

2. Расчитываем 2-й столбец матрицы рисков.

r12 = 6 - 4 = 2; r22 = 6 - 6 = 0;

Ai

П1

П2

A1

0

2

A2

2

0


Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

Ai

П1

П2

max(aij)

A1

0

2

2

A2

2

0

2


Выбираем из (2; 2) минимальный элемент min=2

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За (оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:

max(si)

где si = y min(aij) + (1-y)max(aij)

При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).

Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.

Расчитываем si.

s1 = 0.5•4+(1-0.5)•5 = 4.5

s2 = 0.5•3+(1-0.5)•6 = 4.5

Ai

П1

П2

min(aij)

max(aij)

y min(aij) + (1-y)max(aij)

A1

5

4

4

5

4.5

A2

3

6

3

6

4.5


Выбираем из (4.5; 4.5) максимальный элемент max=4.5

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A1.


3. Практическая работа.

Обучающиеся получают индивидуальные карточки с заданием. Требуется построить математическую модель «игры с природой» (просчитать платёжную матрицу) и предложить её решение каким-либо критерием. Применяется Case - метод. Решение избранным методом показывается обучающимся на доске.

 

5. Подведение итогов. Выставление оценок.

 

 5. Список литературы


1. Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман. Исследование операций в экономике: Учебн. Пособие для вузов/ Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

2. Е. В. Бережная, В. И. Бережной. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: Учеб. пособие. – М.: Дело, 2001. – 464 с.

4. Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. - М.: Дело, 2000. – 440 с.

5. Шапкин А.С., Мазаев Н.П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. – М.: Издательско-торговая корпорация "Дашков и К", 2004.

Материалы сайта «Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» h ttp://festival.1september.ru

Похожие:

Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска» iconПравительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Даны основы теории полезности и принятия решений в условиях риска и неопределенности. Подробно рассмотрены различные подходы к измерению...
Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска» iconРешение (умение работать в команде). Ход урока
...
Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска» iconСодержание Введение
Представленная работа посвящена теме «Использование условных функций и логических выражений при решении задач в Excel»
Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска» iconУрок изучения нового материала
«Открытой Физики» при изучении новой темы, при решении задач на движение электрона внутри заряженного конденсатора. А также на данном...
Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска» icon"Математические методы принятия решений в условиях неопределенности"
Постановка задачи принятия решений; альтернативы, критерии, оценки; неопределенность первого и второго рода
Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска» iconУчебное пособие для вузов Дружининская И. М. Матвеев В. Ф
При решении включенных в пособие задач предполагается использование комбинации нескольких методов и приемов, излагаемых в учебном...
Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска» icon2. Методы экономического анализа в теме освещаются вопросы, раскрывающие на основе классификации методов анализа их содержание и возможности применения для решения конкретных управленческих задач
Классификация методов экономического анализа. Бухгалтерские, статистические и математические методы. Формализованные и логические...
Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска» iconВ. П. Колесников, А. В. Татаркин
Опыт использования техногенных электромагнитных полей при решении экологических задач в условиях города
Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска» iconКонспект урока физики в 7 классе по теме «Давление и сила давления»
Использование современных образовательных технологий: мультимедиа-технологии, технология критического мышления, коммуникационные...
Урока по предмету «Математические методы» по теме «Использование Case-технологии при решении игровых задач в условиях неопределённости и риска» iconУрок лабораторная работа
Цель урока: Научить учащихся применять теоретические знания при решении задач с применением новых компьютерных технологий
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница