Многоканальной уменьшающей копировальной машины




Скачать 20,83 Kb.
НазваниеМногоканальной уменьшающей копировальной машины
Дата03.02.2016
Размер20,83 Kb.
ТипДокументы
УДК 519.65


УСТРОЙСТВО, ПРИНЦИП РАБОТЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

МНОГОКАНАЛЬНОЙ УМЕНЬШАЮЩЕЙ КОПИРОВАЛЬНОЙ МАШИНЫ


Л. Л. Дубинина*


Описывается устройство и принцип работы многоканальной уменьшающей копировальной машины (MRCM), с использованием системы линз в режиме обратной связи, а также введением детерминированной итерационной функциональной системы над оператором Хаткинсона. Рассматриваются примеры MRCM. На примере папоротника Барнслея оценивается скорость получения аттрактора.


Представим копировальную машину, которая имеет возможность уменьшать изображения. С помощью нее мы сможем получать копии, подобные первоначальной картинке, уменьшенные равномерно, например, на 50%, т.е. с фактором 1/2 (такое уменьшение изображения может быть достигнуто с помощью линзы). Можно также представить, что наша машина имеет не одну, а несколько (N) независимых уменьшающих линз и помещает каждую из полученных копий в определенное место на бумаге. Результатом работы такой машины будет изображение, содержащее N копий первоначального изображения, полученных с помощью данного набора линз. В основу работы машины положим принцип работы системы с обратной связью, т.е. полученное изображение будем подавать как исходное изображение и повторять процесс снова и снова. Результат этого процесса сводится к точке, когда в машине только одна уменьшающая линза. Описанную таким образом машину называют многоканальной уменьшающей копировальной машиной (the Multiple Reduction Copy Machine), сокращенно MRCM [1, с.23, 231].

Что же появится из последовательности итераций во время работы системы с обратной связью, когда используется несколько линз? Для ответа на этот вопрос рассмотрим MRCM с тремя линзами, каждая из которых сжимает изображение с фактором 1/2.



а б



в г



д е

Рис. 1.

Полученные копии будем собирать в форме равностороннего треугольника. В качестве исходного изображения возьмем квадрат (рис.1,а). В результате работы машины мы получим 3 уменьшенные копии квадрата (рис.1,б). Повторив процесс еще раз и еще раз, мы увидим 3x3=9 еще более уменьшенных копий (рис.1,в), и затем 3x9=27 (рис.1,г), и 3x27=81 (рис.1,д), и т.д. Копии быстро уменьшаются в размере, но конечные изображения не сокращаются до точки, а трансформируются в полную салфетку Серпинского (the Sierpinski Gasket) (рис.1,е).

Можно предположить, что секрет образования салфетки Серпинского лежит в выборе первоначального изображения. Покажем, что это не так. Вместо квадрата как начального изображения возьмем некоторое произвольное изображение - звездочку. Что после этого разовьется в процессе? С каждым шагом



а б



в г

Рис. 2.

мы получаем все меньшие и меньшие копии первоначального изображения (рис.2,а-г), каждая из которых в конце концов уменьшится до точки и все различия между получаемыми изображениями исчезнут, поэтому конечное изображение в итоге не зависит от изображения, с которого мы начали, и машина получает одно и только одно финальное изображение, которое называют аттрактором машины или процесса. Кроме того, при работе машины с аттрактором в качестве начального изображения мы получаем результат, ничем не отличающийся от аттрактора. Говорят, что аттрактор остается неподвижным или что он инвариантен, т.е. обладает свойством самоподобия.

В первом примере каждая линза переводит изображение в ему подобное. Поэтому каждой линзе поставим в соответствие аффинное линейное преобразование. Это к тому же расширит возможности нашей машины, поскольку кроме сжатия можно будет использовать также усечение, поворот и зеркальное отражение.

Введем на изображении прямоугольную систему координат. Относительно этой координатной системы каждая точка на плоскости листа может быть записана как пара .

Рассмотрим линейное отображение такое, что каждой точке сопоставляется точка .

Для задания сжатия, поворота и зеркального отражения коэффициенты лучше переписать так:

=

В этом случае при

* и определяется отображение, которое уменьшает с фактором и одновременно поворачивает на угол против часовой стрелки (преобразование подобия с поворотом);

* и определяется отображение, которое уменьшает с фактором и одновременно зеркально отражает относительно оси ;

* и определяется отображение, которое уменьшает с фактором в -направлении и с фактором в -направлении.

Зададим аффинное линейное отображение, являющееся комбинацией линейного отображения и переноса:



где есть фиксированная точка. Такое отображение позволит нам описать сжатие вместе с новым расположением на плоскости (т.е. переносом в ).

Допустим, мы описали линзы MRCM множеством аффинных линейных отображений . Для заданного начального изображения после работы машины получаются уменьшенные аффинные копии , которые собираются в одно новое изображение :

.

назвали оператором Хаткинсона (Hutchinson operator).

Начиная с некоторого начального изображения , мы получим последовательность изображений , , ..., , ... . Работа MRCM в режиме обратной связи таким образом соответствует итерированию оператора .

Такое итерирование лежит в основе детерминированной итерационной функциональной системы (a deterministic Iterated Function System), сокращенно IFS [1, с.231; 2, с.131]. IFS порождает последовательность изображений, которая стремится к конечному изображению - аттрактору IFS (или MRCM), и который остается инвариантен относительно IFS: .

Рассмотрим несколько примеров MRCM/IFS с различным определением коэффициентов преобразований. После первого применения MRCM мы получим изображение - светокопию машины, на которой будут представлены все аффинные линейные сжатия данной машины. Для уникальной идентификации преобразований необходимо выбрать структуру начального изображения таким образом, чтобы с помощью нее было бы несложно обнаружить некоторые возможные повороты и отражения. Для этой цели хорошо подходит квадрат с надписанной буквой 'L' в верхнем левом углу. Для каждого примера приведем светокопию (а) и аттрактор (б). На светокопии квадрат, нарисованный пунктиром, является начальным изображением, а четырехугольники, нарисованные сплошной линией, представляют сжатия.

В первом примере MRCM (рис.3) немного отличается от уже рассмотренной. Она также состоит из трех преобразований, каждое из которых сжимает с фактором 1/2, но перенос осуществляется иначе так, как показано на светокопии. Аттрактором является некоторая разновидность салфетки Серпинского.



а б

Рис. 3.

Может возникнуть предположение, что все IFS из трех преобразований, которые сжимаются с фактором 1/2, получают что-то очень похожее на салфетку Серпинского. Но это далеко не так. На рисунке 4 представлена другая MRCM, которая отличается от MRCM для салфетки Серпинского только добавлением поворотов. Нижнее правое преобразование повернуто на по часовой стрелке, а нижнее левое - на против часовой стрелки. Результат, названный двойной рождественской елкой (the Twin Christmas Tree), явно отличается от салфетки Серпинского (см. рис.1).



а б

Рис. 4.

Теперь попробуем изменить еще и скалярный фактор преобразований. На рисунке 5 мы выбрали фактор для всех трех преобразований. Кроме этого, в каждое преобразование включили поворот на по часовой стрелке. Результатом является двумерный объект с фрактальной границей: тип дракона с тройной симметрией (a Dragon With Threefold Symmetry). Он инвариантен относительно поворота на .



а б

Рис. 5.

Теперь к преобразованиям подобия добавим преобразования, сжимающие в разных направлениях с разными факторами. На рисунке 6 представлена MRCM только с одним подобием (фактор 1/3) и двумя другими преобразованиями, которые имеют горизонтальное сжатие на 1/3, и в одно из них еще включено



а б

Рис. 6.

отражение. Результат имеет вид лабиринта и получил название лабиринт Кантора (the Cantor Maze).

На рисунке 7 представлен последний пример MRCM с тремя преобразованиями, которые включают в себя повороты, сжатия с различными горизонтальными и вертикальными скалярными факторами, а также одно из них включает в себя усечение. В результате работы MRCM получаем тонкую веточку.



а б

Рис. 7.

Следующие два примера (рис. 8 и 9) задаются более чем тремя преобразованиями. Хотя все преобразования являются подобиями и лишь одно включает в себя дополнительный поворот, но эти изумительно простые конструкции обнаруживают вполне сложные и прекрасные структуры, напоминающие кристаллы льда.



а б

Рис. 8.



а б

Рис. 9.

На рисунке 10 представлено удивительно реальное изображение дерева. Можете ли вы поверить, что это изображение является простым IFS аттрактором? Оно получено с помощью пяти аффинных преобразований. Этот пример убедительно показывает, что для многих природных картинок можно создать MRCM, хотя проблема проектирования такой машины может оказаться весьма трудной задачей.



а б

Рис. 10.

Кроме трудностей в проектировании машины, само нахождение аттрактора может оказаться довольно длительным процессом. Какое количество итераций IFS необходимо, чтобы получаемое изображение стало аттрактором, сколько это займет времени? Вспомним, что за начальное изображение мы берем квадрат, и под действием преобразований он сжимается. Сколько же нам нужно произвести итераций, чтобы все получаемые версии начального квадрата превратились в точки? Для этого достаточно рассмотреть фактор сжатия, наименее уменьшающий изображение. Когда под действием этого фактора наше изображение превратится в точку, тогда можно будет сказать, что мы получили аттрактор. Попробуем оценить скорость получения аттрактора на примере еще одной IFS, дающей финальное изображение, подобное природному папоротнику (рис. 11,a).



а б

Рис. 11.

Папоротник Барнслея (Barnsley's Fern) задается четырьмя преобразованиями (рис.11,б; табл.1).

Табл. 1.

N

a

b

c

d

e

f

1

0.849

0.037

-0.037

0.849

0.075

0.183

2

0.197

-0.226

0.226

0.197

0.400

0.049

3

-0.150

0.283

0.260

0.237

0.575

-0.084

4

0.000

0.000

0.000

0.160

0.500

0.000

Даже после 7 и 14 итераций изображения лишь напоминают аттрактор (рис. 12). Причина этого состоит в том, что первое сжатие уменьшает всего лишь на 85%. Поэтому для уменьшения начального квадрата (допустим, 200x200 точек на экране) до размера одной точки необходимо по меньшей мере K итераций, где K находится из уравнения:



и получается приблизительно равно 32. При выполнении IFS нам необходимо будет пересчитать и нарисовать копий изображений для K итераций. При K=32 получаем M=128. Если мы



а б

Рис. 12.

предположим, что наш компьютер в среднем вычисляет и рисует одну копию в течение 30 секунд, то вид финального изображения мы получим, прождав 3840 секунд, которые составляют примерно 62 минуты. Каким же образом можно ускорить нахождение аттрактора? В таких случаях обычно применяют очень простой метод, называемый Игра Хаоса или уменьшающая копировальная машина колеса фортуны (a Fortune Wheel Reduction Copy Machine), сокращенно FRCM [1, с.301]. Он получает хорошее приближение конечного изображения на компьютерном экране в течение секунд.

Для более детального ознакомления с работой MRCM была написана программа, моделирующая описанные в данной статье примеры MRCM. Для каждого примера дается краткая информация о рассматриваемых преобразованиях (количество преобразований, значения коэффициентов). При моделировании на экране фиксируется каждый этап работы машины. В программе также предусмотрена возможность моделирования MRCM, самостоятельно определенной пользователем.

Подводя итоги, хотелось бы подчеркнуть, что MRCM дает разнообразие возможных изображений, получаемых очень простыми процессами с обратной связью, элементы которых легко задаются.


Литература.

1. Peitgen H.-O., Jurgens H., Saupe D. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. Ney York: Springer-Verlag, 1992.

2. Barnsley M. F. Lecture Notes on Iterated Function Systems // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. Rhode Island, 1989. Vol. 39: Chaos and fractals: the mathematics behind the computer graphics. p. 127-144.


*  Л. Л. Дубинина, 1996.

Похожие:

Многоканальной уменьшающей копировальной машины iconКазахстанский Государственный Университет им. М. Ауезова отдел послевузовского образования кафедра «технологические машины и оборудование»
Программа вступительного экзамена составлена на основании типовых программ дисциплин «Машины и аппараты нефтяной и газовой промышленности»,...
Многоканальной уменьшающей копировальной машины iconУчебное пособие /Б. А. Есипов. М.: Спб
Строительные машины мира. Машины для с-86 уплотнения дорожных и аэродромных покрытий. Афтоукладчики, дорожные катки и вибропилы:...
Многоканальной уменьшающей копировальной машины iconОсновная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки 151000 «Технологические машины и оборудование»
Основная образовательная программа (ооп) бакалавриата, реализуемая Университетом по направлению подготовки 151000 – "Технологические...
Многоканальной уменьшающей копировальной машины icon151900. 68 – Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств Магистерская программа
Основные понятия и определения. Машина как объект производства. Служебное назначение машины и предъявляемые к ней технические требования....
Многоканальной уменьшающей копировальной машины iconРеспублики Казахстан Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова Факультет металлургии, машиностроения и транспорта
Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальности 250440 «Машины и технология обработки металлов...
Многоканальной уменьшающей копировальной машины iconРабочая учебная программа по дисциплине б 2 Сопротивление материалов” (шифр и наименование дисциплины по уп)
Направление подготовки 151000. 62 "Технологические машины и оборудование". Профили:"Машины и оборудование нефтяных и газовых промыслов",...
Многоканальной уменьшающей копировальной машины iconРабочая учебная программа по дисциплине б 2 Сопротивление материалов” (шифр и наименование дисциплины по уп)
Направление подготовки 151000. 62 "Технологические машины и оборудование". Профили:"Машины и оборудование нефтяных и газовых промыслов",...
Многоканальной уменьшающей копировальной машины iconН. М. Кравченко английский язык для чтения научно-технической литературы
«Холодильная, криогенная техника и кондиционирование», 150400 «Технологические машины и оборудование», 220301 «Автоматизация технолгических...
Многоканальной уменьшающей копировальной машины iconРабочая программа по дисциплине од. А. 03. Дорожные, строительные и подъемно-транспортные машины по специальности 05. 05. 04 «Дорожные, строительные и подъемно-транспортные машины» Всего учебных часов, час./ зач ед
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Многоканальной уменьшающей копировальной машины iconРабочая программа учебной дисциплины «погрузочно-разгрузочные, транспортирующие и вспомогательны машины и устройства»
Подготовка бакалавра в рамках дисциплины «Погрузочно-разгрузочные, транспортирующие и вспомогательные машины и устройства» должна...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница