Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения»




НазваниеКурсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения»
страница1/10
Дата03.02.2016
Размер8,46 Kb.
ТипКурсовая
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10



Красноярский Государственный Педагогический Университет


Курсовая работа по теме:

«Некоторые диофантовы уравнения»


Выполнила:

студентка

3 курса

математического

факультета

32 группы

Апрелкова Ксения.

Научный

руководитель :

кф-мн доцент

кафедры алгебры

Тимофеенко

Галина

Владимировна


. Красноярск 2002г.




Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решение диофантовых уравнений(ДУ).

Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных по теме «ДУ» в курсе теории чисел. Многие задания, изложенные в данной работе, могут быть использованы в курсе алгебры средней школы и на факультативах по теме «ДУ» с целью расширения математического кругозора учащихся.

Оглавление


1

Оглавление 3

Историческая справка 4

§2 Задачи, приводящие к диофантовым уравнениям. 6

Задача1. 6

Задача2. 7

Задача3. 8

Задача4. 8

§3 Методы решения диофантовых уравнений 11

Метод1. Свойства делимости и диофантовы уравнения. 11

Метод 2. Диофантовы уравнения, допускающие разложение на множители. 12

Метод 3. Метод подстановки в решении диофантовых уравнений: 12

Задание: Найти целочисленные решения следующих уравнений: 13

Метод 4. Сравнения и диофантовы уравнения. 14

Теорема1. Если удовлетворяет сравнению ax=c(b), то пара чисел (x0;(c-ax0):b) является решением (D), где (a;b)=1. 15

Теорема2: Если (a,b)=1, то (D) имеет бесконечное множество целых решений, которые находятся по формулам: 15

Следствие: (D) ax+by=c в Z либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений, которые находятся по формулам(*). 16

Указание: 16

Метод5. Метод спуска(*): 16

§4 Основные пифагоровы треугольники. 17

Задача о нахождении всех решений диофантовых уравнений второй степени. 17

17

Нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна, как знаменитая последняя теорема Ферма . 19

Это утверждение называется последней (или великой) теоремой Ферма. 20

§5 Алгебраические уравнения выше второй степени с тремя неизвестными 21

Доказательство теоремы Ферма для случая n=4 методом спуска. 22

Теорема: 22

Вывод: 26

Литература: 26

Оглавление 27

§1 Введение.

Историческая справка


Жил Диофант, по-видимому, в 3 в. н. э., остальные известные нам факты его биографии исчерпываются таким стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии:



Путник! Здесь прах погребен Диофанта,

И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни.

Часть шестую его представляло счастливое детство.

Двенадцатая часть протекла еще жизни -пухом покрылся тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке Диофант.

Прошло пятилетье.

Он был осчастливлен рожденьем
прекрасного первенца сына,

Коему рок половину лишь жизни

Счастливой и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой старец земного
удела конец воспринял,

Переживши года четыре с тех пор,
как сына лишился.

Скажи, скольких лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант?






«Арифметика» Диофант.


Древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но так как у них еще не было равенства и знаков действий (вроде нынешних плюса и минуса ), то записывать уравнения они, конечно, не умели. Первый по-настоящему серьезный шаг в этом на­правлении сделал замечательный александрийский (по названию большого культурного, торгового и научного центра древнего мира- Александрии; этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побе­режье Египта) ученый Диофант, использовавший в своем творчестве дости­жения египтян, вавилонян и греков. В его труде «Арифметика» есть уравне­ния первой степени с одним неизвестным, главное в этой книге вовсе не в них. И прежде чем перейдем к этому главному, поговорим еще о записи уравнений. Самое интересное у Диофанта – решение так называемых неоп­ределенных уравнений. И второе, не менее интересное – Диофант придумал обозначения для неизвестных.

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки еще не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые 9 букв : ,,,… обозначали числа от 1 до 9 ;следующие девять :,,…обозначали числа от 10 до 90 ; наконец, следующие девять:,,..обозначали числа от 100 до 900. Чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами , обозначающими число, ста­вилась черточка. Букв в алфавите было 28 , одна из них была особой – она обозначалась ς (сигма концевая), стави­лась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать первую степень не­известного, так же как мы обычно обозначаем ее буквой X.

Придумав это, Диофант, по-видимому, уже быстрее стал двигаться дальше. Во всяком случае в «Арифметике» он обозначал специальными значками не только первую, но и вторую, третью, четвертую, даже пятую и шестую степени неизвестного. Например , квадрат неизвестного он обозна­чал значком Δΰ (первые две буквы слова Δΰναμίς-«дюна­мис»-«сила» ). Ну а если и числа, и неизвестные записаны специальными символами, то нелепо будет записывать сло­вами указания о действиях над ними! И Диофант вместо слова «равняется» стал писать ίσ - две первые буквы слова ίσος («исос»-«равный»). Это слово тоже нам знакомо. Без сомнения мы слышали про изотопы, изобары, изотермы. Диофант придумал знак и для вычитания - им служила буква ψ(пси), только перевернутая, укороченная и упрощенная по форме, то есть вот такая: Λ . А без знака сложения Диофант обходился довольно - просто слагаемые записывал рядом друг с другом.

Например, уравнение

3x²-10x=13

Диофант записал бы так:

ΔΰγΛςίισΜιγ.

Диофант записывал коэффициенты справа от неизвестных, кроме того, в уравнениях он обязательно ставил перед свободным членом значок Μ- первые две буквы слова Μονας(«монас»)- единица, то есть писал «тринадцать единиц». Диофант придумал еще несколько математических знаков, но их в наше время не применяют. Придумал Диофант и два основных приема решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов. В средневековой Европе мысли Диофанта получили широкое распространение и развитие. В 17-18 в.в. буквами для обозначения неизвестных (переменных) стали пользоваться уже все математики. Приемы решения уравнений попали в Европу особым путем, и здесь уже приходиться обращаться к страницам средневековой истории….

Решение в целых числах уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним переменным представляет собой одну из трудных проблем теории чисел. Некоторые виды таких уравнений были рассмотрены знаменитыми математиками древности : Пифагором(6в.до н.э), Диофантом(3в.н.э.). В память о последнем эти уравнения называются диофантовыми . Диофантовы уравнения во все времена привлекали внимание математиков. Ими занимались классики математики: П.Ферма(1601-1655), Л.Эйлер(1707-1783), Ж.Л.Лагранж(1736-1813), К.Ф.Гаусс(1777-1855), П.Л.Чебышев(1821-1894) и др. Им уделяют внимание и многие математики современности.

§2 Задачи, приводящие к диофантовым уравнениям.

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» iconУчебник по теме «квадратные уравнения»
Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность,...
Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» iconКурсовая работа является учебной работой
Согласно стандартам Минобразования рф, курсовая работа – самостоятельная комплексная работа учащихся, выполняемая на завершающем...
Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» iconКурсовая работа Кузнецовой Е. А
Курсовая работа Кузнецовой Е. А.: Игры, стихи и песни, как обязательные элементы здоровье сберегающей технологии на уроках иностранного...
Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» iconТема 1 Алгебраические уравнения
«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему гораздо важнее. Политика существует только...
Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» iconКурсовая работа, тема «Анализ ассортимента бытовых пылесосов»
Курсовая работа, тема «Анализ ассортимента бытовых пылесосов», 50 страниц, 300 руб
Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» iconДинамика систем твердых тел и гироскопы
Углы Эйлера. Углы Крылова. Модифицированные уравнения Эйлера. Укороченные уравнения, или уравнения прецессионной теории. Подвес гироскопа....
Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» iconКурсовая работа по дисциплине “Менеджмент”
Работа выполняется применительно к конкретному строительному предприятию в соответствии с вариантом задания, определяемым индивидуально...
Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» iconУрок физики и информатики по теме «Механическая работа. Мощность»
Образовательная: повторить и закрепить полученные знания по теме «Механическая работа. Мощность» с использованием офисных приложений...
Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» iconКурсовая работа

Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» iconКурсовая работа по теме: Творчество Анны
России возникла и сложилась, может быть, самая значительная во всей мировой литературе нового времени "женская" поэзия поэзия Анны...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница