Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения




Скачать 25,03 Kb.
НазваниеАннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения
Дата03.02.2016
Размер25,03 Kb.
ТипДокументы
Уральский государственный университет им. А.М. Горького

Математико-механический факультет

Магистратура


Аннотация магистерской программы по направлению

Математика. Прикладная математика


511202 – Дифференциальные уравнения


Характеристика научно-исследовательской деятельности по заявленной магистерской программе.

Исследования проводятся на кафедрах, анонсирующих программу: вычислительной математики и прикладной математики совместно с сотрудниками института математики и механики УрО РАН. Кроме того, исследованиями в области дифференциальных уравнений занимаются сотрудники других кафедр математико-механического факультета: кафедры информатики и процессов управления, кафедры теоретической механики, кафедры математической физики и кафедры математического анализа.

Большая часть исследователей принадлежит к уральской научной школе академика Н.Н.Красовского по теории управления.

На кафедре вычислительной математики исследования ведутся как в области теории управления системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями математической физики, функционально-дифференциональными уравнениями и интегральными уравнениями, так и в области разработки численных алгоритмов способов их решения. Исследования возглавляют член-корреспондент РАН Васин В.В., доктора физико-математических наук Пименов В.Г., Агеев А.Л., Короткий А.И., Лукоянов Н.Ю. Соловьева О.Э. На кафедре прикладной математики исследования проводятся, в основном, в области разработки позиционных способов управления системами и их возглавляют член-корреспондент РАН Ченцов А.Г., доктора физико-математических наук Гусев М.И., Субботина Н.Н. Исследования поддерживаются рядом грантов.


Родственные научные специальности аспирантуры УрГУ

  1. 010102 “Дифференциальные уравнения”

  2. 010107 - "Вычислительная математика"

- 051318 “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ”.

Имеются советы в УрГУ и ИММ УрО РАН по защитам кандидатских и докторских диссертаций по указанным специальностям.


Научный руководитель: Пименов Владимир Германович, доктор физико-математичеких наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики.

Пименов В.Г. окончил математико-механический факультет УрГУ в 1976

году по специальности “Математика”. Доктор физико-математических наук (2001), профессор (2003). Работает в УрГУ с 1979 года, с 2002 года является заведующим кафедры вычислительной математики.

Успешно ведет научную работу в области численных методов решения дифференциальных уравнений с запаздыванием, теории оптимального управления системами с запаздыванием и их приложений. Под руководством В.Г. Пименова выполнено ряд исследовательских и прикладных задач, в том числе по созданию комплекса программ по решению систем с запаздыванием.

Под его руководством защищены три кандидатские диссертации.


ДИСЦИПЛИНЫ ОБЩИЕ ДЛЯ НАПРАВЛЕНИЯ


  1. Математический анализ КМАиТФ

  2. Дифференциальные уравнения (дополнительные главы) – КВМ и КМФ

  3. Оптимальное управление – КПМ


Учебный план специализированной подготовки магистров

по программе "Дифференциальные уравнения"


1. Учебно-научный семинар 284

2. Методы решения некорректных задач 200

3. Разностные методы решения задач математической физики 100

4. Численные методы решения функционально-дифференциальных

уравнений 100

5. Теория уравнений Гамильтона-Якоби 200


Итого 884 часа (трудоемкость)


Примечания.

1. Учебно-научный семинар кафедры вычислительной математики объединяет магистрантов по магистерским программам "Дифференциальные уравнения”, “Математическое моделирование", "Вычислительная математика", аспирантов по специальностям "Вычислительная математика", "Дифференциальные уравнения", "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ". На семинаре заслушиваются как доклады, посвященные новейшим в мире результатам в этих областях наук, так и собственные исследования магистрантов и аспирантов по магистерским и кандидатским диссертациям.

2. Программы курсов прилагаются.


Программа курса

Методы решения некорректных задач

Автор - чл.кор. РАН, д.ф.-м.н, профессор В.В.Васин

(два семестра)


Часть I. Линейные модели и выпуклая минимизация

Примеры неустойчивых задач. Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), численное дифференцирование и задачи восстановления функций, экстремальные задачи для выпуклого функционала, линейные интегральные уравнения типа свертки, Вольтерра и Фредгольма I--го рода, неклассические задачи математической физики, задачи томографии, обратные задачи для дифференциальных уравнений.

Понятие некорректно поставленной задачи. Две основные постановки: решение уравнения и задача вычисления значений неограниченного оператора. Корректность по Адамару, Тихонову и Фикера. Множества корректности. Лемма Хаусдорфа и её обобщения в линейном случае.

Понятие плохо и хорошо обусловленных задач (на примере задачи решения СЛАУ)

Мера обусловленности СЛАУ. Анализ погрешности вычислений. Число обусловленности: свойства и способы вычисления (оценки). Обусловленность СЛАУ и устойчивость обратных матриц. Матрица Гильберта и другие примеры.

Обобщенные решения (на примере задачи решения СЛАУ) Обобщение понятия решения. Псевдорешение. Анализ метода наименьших квадратов. Регулярный метод нахождения псевдорешения. Метод регуляризации Тихонова.

Методы регуляризации (на основе итерационных алгоритмов и сингулярного разложения) Двойственные вариационные методы и итерационные процессы для решения

плохо обусловленных СЛАУ. Метод сингулярного разложения и его регуляризация. Итерационное уточнение решения и числа обусловленности. Тактика решения плохо обусловленных СЛАУ и анализ программных средств.

Понятие оптимального метода регуляризации Задача об оптимальном регуляризаторе при вычислении значений неограниченного оператора. Оценка погрешности.

Задача численного дифференцирования

Регулярные алгоритмы для задачи численного дифференцирования: конечно--разностные схемы в ,C(-, ) метод средних функций. Интерполяционные и сглаживающие сплайны. Абстрактные сплайны. Сравнительный анализ эффективности различных методов численного дифференцирования.

Задачи на экстремум

Постановка задачи на экстремум функционала. Корректность по Адамару и Тихонову и их взаимосвязь. Достаточные условия корректности по Тихонову. Регуляризация с точными и приближёнными данными.

Регуляризация выпуклых проблем

Метод штрафных функций и регуляризация задачи выпуклого

программирования в общем случае.

Дискретная сходимость алгоритмов. Аппарат дискретной аппроксимации и дискретной сходимости. Достаточные условия сходимости дискретных аппроксимаций в задачах оптимизации.

Конечномерная аппроксимация РА. Приложение к вариационному исчислению: обоснование методов Ритца и Эйлера, конечно--разностного метода.

Уравнения I--го рода. Условия корректности операторных уравнений I--го рода. Уравнения, порождаемые интегральными операторами Фредгольма и Вольтерра и анализ их корректности. Уравнения с априорной информацией.

Регуляризация уравнений I--го рода. Тихоновская регуляризация некорректных задач. Методы регуляризации уравнений типа свертки. Итеративная регуляризация. Правила останова итераций. -процессы и их регуляризованные аналоги. Нелинейные итерационные процессы для решения задач с априорной информацией.

Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. Конечномерная аппроксимация. Критерий сходимости. Приложения общей схемы: квадратурный метод, метод коллокации, проекционные методы. Теоремы сходимости. Методы саморегуляризации для уравнений Вольтерра.

Практические рекомендации. Сравнительный анализ эффективности регулярных численных методов решения интегральных уравнений 1 рода.


Часть II. Нелинейные математические модели

Примеры нелинейных неустойчивых проблем Операторные и интегральные уравнения I--го рода (задачи гравиметрии и оптики), задачи оптимизации выпуклого функционала, вариационные неравенства. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Взаимосвязь различных постановок.

Принцип неподвижной точки. Классические принципы неподвижной точки Банаха, Брауэра, Шаудера, Какутани. Принцип неподвижной точки Браудера для нерастягивающих отображений.

Применение принципа неподвижной точки для корректных задач. Основные классы нелинейных отображений и их взаимосвязь. Сходимость метода последовательных приближений (мпп) в корректном случае. Слабая сходимость итераций для псевдосжимающих отображений.

Метод корректирующих множителей. Регуляризация мпп с помощью корректирующих множителей. Подход Браудера--Гальперина и его обобщение.

Приложение к задачам математического программирования. Регуляризация методов математичекого программирования (prox--метод, метод проекций градиента, фейеровские процессы для систем выпуклых неравенств).

Приложение к линейным уравнениям. Итерационные процессы для решения линейных некорректных задач с априорными выпуклыми ограничениями.

Принцип итеративной регуляризации. Итеративно регуляризованный мпп и его приложения. Подход Поляка--Бакушинского.

Приложение принципа итеративной регуляризации. Итеративно регуляризованный метод Ньютона--Канторовича с монотонным оператором. Регуляризованные варианты метода Гаусса--Ньютона. Регуляризующие свойства процессов Манна для монотонных операторов.

Методы регуляризации спектральных проблем Определение L--базиса ядра линейного оператора. Устойчивые методы его нахождения.

Некоторые коэффициентные обратные задачи Обратные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, обратные коэффициентные задачи для уравнений в частных производных: проблема единственности решения.

Методы решения нелинейных уравнений с априорной информацией. Модификация методов итеративной регуляризации с помощью фейеровских отображений. Приложения.

Понятие субградиента и субдифференциала. Задача негладкой минимизации выпуклого функционала. Итерационные процессы субградиентного типа.

Явные итерационные процессы решения нелинейных уравнений I-го рода Теоремы сходимости для методов Ландвебера, методов наискорейшего спуска и минимальной ошибки. Анализ опыта решения нелинейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра, возникающих в обратных задачах естествознания.


Программа курса

Дополнительные главы дифференциальных уравнений

Автор – д.ф.-м.н, профессор В.Г.Пименов

(один семестр)


Теорема существования решения дифференциального уравнения с измеримой правой

частью. Условия Каратеодори. Теорема о единственности решения. Теорема о продолжимости решения. Условие Уинтнера. Теорема существования и единственности

решения для линейных систем с интегрируемыми коэффициентами.

Линейные системы с периодическими коэффициентами. Теоремы Флоке. Эквивалентные системы. Теорема о приводимости. Матрица монодромии, мультипликаторы, характеристические показатели, показатели Ляпунова. Теоремы об устойчивости. Зоны устойчивости для уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами. Уравнения Хилла и Матье. Параметрический резонанс.

Орбитальная устойчивость. Устойчивость периодических решений автономной системы. Теорема Андронова-Витта и её аналог для асимптотической орбитальной устойчивости. Критерий Пуанкаре орбитальной устойчивости.

Понятие предельного цикла. Автоколебания. Методика исследования предельных циклов на примере уравнения Ван-Дер-Поля: метод сечений Пуанкаре, метод стационарных приближений, метод малого параметра.

Бифуркации в широком смысле и бифуркации рождения цикла. Теорема Хопфа. Примеры мягкой и жесткой бифуркаций. Опасные и безопасные границы зон устойчивости.

Метод малого параметра – регулярные возмущения. Использование малого параметра в теории квазилинейных колебаний. Теория сингулярных возмущений. Одномерный случай. Теорема Тихонова. Сингулярные разложения. Метод усреднения Боголюбова.

Диссипативные системы и их аттракторы. Система Лоренца как пример странного аттрактора. Количественные показатели аттракторов. Дробная размерность. Гипотеза Каплана-Иорке. Аттракторы в разностном уравнении. Универсальность Фейгенбаума.

Дифференциальные уравнения с запаздыванием, примеры моделей и классификация.

Теорема существования и единственности для функционально-дифференциальных уравнений. Другие обобщения дифференциальных уравнений.


Программа курса

Разностные методы решения

задач математической физики

Автор – д.ф.-м.н, профессор А.И.Короткий

(один семестр)


Понятие о разностных методах решения задач математической физики. Простейшие примеры. Исследование явной схемы для решения смешанной задачи Коши для уравнения теплопроводности элементарными методами. Построение решений разностных уравнений методом разделения переменных. Эффект "паразитных" гармоник с большими номерами.

Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными. Аппроксимация на решениях, зависимость степени аппроксимации от закона предельного перехода.

Классификация разностных схем.

Метод прогонки и его устойчивость. Метод матричной факторизации.

Устойчивость разностных схем. Теорема эквивалентности.

Методы исследования устойчивости в $C$. Теорема о принципе максимума.

Однородные операторы в пространстве скалярных функций. Собственные функции однородных операторов.

Достаточный критерий устойчивости в $L_2$ и его применения.

Схемы Кранка-Никольсона,Ричардсона и Дюфорта-Френкеля для уравнения теплопроводности.

Основные идеи метода дробных шагов. Методы продольно-поперечной прогонки, стабилизирующей поправки. Методы расщепления.

Метод приближенной факторизации.

Построение итерационных схем решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Применение метода дробных шагов.


Программа курса

Численные методы решения

функционально-дифференциальных уравнений

Автор – д.ф.-м.н, профессор В.Г.Пименов

(один семестр)


Типы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Математические модели систем с запаздыванием на примере моделей биологии и медицины.

Теорема существования и единственности начальной задачи для функционально-дифференциальных уравнений.

Численный метод Эйлера с кусочно-постоянной интерполяцией.

Способы интерполяции и экстраполяции предыстории дискретной модели.

Явные методы типа Рунге-Кутты.

Порядок невязки ЯРК-методов.

Автоматический выбор шага.

Методы RKF4(5) с интерполяцией вырожденными сплайнами и экстраполяцией продолжением.

Пакет TIME-DELAY SYSTEM TOOLBOX.

Неявные методы типа Рунге-Кутты.

Непрерывные методы Тавернини.

Многошаговые методы.

Многошаговые методы, не требующие разгона.

Классификация численных методов.

Общая схема численных методов решения ФДУ и ОДУ.

Достаточные условия сходимости с порядком в общей схеме.

Примеры вложения методов в общую схему.

Необходимые и достаточные условия сходимости с порядком в общей схеме.

Уравнения математической физики с запаздываниями.

Методы прямых для решения параболических и гиперболических задач с запаздыванием.

Сеточные методы для уравнения теплопроводности с запаздыванием.


Программа курса

Теория уравнений Гамильтона-Якоби

Автор – д.ф.-м.н. Н.Н.Субботина

(два семестра)

Часть 1.


История. Основные законы механики. Уравнения движения Ньютона и Лагранжа. Случаи упрощения и интегрируемости уравнений Лагранжа. Преобразование Лежандра. Канонические уравнения механики (уравнения Гамильтона). Случаи упрощения и интегрируемости канонических уравнений.

Уравнение в частных производных первого порядка – уравнение Гамильтона-Якоби (ГЯ). Главная функция Гамильтона и полны интеграл уравнения ГЯ.

Теорема Якоби. Полная система независимых первых

интегралов канонической системы уравнений движения. Пример. Движение материальной точки в трехмерном пространстве под действием силы тяжести. Уравнения Аристотеля, Ньютона, Эйлера, Лагранжа, Гамильтона. Естественный способ задания движения материальной точки с помощью полной системы независимых первых интегралов. Уравнение эйконала.

Классические решения уравнения Гамильтона-Якоби. Метод характеристик Коши для краевой задачи.

Содержательность понятия обобщенного решения. Пример ограниченной применимости классического метода характеристик. Интегральная поверхность с особенностью «ласточкин хвост». Соответствующая задача оптимального управления, функция цены и

уравнение Беллмана.

Задача оптимального управления, функция цены. Принцип оптимальности, метод динамического программирования.

Математический аппарат теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби. Полунепрерывные функции и их свойства. Выпуклые функции и их свойства.

Многозначные отображения и их свойства. Дифференциальные включения. Мотивация их введения:

неточное описание динамики, задачи управления, дифференциальные управления с разрывной правой частью.

Теорема существования решений дифференциальных

включений. Условия продолжимости решений. Свойства

пучков решений дифференциальных включений:

компактность, связность, полунепрерывность сверху по

начальным данным.

Контингентные конусы (конусы Булигана), их

свойства. Полупроизводные Дини по направлениям от негладких функций.

Взаимосвязи полупроизводных по направлениям с конусами

Булигана к надграфикам и подграфикам негладких и разрывных функций. Субдифференциалы и их взаимосвязи с производными по направлениям.


Часть 2.

Теорема Ф. Кларка - Ю.С. Ледяева об оценке конечных разностей.

Теорема А.И. Субботина о плотности субдифференциалов.

Слабая инвариантность множеств относительно дифференциальных

включений. Критерии слабой инвариантности.

Эквивалентность критериев слабой инвариантности

в терминах конуса Булигана и его выпуклой оболочки.

Теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-

Якоби. Постановка краевой задачи Коши для УЧП 1-ого

порядка, основные предположения о входных данных задачи.

Определение канонического комплекса и канонического семейства характеристических дифференциальных включений (ХДВ). Определение минимаксного решения задачи Коши для УЧП 1-ого порядка с помощью канонического семейства ХДВ.

Совместность минимаксных и классических решений. Аксиоматическое определение характеристических комплексов и порождаемых ими ХДВ.

Проверка выполнения аксиоматических свойств каноническими комплексами. Выбор комплексов, адекватных задаче. Пример: линейное уравнение ГЯ и его комплексы. Верхние и нижние решения; определение минимаксного решения на базе этих понятий.

Эквивалентность свойства слабой инвариантности графика непрерывной функции и свойства слабой инвариантности её надграфика и подграфика (одновременно) относительно канонического семейства ХДВ. Эквивалентные определения слабой инвариантности надграфика верхнего решения относительно верхних ХДВ.

Доказательства эквивалентностей различных определений верхних (нижних) решений.

Теорема существования минимаксного и/или вязкостного решения. Метод исчезающей вязкости.

Принцип сравнения для верхних и нижних решений.

Теоремы о единственности и корректности минимакс-ного решения краевой задачи Коши для уравнения ГЯ.

Приложения теории минимаксных и вязкостных решений к задачам управления. Обзор аналитических, конструктивных и численных методов.


Программа государственного экзамена

по магистерской программе

Дифференциальные уравнения


1. Теорема существования и единственности решения начальной задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями. Теоремы о продолжимости решений. Непрерывность и дифференцируемость решений по параметрам и начальным данным. Решения в смысле Каратеодори. Теорема существования решения начальной задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с измеримыми правыми частями. Теорема единственности решений для систем уравнений с липшицевой правой частью.

2. Линейные системы. Теорема существования решения для линейных систем с суммируемыми коэффициентами. Многообразие решений линейной однородной и линейной неоднородной систем. Формула Коши. Формула Остроградского-Лиувилля. Решение линейных уравнений и систем произвольного порядка с постоянными коэффициентами.

3. Линейные системы с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке. Теорема о приводимости. Мультипликаторы. Уравнения с периодическими коэффициентами 2-го порядка. Параметрический резонанс.

4. Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия. Классификация особых точек. Предельные циклы. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Бифуркации рождения цикла из положения равновесия. Теорема Хопфа. Мягкие и жесткие бифуркации.

5. Устойчивость по Ляпунову. Первый метод Ляпунова. Характеристические показатели. Второй метод Ляпунова. Теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости. Функции Ляпунова для линейных автономных систем. Теорема об устойчивости по первому приближению. Орбитальная устойчивость. Устойчивость периодических решений автономной системы. Критерий Пуанкаре орбитальной устойчивости.

6. Дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка.

7. Задачи вариационного исчисления с подвижными и неподвижными границами. Необходимые условия в форме уравнений Эйлера. Достаточные условия.

8. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального быстродействия. Задача с закрепленным временем. Связь принципа максимума с методом динамического программирования. Уравнение Беллмана.

9. Некорректно поставленные задачи. Интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода и методы их регуляризации. Общие методы регуляризации некорректно поставленных задач.


Литература.


  1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974

  2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970

  3. Коддинктон Э.А. Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958

  4. Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967

  5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975

  6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М. Наука, 1967

  7. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М. Наука, 1966

  8. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. IV М.: Физматгиз, 1958

  9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. Наука, 1969

  10. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979

  11. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976

  12. Тихонов А.Н., Арсенин В.Д. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974



Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедр вычислительной математики

прикладной математики УрГУ.


Зав. кафедрой ВМ

д.ф.-м.н., профессор В.Г.Пименов


Зав. кафедрой ПМ

к.ф.-м.н, доцент М.И.Логинов

Похожие:

Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения iconАннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика
Характеристика научно-исследовательской деятельности по заявленной магистерской программе
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения iconАннотация рабочей программы «Уравнения математической физики»
Прикладная математика и информатика. Дисциплина реализуется на инженерно-экономическом факультете Самгту кафедрой прикладная математика...
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения iconАннотация рабочей программы «Алгебра и геометрия»
Б. 2 подготовки студентов по направлению подготовки 010400 «Прикладная математика и информатика». Дисциплина реализуется на инженерно-экономическом...
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения iconПрограмма вступительных испытаний в магистратуру по направлению 511300 «Механика. Прикладная математика»
Основные понятия механики. Закон Ньютона. Дифференциальные уравнения движения материальной точки и системы материальных точек
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения iconПрограмма вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010100. 68 «Математика»
Общие положения, регламентирующие порядок проведения вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010400. 68 – «Прикладная...
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения iconРабочая программа дисциплины ен. Ф. 01. 03 Дифференциальные уравнения Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения iconРабочая программа «Механика и основы механики сплошных сред»
«Математика» (Математический анализ, Аналитическая геометрия, Линейная алгебра, Теория функций комплексной переменной, Дифференциальные...
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения iconПрограмма учебной дисциплины
Программа учебной дисциплины является частью магистерской программы «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности»...
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения iconРабочая программа по дисциплине «дискретная математика» для специальности 010200 Прикладная математика и информатика Форма обучения: очная
Рабочая программа составлена на основании гос впо 010200 – Прикладная математика и информатика, утвержденного в 2000 г
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения iconОбщая характеристика квалификационной программы направления 010500 «прикладная математика и информатика»
«Прикладная математика и информатика» может занимать должности: математик, инженер-программист (программист), системного аналитика...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница