Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования




Скачать 30,27 Kb.
НазваниеПрограмма дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования
Дата03.02.2016
Размер30,27 Kb.
ТипПрограмма дисциплины

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации




Государственный университет-


Высшая школа экономики

Факультет Бизнес-Информатика

Программа дисциплины

«Теория вероятностей и математическая статистика»



для направления 523100-Бизнес-информатика

вторая ступень высшего профессионального образования

и

для специальности 351400 – Прикладная информатика (в экономике)

(третья ступень высшего профессионального образования)


Автор А.С. Шведов

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании

Математические и кафедры "математической

статистические методы в экономике экономики и эконометрики»



Председатель А.С. Шведов Зав. кафедрой Г.Г. Канторович

«____»______________2006 г. «__»_____________2006 г.

Утверждена УС факультета Экономики

Т.А. Протасевич




«____»______________2006 г.




Москва, 2006


1. Введение

Автор программы: А.С.Шведов


Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» рассчитан на студентов второго года обучения бакалавриата факультета бизнес-информатики (1 – 3 модули).

Материал курса «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначен для использования во многих последующих курсах. Сюда включаются, например, эконометрика, анализ временных рядов, финансовая математика, теория случайных процессов, методы принятия решений, курсы продвинутого уровня по статистике.

По мере изучения новых понятий и методов в курсе сразу же даются примеры их использования для решения задач экономики и управления, а также задач инженерного характера. Рассматриваются такие применения, как статистический контроль качества производимой продукции, анализ полезности и анализ риска, страхование, портфельная теория и другие. С одной стороны, в курс входит материал по теории вероятностей и математической статистике, который обычно включается в западные курсы бизнес-статистики. Здесь присутствует большое число задач-ситуаций из различных прикладных областей, где, иногда, самое трудное – это увидеть, какой из статистических методов следует применить для решения данной задачи. Но также в курс входит и материал, традиционно включаемый в программы российских технических и физических вузов с повышенной математической подготовкой.

Требования к студентам: курс «Теория вероятностей и математическая статистика» рассчитан на студентов, прослушавших годовой курс математического анализа. Во второй части курса предполагается знакомство студентов с теорией матриц.

Аннотация: учебный процесс состоит из посещения студентами лекций (50 часов) и семинарских занятий (48 часов), решения основных типов задач, включаемых в три контрольные работы и одно домашнее задание, которое выполняется на компьютере. Основная форма контроля – экзамен в конце третьего модуля и зачет в конце второго модуля. Оценка ставится по 10 бальной шкале.

Отличная оценка может быть поставлена только при условии отлично выполненной экзаменационной работы, полного владения теоретическим материалом. Хорошая оценка может быть поставлена только при условии хорошо выполненной экзаменационной работы, твердого знания основ курса. Влияние на оценку выполненных контрольных работ и домашнего задания основано на следующей примерной схеме: 70% оценки зарабатывается на экзамене, 30% – в течение всего периода изучения курса и при сдаче зачета. В основном, результаты контрольных работ, домашнего задания и зачета учитываются при определении оценки по 10 бальной шкале внутри градаций «отлично», «хорошо», «удовлетворительно».


2. Основное содержание курса


1. Области практической деятельности и науки, где используются методы теории вероятностей и математической статистики. Основные понятия теории вероятностей и их соотнесение с соответствующими понятиями теории множеств. Вероятностное пространство, событие, случайная величина. Независимость событий. (Шведов (1995), Гл. 1.)


2. Функции распределения случайных величин и их свойства. Свойства функций распределения. Непрерывные случайные величины. Функции плотности и их свойства. Квантили и мода. Равномерное распределение. Совместная функция распределения системы случайных величин. Маргинальные распределения. Условные распределения. Независимость случайных величин. (Пугачев (2002), Разд. 2.4; Шведов (1995), Гл. 1; Бородин (1999), Разд. 11.)


3. Числовые характеристики случайных величин в случае, когда вероятностное пространство конечно. Математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, ковариация, корреляция. Их основные свойства. Моменты случайных величин. (Пугачев (2002), Разд. 3.1, 3.2; Шведов (1995), Гл. 1.)


4. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. (Шведов (1995), Гл. 1.)


5. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение. Приближенные формулы Муавра – Лапласа. (Шведов (1995), Гл. 2.)


6. Нормальное распределение и его основные свойства. Формулировка центральной предельной теоремы и пояснения к ней. (Шведов (1995), Гл. 3, Бородин (1999), Разд. 17.)


7. Основной прием математической статистики: набору из n числовых данных ставится в соответствие набор из n случайных величин. Выводы, которые этот прием позволяет делать из статистической информации. Некоторые широко используемые в математической статистике распределения вероятностей: - распределение, t-распределение, F-распределение. (Шведов (1995), Разд. 3.2, 5.1, 6.1, 7.1.)


8. Точность результатов при проведении выборочных исследований. Простая случайная выборка. Выборочное среднее, его математическое ожидание и дисперсия (с учетом поправки на конечный размер генеральной совокупности). Пример использования дисперсии выборочного среднего для построения доверительного интервала (без строгого определения доверительного интервала). (Шведов (1995), Гл. 3; Newbold (1995), Гл. 6.)

9. Простая случайная выборка. Выборочная дисперсия и ее математическое ожидание. Смещенная и несмещенная оценки для дисперсии по генеральной совокупности. Дисперсия выборочной дисперсии. Пример использования теоремы о распределении выборочной дисперсии для проверки гипотез (без строгого определения проверки гипотез). (Шведов (1995), Гл. 4; Newbold (1995), Гл. 6)


10 Стратифицированная случайная выборка. Выборочное среднее, его математическое ожидание. Дисперсия выборочного среднего при оптимальном и при пропорциональном размещении. Сравнение этих дисперсий между собой и с дисперсией выборочного среднего при простой случайной выборке. Построение выборочной дисперсии. (Newbold (1995), Разд. 18.4.)


11. Статистические оценки. Выборочные исследования и оценка параметров распределений. Свойства оценок; несмещенность, состоятельность, эффективность. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. (Шведов (1995), Гл. 4.)


12. Методы получения оценок; метод моментов и метод максимального правдоподобия. Оценка параметров биномиального, нормального и равномерного распределений. (Пугачев (2002), Разд. 7.2; Бородин (1999), Разд. 25.; Wackerly et al (1996), Разд. 9.6, 9.7.)


13. Доверительные интервалы. Доверительные интервалы для среднего при известной и неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для пропорции. Доверительные интервалы для разности двух средних. Доверительные интервалы для дисперсии. Доверительное множество для векторного параметра. (Шведов (1995), Гл. 3; Newbold (1995), Гл. 8)


14. Проверка гипотез. Простые и сложные гипотезы. Критерий выбора между основной и альтернативной гипотезами. Уровень значимости. Мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. (Шведов (1995), Гл. 3; Wackerly et al (1996), Разд. 10.10.)


15. Проверка гипотез о конкретном значении для среднего, пропорции и дисперсии. Двойственность проверки гипотез и построения доверительных интервалов. Проверка гипотез для разности двух средних и для разности двух пропорций. Проверка гипотез о равенстве двух дисперсий. Тесты на нормальность и тесты Колмогорова – Смирнова. (Шведов (1995), Гл. 3, 6, 7; Newbold (1995), Гл. 9.)


16. Критерий . Проверка гипотез о соответствии наблюдений предполагаемому распределению вероятностей. Таблицы сопряженности признаков. (Шведов (1995), Гл. 5; Newbold (1995), Гл. 11.)


17. Дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ, проверка гипотез о равенстве нескольких средних. Двухфакторный дисперсионный анализ. (Шведов (1995), Гл. 7; Newbold (1995), Гл. 15.)


18. Распределение Пуассона. Пуассоновская аппроксимация нормального распределения. Оценка параметра распределения Пуассона методом моментов и методом максимального правдоподобия. (Шведов (1995), Гл. 8.)


19. Экспоненциальное распределение, бета распределение, гамма распределение, логарифмически нормальное распределение. Функция распределения функции случайной величины. (Пугачев (2002), Разд. 5.2; Шведов (1995), Гл. 8; Wackerly et al (1996), Разд. 4.6, 4.7.)


20. Гипергеометрическое распределение. Геометрическое и отрицательное биномиальное распределение. (Wackerly et al (1996), Разд. 3.5 – 3.7.)


21. Аксиоматика Колмогорова. (Бородин (1999), Разд. 6.)


22. Условное математическое ожидание. (Wackerly et al (1996), Разд. 5.11.)


23. Моменты второго порядка случайных векторов. Свойства ковариационной матрицы. Канонические разложения случайных векторов. (Пугачев (2002), Разд. 3.3 – 3.5.)


24. Многомерное нормальное распределение. (Пугачев (2002), Разд. 4.5.)


25. Сходимость случайных величин по вероятности и почти наверное. Соотношение между этими двумя видами сходимости. Сходимость по вероятности функций от случайных векторов. Состоятельность выборочной ковариации и выборочной корреляции. (Пугачев (2002), Разд. 6.1; Бородин (1999), Разд. 16, 19; Hogg, Craig (1995), Разд. 5.2.)


26. Сходимость случайных величин по распределению. Соотношение между сходимостью по распределению и сходимостью по вероятности. (Hogg, Craig (1995), Разд. 5.1.)


27. Информационное количество Фишера. Неравенство Крамера – Рао. Асимптотически эффективные оценки. (Бородин (1999), Разд. 22.)


28. Состоятельность, асимптотическая эффективность и асимптотическая нормальность оценок максимального правдоподобия. (Бородин (1999), Разд. 25.)


29. Порядковые статистики. (Бородин (1999), Разд. 18.)

3. Образцы заданий


1. Совместимы ли события A и ?


2. Пусть случайная величина X имеет функцию плотности f(x), и случайная величина Y связана со случайной величиной X соотношением Y=aX+b, где a и b –константы. Найти функцию плотности случайной величины Y.


3а. График функции распределения случайной величины X лежит под графиком функции распределения случайной величины Y:



Выберите верное утверждение и докажите его.

А. Математическое ожидание случайной величины Y больше математического ожидания случайной величины X.

Б. Математическое ожидание случайной величины Y не меньше математического ожидания случайной величины X.

В. Математическое ожидание случайной величины X больше математического ожидания случайной величины Y.

Г. Ничего нельзя сказать об отношении математических ожиданий случайных величин X и Y.


3б. Совместная плотность распределения случайных величин X и Y задается формулой при . При других значениях аргументов совместная плотность считается равной нулю. Найти математическое ожидание и дисперсию каждой из случайных величин X и Y и корреляцию этих случайных величин.


3в. Монета с вероятностью выпадения герба 0.5 и с вероятностью выпадения решетки 0.5 бросается 7 раз. Найти корреляцию (коэффициент корреляции) между числом гербов, выпадающих при первых 5 бросках, и числом решеток, выпадающих при последних 4 бросках.


4. Аналитик изучил проспекты акций большого числа корпораций. Некоторые из этих акций он рекомендовал для приобретения. По прошествии года выяснилось, что 25% из всех рассматриваемых акций принесли доход значительно выше среднего по рынку, 50% из всех рассматриваемых акций принесли доход примерно равный среднему по рынку и 25% из всех рассматриваемых акций принесли доход значительно ниже среднего по рынку. 30% из числа акций, которые принесли доход значительно выше среднего по рынку, были рекомендованы аналитиком для приобретения; 20% из числа акций, которые принесли доход примерно равный среднему по рынку, были рекомендованы аналитиком для приобретения; 10% из числа акций, которые принесли доход значительно ниже среднего по рынку, были рекомендованы аналитиком для приобретения. Какова вероятность, что акция, рекомендованная аналитиком для приобретения, принесла доход значительно выше среднего по рынку?


5. Две игральные кости бросают до выпадения числа 6 хотя бы на одной из них. Найти вероятность того, что две кости будут брошены ровно k раз.


6. Сформулируйте правило «трех сигм».


7. Найдите вероятность того, что случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с 5 степенями свободы, принимает значение большее 1.96. Сравните эту вероятность с вероятностью того, что случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение, принимает значение большее 1.96. Чему равна дисперсия каждой из этих случайных величин? Связано ли различие вероятностей с различием дисперсий?


8. Случайная выборка из 250 домов была взята из большой популяции домов старой постройки, чтобы оценить долю домов в популяции с ненадежной электропроводкой. Предположим, что в действительности 30% всех домов в популяции имеют ненадежную электропроводку. Найдите вероятность того, что в выборке доля домов с ненадежной электропроводкой будет между 0.25 и 0.35.


9. Известно, что в большом городе счета за электричество летом для домов, предназначенных для одной семьи, описываются нормальным распределением со стандартным отклонением $100. Взята случайная выборка из 25 таких счетов.

(а) Найдите вероятность того, что выборочное стандартное отклонение будет меньше $75.

(б) Найдите вероятность того, что выборочное стандартное отклонение будет больше $150.


10. В США 1395 колледжей, из которых 364 имеют 2-летнюю программу обучения и 1031 – 4-летнюю программу обучения. Взята стратифицированная случайная выборка из 40 колледжей с 2-летней программой обучения и 60 колледжей с 4-летней программой обучения. Для каждого колледжа из выборки взято число студентов, прослушавших в прошлом году курс бизнес статистики. Результаты исследования приведены в следующей таблице.

колледжи с 2-летней колледжи с 4-летней

программой обучения программой обучения

Среднее 154.3 411.8

Стандартное отклонение 87.3 219.9


Оцените общее количество студентов в США, прослушавших курс бизнес статистики в прошлом году.


11. Отношения рыночной цены акции к чистой прибыли компании в расчете на одну акцию для 10 акций, торгуемых на NYSE, в определенный день составили

10 16 5 10 12 8 4 6 5 4

Оцените для генеральной совокупности всех акций, торгуемых на NYSE, среднее отношение рыночной цены акции к чистой прибыли компании в расчете на одну акцию в данный день, дисперсию, стандартное отклонение, а также долю акций в генеральной совокупности, для которых отношение рыночной цены акции к чистой прибыли компании в расчете на одну акцию больше 8.5.


12. Предполагается, что n наблюдений являются значениями независимых одинаково распределенных случайных величин , имеющих распределение с функцией плотности, равной 0 при и равной при . Методом моментов оцените .


13. Из представителей компаний, набирающих выпускников колледжей на работу, взята случайная выборка, состоящая из 142 представителей. Этим представителям был задан вопрос, какую роль играют оценки, полученные в колледже, при отборе кандидата. 87 представителей компаний выбрали ответы «решающую», «крайне важную» или «очень важную». Постройте 95% доверительный интервал, чтобы оценить долю тех компаний из числа всех, набирающих выпускников колледжей на работу, которые руководствуются подобными принципами.


14. Что такое функция мощности? Почему при сложной альтернативной гипотезе мы говорим о мощности не как об одном числе, а как о некоторой функции? Что является областью определения и областью значений для этой функции?


15. Профессор политологии хочет сравнить успеваемость студентов, которые принимали участие в президентских выборах, и студентов, которые не принимали участие в президентских выборах. Из первой генеральной совокупности была взята выборка из 114 студентов, и для этой выборки средняя оценка оказалась 2.71 со стандартным отклонением 0.64. Из второй генеральной совокупности была взята независимая выборка из 123 студентов, и для этой выборки средняя оценка оказалась 2.79 со стандартным отклонением 0.56. Проверьте гипотезу, что средние оценки для обеих генеральных совокупностей одинаковы. Какие дополнительные предположения необходимо сделать для проверки этой гипотезы?


16. Число дорожно-транспортных происшествий на оживленном перекрестке фиксировалось в течение 50 недель. Результаты приведены в следующей таблице.

Число ДТП Количество недель с таким числом ДТП

  1. 32

  2. 12

  3. 6

  4. 0

Проверьте гипотезу, что число ДТП на данном перекрестке описывается распределением Пуассона. Примите уровень значимости 0.05.


17. Производитель консервов готовится выпустить в продажу новый вид консервов и решает вопрос, при каком цвете консервных банок продажи будут наилучшими. Для этого изготовлены пробные партии консервов в банках трех разных цветов, красного, желтого и синего. Для их продажи выбраны 16 магазинов примерно одинакового размера. В 6 магазинов направлены консервы в банках красного цвета, в 5 магазинов – в банках желтого цвета и в 5 магазинов – в банках синего цвета. Через несколько дней проверены продажи в каждом из этих магазинов. Результаты (в десятках банок) приведены в следующей таблице.

Красные Желтые Синие

43 52 61

52 37 29

59 38 38

76 64 53

61 74 79

81


Проверьте гипотезу, что объемы продаж не зависят от цвета банки.


18. Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона и . Найдите вероятность события .


19. Цистерна оптового торговца бензином имеет определенный объем, и торговец заполняет ее каждый понедельник. Интересующий торговца вопрос состоит в том, какая доля всего запаса бензина продается в течение недели. Путем длительных наблюдений торговец определил, что данная доля бензина может моделироваться случайной величиной, имеющей бета распределение с параметрами . Найти вероятность того, что в некоторую выбранную неделю торговец продаст больше 90% всего своего запаса.


20. Геологические исследования показывают, что в определенном регионе скважина дает нефть с вероятностью 0.2. Компания ведет бурение скважин в данном регионе. Найдите вероятность того, что третья скважина с нефтью встретится при пятом бурении.


21. Объясните, почему любая -алгебра является -алгеброй, и, наоборот, любая -алгебра является -алгеброй. Приведите пример алгебры, которая не является -алгеброй.


22. Пусть при контроле качества на линии сборки изделий ежедневно проверяется 10 изделий, и пусть Y – количество дефектных изделий из числа этих 10. Если вероятность p того, что изделие окажется дефектным, постоянна, то случайная величина Y имеет биномиальное распределение, математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y в этом случае могут быть посчитаны по известным формулам. Пусть теперь вероятность p сама является случайной величиной, которая равномерно распределена на отрезке [0, 0.25]. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y.


23. Как изменяется ковариационная матрица при линейном преобразовании случайного вектора?


24. Пусть случайные величины и имеют двумерное нормальное распределение. Покажите, что условное распределение при условии нормально с математическим ожиданием и с дисперсией .

25. Сформулируйте закон больших чисел и усиленный закон больших чисел.

26. Докажите, что если последовательность случайных величин сходится по распределению к константе, то данная последовательность случайных величин сходится и по вероятности к той же константе.


27. Найдите информационное количество Фишера относительно параметра , содержащееся n наблюдениях, если наблюдения являются значениями независимых одинаково распределенных случайных величин , имеющих распределение с функцией плотности, равной 0 при и равной при .


28. Приведите пример оценки, построенной методом максимального правдоподобия, которая не является состоятельной. Какое из условий теоремы о состоятельности оценок максимального правдоподобия в данном случае нарушено?


29. Устройство содержит n одинаковых блоков, работающих независимо друг от друга. Время, в течение которого блок остается работоспособным – это случайная величина, имеющая экспоненциальное распределение с параметром . Устройство остается работоспособным, пока остаются работоспособными хотя бы k блоков, , и становится неработоспособным в противном случае. Построить функцию распределения для времени, в течение которого устройство остается работоспособным.


4. Литература

Базовые учебники


1. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., «Физматлит», 2002.

2. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., Изд-во ВШЭ, 1995

Основная литература


  1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – С.-П., «Лань», 1999.

  2. R.V.Hogg, A.T.Craig Introduction to Mathematical Statistics. – 5th ed., Upper Saddle River, Prentice Hall, 1995.

  3. P.Newbold Statistics for Business and Economics. – London, Prentice-Hall, Ed.4, 1995.

  4. D.D.Wackerly, W.Mendenhall, R.L.Scheaffer Mathematical Statistics with Applications. - 5th ed., Belmont, Duxbury Press, 1996.



Дополнительная литература


  1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М., ЮНИТИ, 1998.

  2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики. – М., «Наука», 1983.

  3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М., «Наука», 1984.

  4. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. – М., «Высшая школа», 1984.

  5. Кокс Д., Снелл Э. Прикладная статистика. – М., «Мир», 1984.

  6. Крамер Г. Математические методы статистики. – М., «Мир», 1975.

  7. Ликеш И., Ляга Й, Основные таблицы математической статистики. - М., «Финансы и статистика», 1985.

  8. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. – М., Изд-во МГУ, 1972.

  9. V.Lindley, W.F.Scott New Cambridge Statistical Tables. – Ed.2, Cambridge University Press, 1995.

  10. A.M.Mood, F.A.Graybill, D.C.Boes Introduction to the Theory of Statistics. - N.Y., McGraw-Hill, 1974.

  11. J.A.Rice Mathematical Statistics and Data Analysis. - Pacific Grove, Wadsworth and Brook, 1988.

  12. G.W.Snedecor, W.G.Cochran Statistical Methods. - 7th edition, Ames, Iowa State University Press, 1980.

  13. G.B.Wetherill Intermediate Statistical Methods, London, Chapman and Hall, 1981.

Сборники задач





  1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., «Высшая школа», 1998.

  2. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике.- Л., ЛГУ,1967.

  3. Ивченко Г.П., Медведев Ю.И., Чистяков А.В. Сборник задач по математической статистике. – М., «Высшая школа», 1989.

  4. Климов Г.П., Кузьмин А.Д. Вероятность, процессы, статистика. Задачи с решениями. – М., МГУ, 1985.

  5. Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. – М.,»Наука», 1970.

  6. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (сост. Ратникова Т.А., Шведов А.С.) – М., ВШЭ, 1996.



5. Сетка часов

Тема

Аудиторные часы

Формы

текущего контроля

Самосто-

ятельная работа

Всего часов

Лекции

Семинары

Всего

1

1 – 6

14

14

28

к.р.

35

53

2

7 – 17

20

20

40

к.р., д.з.,


зачет

55

95

3

18 – 20

0

4

4

2

6

4

21 – 26

10

10

20

к.р.

30

52

5

27 – 29

6

0

6

6

12

50

48

98

128

216

А.С.Шведов


Похожие:

Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования  iconПрограмма дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 080700. 62 Бизнес-информатика подготовки бакалавра для специализации...
Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования  iconПрограмма дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 080700. 62-Бизнес-информатика подготовки бакалавра Автор А. С. Шведов
«Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 080700. 62-Бизнес-информатика подготовки бакалавра
Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования  iconПрограмма дисциплины  «Теория вероятностей и математическая статистика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 230700. 62 «Прикладная...
Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования  iconПрограмма дисциплины  «Теория вероятностей и математическая статистика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400. 62 «Прикладная...
Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования  iconПрограмма дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика для направления/ специальности 230100. 62 Информатика и вычислительная техника
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 230100. 62 «Информатика...
Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования  icon«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов бакалавриата II курса всех направлений
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов II курса направлений «Экономика», «Менеджмент»,...
Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования  iconПрограмма по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» разработана в соответствии с Государственным стандартом образования РФ (ЕН. Общие...
Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования  iconПрограмма дисциплины теория вероятностей и математическая статистика Цикл ен. Ф специальность: 010900 Астрономия Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации
Рабочая программа дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика" предназначена для студентов 1 курса
Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования  iconРабочая программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика»
«теория вероятностей и математическая статистика». Программа для студентов, обучающихся по направлению 080200 «Менеджмент» профиль...
Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления 523100-Бизнес-информатика вторая ступень высшего профессионального образования  iconРабочая программа дисциплины ен. Ф. 04 «Теория вероятностей и математическая статистика»
Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования 27. 12. 2005г
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница