Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева»




Скачать 31,22 Kb.
НазваниеОбучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева»
Дата03.02.2016
Размер31,22 Kb.
ТипДокументы
РАЙОННАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ – ФЕСТИВАЛЬ ТВОРЧЕСТВА

ОБУЧАЮЩИХСЯ «EXCELSIOR»


Секция МАТЕМАТИКА





Никитина Надежда


МОУ « Аликовская СОШ им. И.Я.Яковлева», 6В класс


Научный руководитель:

Дмитриева Валентина Иосифовна,

учитель математики МОУ « Аликовская

СОШ им. И.Я.Яковлева»


Аликово-2008


Удивительные числа


Автор: Никитина Надежда

Руководитель: Дмитриева В.И.


Цель работы. Изучить удивительные особенности натуральных чисел.

Задачи. 1. Нахождение удивительных чисел в ряде натуральных чисел.

  1. Учиться правильно рассуждать, воспитывать волю, логичность.


Число - важнейшее математическое понятие. Работа посвящена изучению удивительных особенностей натуральных чисел. Натуральными называются числа, употребляемые при счете предметов. Мною была исследована ряд натуральных чисел, обладающих любопытными особенностями. Я рассмотрела простые и составные числа, сверхсоставные числа. Совершенные числа и хорошие числа. Числа-близнецы. Дружественные числа. Особенные числа. Симметричные числа. Для изучения особенностей натуральных чисел я использовала много литератур, начиная с учебников математики 6 класса под редакцией Виленкина и Нурк, использовала Интернет ресурсы, книги для учащихся « Великие жизни в математике», « За страничками учебника математики», « За страничками учебника алгебры», «Я познаю мир» и многих других книжек. По ходу изучения данной темы мне удалось углубленно изучить школьные темы, как простые и составные числа. Ознакомиться сверхсоставными числами. Продолжить ряд совершенных чисел, рассмотренных на уроке математики.

Работая в кружке « Юные дарования» мы ознакомились особенными двузначными числами, то есть произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифры, книга « Занимательная алгебра» автором, которого является Перельман, г. Чебоксары,1994г. Доказательство тоже приводится. Таких пар среди двузначных чисел 14. Перед нами была поставлена задача: « Найти трехзначных чисел, обладающих такими же свойствами»

Мне удалось найти таких пар трехзначных чисел, не меняющих произведение при перестановке их цифр в обратном порядке.

Например,

211 × 224 = 112× 422 и 322 × 446 = 223× 644.


Составление пар трехзначных чисел отличается от составления пар двузначных чисел и доказательство очень сложное. Из- за недостаточности знания в области алгебры, в частности, умножение многочлена на многочлен, мне не удалось доказывать принцип составления трехзначных чисел. Но же мне удалось найти и четырехзначных, и пятизначных чисел.

Что нового внесла я к удивительным числам – эти хорошие, симметричные числа и особенные трехзначные числа.

Изучая ряд натуральных чисел можно найти много особенностей натуральных чисел.

Думаю, что я в целом поставленные задачи выполнила и своей цели достигла, хотя очень много работы предстоит в будущем по этой теме.


Оглавление



  1. Историческая справка -----2стр.

  2. Простые, составные и сверхсоставные числа -3 стр.

3. Совершенные числа. ----4 стр.

4. Хорошие числа. ----5 стр.

5. Числа-близнецы. Дружественные числа. ----5 стр.

6. Особенные числа. ----6 стр.

7. Симметричные числа. ----11стр.

8. Заключение. ----12 стр.

  1. Литература. ---13 стр.



1


1. Введение.

Число - важнейшее математическое понятие. Потребовалось несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело форму, которая в настоящий момент признается удовлетворительной подавляющим большинством математиков. На первых ступенях развития понятие число определялось потребностями счета и измерения¸ возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки. Понятие натурального числа, вызванное потребностью счета предметов, возникло еще в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Источником возникновения понятия отвлеченного числа является примитивный счет предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определенной совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы. Лишь на достаточно высоком интеллектуальном уровне было осознано, что у конкретных предметных групп "два камня ", "две птицы" и "две руки" есть нечто общее: "два". Абстрактные, отвлеченные числа позволяли сравнивать количество предметов в разнородных совокупностях, что имело важное значение при обменных операциях типа "раковина за орех".

Определение. Числа называются отвлеченными, если не указана ( не названа) единица счета или измерения, в результате которого получено это число. Совокупность отвлеченного числа и названия (обычно сокращенного) единицы счета или измерения называется именованным числом.

Значит, 3 – это отвлеченное число, а 3 штуки или 3 м (метра) – это уже именованные числа.

С развитием письменности возможности воспроизведения чисел значительно расширились. Сначала числа стали обозначиться черточками на материале, служащим для записи, (папирус, глиняные таблички и т.д.) Затем были введены другие знаки для больших чисел (римские цифры) в Вавилоне. Крупным шагом вперед было изобретение индийцами современной позиционной системы счисления, позволяющей записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа принимает все более отвлеченную форму, все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной. Формировался натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4 и т.д. Естественный инструмент счета - пальцы на руках - установил первый предел: десять. Принцип группировки по десять позволял охватывать все большие количества объектов, объединяя их в новые единицы счета: десять десятков - сотня, десять сотен - тысяча, дальше десяти тысяч обыденный разум не заглядывал. Так сформировалась десятичная система счисления. Она позволяла с помощью небольшого количества слов называть все встречающиеся числа: например, триста шестьдесят пять - это три сотни и шесть десятков и пять единиц.

2

Учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных числах и совершенных числах все связано с именем Пифагора. Пифагор Самосский (около 570-500до нашей эры)- древнегреческий мыслитель, основатель пифагореизма. Скудные сведения о жизни и учении Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих Пифагора как полубога, совершенного мудреца, наследника всей античной и ближневосточной науки, чудотворца и мага.


2. Простые и составные числа.

( учебник математики 6 класс,

Натуральное число называется простым числом, если оно имеет только два различных делителя: единицу и само себя. Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам, так как имеет только один делитель.

Как определить, является ли данное число простым или составным? Для этого нужно выяснить, имеет ли это число хотя бы один делитель, отличный от самого числа и единицы. Если такого делителя нет, то число простое, в противном случае оно составное.

Древнегреческий ученый Эратосфен, живший несколько позднее Евклида, предложил свой способ для составления таблицы простых чисел. Этот способ носит название « решето Эратосфена». В чем он заключается? Найдем, например, все простые числа 1 от до 20. Для этого выпишем все числа от 1 до 20 в один ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20


Далее будем вычеркивать числа, которые не являются простыми. В первую очередь вычеркнем 1, так как это не простое число. Потом вычеркнем всех четных чисел, кроме 2, его подчеркнем снизу. Подчеркнем 3 и вычеркнем всех чисел, кратных 3 ( которые остались не вычеркнутыми), и. д..

Большие заслуги в области изучения простых чисел принадлежат русским математикам.

  1. П.Л. Чебышев (1821-1894) доказал, что между любым натуральным числом, вдвое большим данного( например, 2 и 4, 3 и 6, 10 и 20 и т.д.) всегда имеется хотя бы одно простое число.

  2. И.М. Виноградов(1891-1983) установил, что любое достаточно большое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чисел, например:


7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5 .


3


Задача. Эратосфен родился примерно в 276 г. до н. э. и умер примерно в 194г. до н.э. Какие годы, выраженные простыми числами, приходятся на период жизни Эратосфена?

Решение. Чтобы решить эту задачу, находим всех простых чисел, расположенных между числами 194 и 276. Для этого можно воспользоваться таблицей простых чисел или использовать (способ) решето Эратосфена. Итак, между числами 194 и 276 расположены числа: 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269 и 271. Всего 14 простых чисел.

Древнегреческий математик Евклид доказал примерно 2300 лет назад, что простых чисел бесконечно много, что наибольшего простого числа не существует.


Сверхсоставные числа.

( Книга «Я познаю мир»)

Человеку свойственно выискивать самое-самое во всем, с чем он имеет дело,

« Книга рекордов Гинесса» - тому подтверждение. А какое число самое большое? Такого числа нет, поскольку всякое число мы можем увеличить, прибавив к нему единичку.

Поищем чемпионов среди натуральных чисел по числу делителей. Меньше всего различных делителей у числа 1, всего один - сама единичка. У всех простых чисел по два делителя – само число и единичка. А у какого натурального числа больше всего делителей? Ясно, что такого числа нет, так как умножив натуральное число, скажем, на два, мы увеличиваем количество его различных делителей.

Сверхсоставным числом будем называть натуральное число, которое имеет больше делителей, чем каждый из больших его натуральных чисел.

Какое сверхсоставное число будет наименьшим?

Число 1 имеет ровно один делитель.

Числа 2 и 3 имеют ровно по два делителя, так как они простые.

Число 4 имеет три делителя.

Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6.

Казалось бы, что следующим должно идти число с пятью делителями. Наименьшее такое число 16, его делители 1, 2, 4, 8 и 16. Но его определило число 12, у которого шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Поэтому число 16 не стало сверхсоставным, а им стало число 12. Следующее число, являющееся сверхсоставным будет число 30 с восемью делителями.

Потом, 36, 40, 54, 56 все с восемью делителями, 48 с десятью делителями, число 60 имеет двенадцать делителей и только число 64 имеет ровно семь делителей, а значит числа 36, 40, 48, 54, 56 и 60 являются свехсоставными числами.

3. Совершенные числа.


Совершенным числом называют натуральное число, которое равно сумме делителей этого числа, меньших самого числа.

Пифагор (6 в до н.э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом.


4


Например,

6 = 1 + 2 +3, где числа 1, 2 и 3 являются делителями числа 6.

28 = 1+ 2 + 4+7 +14, где числа 1, 2, 4, 7 и 14 делители числа 28.

496 = 1+ 2 +4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, где числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 являются делителями числа 496.


Пифагорейцы знали только первые трех совершенных чисел. Четвертое совершенное число- 8128 стало известно в 1 веке нашей эры. Пятое- 33550336 было найдено в 15 веке нашей эры. К 1983 году было известно уже 27 совершенных чисел и все найденные совершенные числа являются четными числами. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.



  1. Хорошие числа. (Учебник математики 6 класс № )



Натуральное число будем называть хорошим, если оно делится на сумму цифр самого числа.

По определению хороших чисел все цифры от 1 до 9 являются хорошими числами. Самое меньшее двузначное число 10, так как оно делится на число, равное (1 + 0).

Следующим числом является 12, т.к. 12 ÷ (1 + 2), как уже мы доказали это же число является и сверхсоставным.

13 – не хорошее число, т.к. 13 не делится на (1+3);

14 -не хорошее число, т.к. 14 не делится на (1+ 4);

15 - не хорошее число, т.к. 15 не делится на (1+ 5);

16 - не хорошее число, т.к. 16 не делится на (1+ 6);

17 - не хорошее число, т.к. 17 не делится на (1+ 7);

18 - хорошее число, т.к. 18 делится на (1+ 8);

19 - - не хорошее число, т.к. 19 не делится на (1+ 9);

Хорошие числа: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50 и т.д.. Как мы видим, все хорошие числа являются составными числами, а некоторые даже сверхсоставными.


5. Числа близнецы. Дружественные числа.


К числу нерешенных до сих пор задач относится проблема "близнецов" - так называются простые числа, отличающиеся друг от друга на 2 (в первом десятке простых такими парами будут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19). Неизвестно, оборвется ли когда-нибудь этот список или же он бесконечен, как и ряд простых чисел.

5


Пифагор говорил: « Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Эти два числа замечательны тем, что сумма делителей каждого из них равна второму числу.

Действительно, делители числа 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 40, 44, 55 и 110,

делители числа 284: 1, 2, 4, 71 и 142.

220 = 1 + 2 + 4 + 71 +142, а

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 40 + 55 + 110.

Итак, числа 220 и 284 являются дружественными.

Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма (1601 -1665). Но в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256 – 1321) были найдены строки: « Числа 17296 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ».

А задолго до Ибн аль- Банны другой арабский математик Ибн Кура (836 – 901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа. Многие авторы после Ибн Куры изучали дружественные числа, но ничего не открыли.

Французский математик и философ Рене Декарт (1596 – 1650) в 1638 году нашел следующую пару дружественных чисел: 9363584 и 9437056.

После Декарта получил новые дружественные числа Леонард Эйлер (1707 - !783). Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа. В настоящее время известно 1100 пар дружественных чисел, найденных либо хитроумными способами, либо перебором на компьютере. Любопытно, что на долю компьютера в этом списке досталось совсем немного чисел - большинство из них было открыто математиками « вручную».


6а. Особенные числа (двузначные).

(Занимательная алгебра, Я.И. Перельман, Чебоксары 1994, стр.116)

Числа 46 и 96 обладают любопытной особенностью: их произведение не меняет своей величины, если переставить их цифры.

Действительно,

46 × 96 = 64 × 69.

Требуется установить, существуют ли еще другие пары двузначных чисел с тем же свойством. Как разыскать их все?

6


РЕШЕНИЕ

Для разыскания решений составляем из 9 цифр все пары с равными произведениями:


1 × 4 = 2 × 2 2 × 8 =4 × 4

1 × 6 = 2 × 3 2 × 9 = 3 × 6

1 × 8 = 2 × 4 3 × 8 = 4 × 6

1 × 9 = 3 × 3 4 × 9 = 6 × 6

2 × 6 = 3 × 4

Всех равенств 9. Из каждого можно составить одну или две искомые группы чисел.

Например, из равенства 1× 4 = 2 × 2 составляем одно решение:


12 × 42 = 21 × 24.


Из равенства 1× 6 = 2 × 3 находим два решения:

12 × 63 = 21 × 36, 13 × 62 = 31 × 26.

Таким образом, разыскиваем следующие 14 решений:


12 × 42 = 21 × 24 23 × 96 =32 × 69

12× 63 = 21× 36 24 × 63 =42 × 36

12 × 84 = 21× 48 24 × 84 =42 × 48

13 × 62 = 31 × 26 26 × 93 = 62 × 39

13 × 93 = 31 × 39 34 × 86 = 43 × 68

14 × 82 = 41× 28 36 × 84 = 63 × 48

23 × 64 = 32 × 46 46 × 96 = 64 × 69.

Доказательство: Пусть первое двузначное число 10x + y, а второе - 10z + t.


Цифры искомых чисел будут x , y, z, t,

Составляем уравнение

(10x + y) (10z + t) = (10 y + x) (10 t + z);

Раскрываем скобки

100xz + 10xt + 10yz + yt = 100yt + 10yz + 10xt + xz,

Упростим и получаем

xz = yt.


Исследуя произведения двузначных чисел, мы установили:

  1. Среди чисел есть как простые, так и составные, и сверхсоставные числа.

  2. При составлении двузначных чисел были использованы цифры: 1, 2, 3, 4, 6, 8

и 9. Нет в записи чисел цифры 5, 7, 0.

Таким свойством обладают двузначные числа. Мы искали среди трехзначных чисел, обладающих теми же свойствами.

7


6б. Особенные числа (трехзначные, четырехзначные и т. д.).

( мое исследование)


Работая в кружке « Юные дарования» мы продолжили изучение свойств, что произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифры и для трехзначных чисел. Первым делом постарались найти хотя бы одну пару трехзначных чисел, чтобы произведение этих чисел не меняло своей величины при перестановке их цифр. Действуя по тому же правилу, как для двузначных чисел, нам не удалось найти ни одну пару трехзначных чисел. Но желание найти таких чисел привело нас к желаемому результату. Первая пара трехзначных чисел была найдена мною, что произведение этих чисел равнялось произведению трехзначных чисел записанных в обратном порядке.


Вот эта пара: 211 × 224, потому что 211 × 224 = 112 × 422 то есть

47264 = 47264.

Чтобы получить первую пару трехзначных чисел, мне пришлось рассмотреть равные произведения разных множителей,

2 × 12 = 24× 1 (1)

Из чисел 2, 12, 24 и 1 составлена первая пара трехзначных чисел.

Вопрос: Можно ли из этих же чисел составить еще пары трехзначных различных чисел, обладающих теми же свойствами? Рассматривая всевозможные варианты, я убедилась, что другой пары трехзначных чисел не существует.


Отличие при составлении трехзначных чисел от двузначных состоит в том, что первое число составляется из первых множителей равенства (1), а второе число составляется из цифр вторых множителей, записанных в обратном порядке.

Имея такие открытия, я попробовала написать и вторую пару. Да, действительно, вторая пара нашлась уже быстро.


Вторая пара: 322 × 446.

Исследуя найденных пар трехзначных чисел, я выделила следующие особенности:

1. Первая цифра первого числа в два раза больше последней цифры второго числа.

2. Точно также последние две цифры первого числа в два раза больше первых двух цифр второго числа.

3. Первые две цифры первого числа в два раза больше последних двух цифр второго числа.

4. Самое важное: первое число в 2 раза больше второго трехзначного числа, записанного в обратном порядке.

Имея представление о парах трехзначных чисел, не меняющих произведение при перестановке цифр в обратном порядке. Я поставила задачу: найти всех таких пар трехзначных чисел. Для этого надо доказать общий принцип составления трехзначных чисел. Из- за недостаточности знания в области алгебры, в частности, умножение многочлена на многочлен, мне не удалось доказывать принцип составления трехзначных чисел. Но мне удалось найти и четырехзначных, и пятизначных чисел.



  1. Симметричные числа.


Число называется симметричным, если существует прямая (или центр симметрии), переводящее это число в себя.

Рассмотрим всех десять цифр:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Цифра 8 имеет только вертикальную ось симметрии l и является симметричным числом относительно этой вертикальной оси (прямой). Цифра 0 имеет две оси симметрии, вертикальную и горизонтальную l и n, и один центр симметрии (этот центр – точка пересечения вертикальной и горизонтальной осей симметрии).




Цифры 8 и 0 являются симметричными, значит, все симметричные числа будут составлены из этих цифр. Самым маленьким и единственным двузначным числом является число 88. Осью симметрии числа 88 является прямая m, переводящая первую восьмерку на вторую.

Следующим симметричным числом является число 808, имеющее вертикальную ось симметрии p, вторым симметричным трехзначным числом является число 888.



Четырехзначные симметричные числа: 8008, 8888.

Пятизначные симметричные числа: 80008, 80808, 88088, 88888.


8. Заключение.


Изучению удивительных особенностей натуральных чисел нет конца. Мною была исследована ряд натуральных чисел, обладающих любопытными особенностями. Я рассмотрела простые и составные числа, сверхсоставные числа. Совершенные числа и хорошие числа. Числа-близнецы. Дружественные числа. Особенные числа. Симметричные числа. По ходу изучения данной темы мне удалось углубленно изучить школьные темы, как простые и составные числа. Ознакомиться сверхсоставными числами. Продолжить ряд совершенных чисел, рассмотренных на уроке математики.

Я ознакомилась особенными двузначными числами, то есть произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифры.

Мне удалось найти таких пар трехзначных чисел, не меняющих произведение при перестановке их цифр в обратном порядке. Составление пар трехзначных чисел отличается от составления пар двузначных чисел и имеет очень сложное доказательство общего вида составления трехзначных чисел. Так же мне удалось найти и четырехзначных, и пятизначных чисел.

К удивительным числам я еще внесла симметричные числа.

Изучая ряд натуральных чисел можно найти много особенностей натуральных чисел.

Думаю, что я в целом поставленные задачи выполнила и своей цели достигла, хотя очень много работы предстоит в будущем по этой теме.

Часто спрашивают: а зачем решать такие задачи? Какие полезные следствия вызовет, скажем, установление истины в проблеме о количестве простых чисел-близнецов? Подобные сомнения возникают в каждой области творческой деятельности человека ("Кому нужна т а к а я музыка, т а к а я живопись? Для кого пишутся т а к и е стихи?"). Оправдываясь, специалисты, работающие в теории чисел, обычно приводят слова Леонарда Эйлера (1707-1783): "Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой великой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения проблем, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности". Как часто новые методы, новая техника, новая форма, возникшие при решении, казалось бы, частных задач, приводили науку на новый, более высокий уровень развития. Здесь останавливается наше движение по натуральному ряду. Не слишком ли много внимания мы уделили начальным шагам в математику? Ответом на это мог бы послужить известный афоризм немецкого математика Леопольда Кронекера (1823-1891): "Бог создал натуральные числа, все остальное - дело рук человеческих".


9. Литература:

  1. Изучаем математику. Фридман Л.М. Издательство

« Просвещение», 1995. -254стр.

  1. Депман И. Я., Виленкин И. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5 -6 кл. сред. шк. – М :Просвещение, 1989. стр.77- стр. 98.

  2. За страничками учебника алгебры. Пичурин Л.Ф., Москва « Просвещение»1990. -217стр.

  3. Занимательная алгебра. Перельман Я.И. Чебоксары 1994. -200 стр.

  4. Задания для внеклассной работы по математике. А.Б.Василевский. Минск « Народная асвета» 1988.- 174 стр.

  5. Математика 6. Э.Р.Нурк, А.Э. Тельгма, Москва

« Просвещение» 1991.

  1. Математика 6. Виленкин Москва « Просвещение»

  2. Я познаю мир. А.П.Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова. Москва «АСТ» 1996 -457 стр.

  3. Великие жизни в математике. Б.А. Кордемский. Москва

« Просвещение» 1995. -стр. 169.

  1. www.miloqija2077.ru/ierarch2.htm

  2. http://dss.qiqabyter.ru



Попробуем найти всех пар трехзначных чисел. Для этого составляем равные произведения из двух множителей, первым множителем которого является однозначное число, а вторым – двузначное и наоборот.

1) 20 = 2×10 = 20 × 1;

2) 21 = 3 × 7 = 21× 1, (другого разложения нет);

3) 22 = 2 × 11 = 22 × 1, (111 × 222 = 24642);

4) 23 – простое число;

5) 24 = 2 ×12 = 24 ×1, (211 × 224 = 112 ×422 = 47264), других решений нет;

6) 25 ---

7) 26 = 2 × 13 = 26 × 1, (311 × 226 = 113 × 622 = 70286), других решений нет;

8) 27---

9) 28 = 2 × 14 = 28 × 1, (411 × 228 = 114 × 822 = 93708), других решений нет;

10) 29 – простое число;

11) 30 - содержит цифру 0;

12) 31 – простое число;

13) 32 = 2 × 16 = 32 × 1, (161 × 232 = 161 × 232), других решений нет;

14) 33 = 3 ×11 = 33 × 1, (111 ×333 = 111 × 333), других решений нет;

15) 34 = 2 × 17 = 34× 1, (711 × 234

16) 35 = 5 × 7= 35 × 1, (другого разложения нет);

17) 36 = 2× 18 = 36× 1,

36 = 3 × 12 = 36× 1, (211 × 336 =112 × 633 = 70896), других решений нет;

18) 37 - простое число;

19) 38 = 2× 19 = 38 × 1, (911× 238 ≠ 119× 832), т.к. не выполняются замеченные условия;

20) 39 - простое число;

21) 40- содержит цифру 0;

22) 41- простое число;

23) 42 = 2 × 21 = 42 × 1, (121 × 242 = 121 × 242), других решений нет;

24) 43- простое число;

25) 44 = 2 × 22 = 44× 1, (221× 244 = 122 × 442), других решений нет;

26) 45 = 3 × 15 = 45 × 1,

27) 46 = 2 × 23 = 46× 1, (321× 246 = 123 × 642 = 78966), других решений нет;

28) 47 - простое число;

29) 48 = 2 × 24 = 48 × 1, (421 × 248 = 124 × 842 = 104408),

48 = 2× 24 = 12 × 4, (424 × 212 = 424 × 212),

48 = 4 × 12 = 48 × 1, (211 × 448 = 112 × 844 = 94528), три решения;

30) 49 = 7 × 7 ,

31) 50 – исключение, т. к. содержит цифру 0;

32) 51 = 3 × 17 = 51 × 1,

33) 52 = 2 × 26 = 52 × 1, не составляется,

52 = 2 × 26 = 13 × 4, (624 ×213 = 426 × 312 =132912), ;.

52 = 4 × 13 = 52 × 1, не составляется;

34) 53- простое число;

35) 54 =2 × 27 = 54 × 1,

36) 55 =5 ×11 = 55× 1, (111× 555);

37) 56 = 2× 28 = 56× 1,

56 = 2× 28 = 14 × 4 (824 × 214 = 428 × 412),

38) 57 = 3 × 19 = 57 × 1, не составляется


39) 58 = 2 × 29 = 58× 1, не составляется

40) 59- простое число;

41) 60– исключение, т. к. содержит цифру 0;

42) 61- простое число;

43) 62 = 2 × 31 = 62 × 1, (131 × 262 = 131 × 262),

44) 63 = 3 × 21 = 63 × 1, (121× 363 = 121× 363),

45) 64 = 2 × 32 = 64 × 1, (231 × 264 = 132 × 462)

64 = 4 × 16 = 64 × 1, (161 × 464 = 161 × 464),

64 = 2 ×32 = 16 × 4,

46) 65 = 5 × 13 = 65 × 1

47) 66 = 2 × 33 = 66 × 1, (331 × 266 = 133 × 662 =88046);

66 = 3 ×22 = 66 × 1, (221 × 366 =122 × 663 =80886);

66 = 6 × 11 = 66 × 1, (111× 666 = 111× 666),

48) 67 - простое число;

49) 68 = 2 × 34 68 × 1, (431 × 268 = 134 × 862=115508),

68 = 4× 17 = 68 × 1.


Работая по такой системе, я нашла всего 29 пар трехзначных чисел.

Таким образом, мы можем найти трехзначных чисел, произведение которых не меняет своей величины при перестановке цифр чисел в обратном порядке, но этот способ, в отличие от двузначных чисел не дает возможность найти всех пар трехзначных чисел.

Например,

103 ×903 = 301 × 309 (эта пара отсутствует).

То есть, числа, содержащие цифру нуль в разряде десятков. Поэтому, изучая особенности таких найденных пар трехзначных чисел, мне удалось найти и другой способ отыскания таких чисел. Второй способ, по моему мнению, является лучшим, чем первый. Второй способ отыскания пар трехзначных чисел заключается в том, что первое трехзначное число может быть любым, но записанным с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 0 (0 используется только в разряде десятков), а второе число будет в несколько раз больше числа, равного числу, записанному в обратном порядке первого.

Похожие:

Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева» iconExcelsior Секция «Творчество»
В данный момент наблюдается по-настоящему широкое внедрение компьютеров в профессиональную деятельность специалистов, не считающих...
Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева» iconПрезентация «Сила трения» Приложение Ход урока Организация класса. Разминка работа с карточками «Обозначения и единицы измерения физических величин»
Шишкина Надежда Павловна,учитель физики и информатики моу медяковской сош, идентификатор 102-093-305
Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева» iconРайонная конференция-фестиваль творчества обучающихся Секция Математика
Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развить в ней обе главные добродетели, давал ей уроки алгебры и геометрии и распределил...
Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева» iconОбразовательная программа моу уйско-Чебаркульская сош
Моу уйско-Чебаркульской сош следует понимать нормативный документ, определяющий содержание образования соответственного уровня и...
Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева» iconУрок по новейшей истории России «Решающая роль советско-германского фронта в разгроме Германии и ее союзников» Пушкиной Г. Б. (Моу мирновская сош торжокского района), Платнева В. П. (Моу сош №38 г. Тверь)
России «Решающая роль советско-германского фронта в разгроме Германии и ее союзников» Пушкиной Г. Б. (Моу мирновская сош торжокского...
Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева» iconПрограмма начального общего образования моу «сош №16»
Стратегические приоритеты образовательной программы моу «сош №16» г. Магнитогорска
Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева» iconПрограммно- методическое обеспечение образовательного процесса моу «сош №36» на 2012-2013 учебный год
Программы. Математика 5-6 классы./ Авт сост. И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2008г
Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева» iconПономаренко Л. П., Белоусова Р. В. Основы психологии для старшеклассников: Пособие для педагога: в 2 ч
Моу «Больше – Кайбицкая сош» моу «Больше-Кайбицкая сош» моу «Больше-Кайбицкая сош»
Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева» iconОтчет о результатах самообследования
Самообследование муниципального общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы №24 Копейского городского округа...
Обучающихся «excelsior» Секция математика никитина Надежда моу «Аликовская сош им. И. Я. Яковлева» iconОтчет о результатах самообследования
Самообследование муниципального общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы №48 Копейского городского округа...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница