В. Д. Горяченко, А. Л. Пригоровский




Скачать 17,46 Kb.
НазваниеВ. Д. Горяченко, А. Л. Пригоровский
страница1/2
Дата03.02.2016
Размер17,46 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие
  1   2
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ


Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского


В.Д. Горяченко, А.Л. Пригоровский,

В.М. Сандалов


ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ,

УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ

И КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


Часть 2. Устойчивость в малом. Критерии

устойчивости. Метод D-разбиений

Учебно-методическое пособие



Рекомендовано методической комиссией

механико-математического факультета для студентов высших

учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»


2-е издание, переработанное и дополненное


Нижний Новгород

2009

УДК 517.925+517.938

ББК В 232

Г 71


Рецензенты: д.т. н., проф. В.Н. Комаров

д.ф.-м.н., проф. М.М. Коган


Г 71 Горяченко В.Д., Пригоровский А.Л., Сандалов В.М. ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ И КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Часть 2: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2009. – 30 с.


Предлагаемый сборник задач предназначен для студентов и аспирантов, специализирующихся по прикладной математике и изучающих курс теории нелинейных колебаний. Сборник также будет полезен преподавателям, широкому кругу инженерно-технических работников и специалистов, занятых разработкой и исследованием математических моделей динамики систем различной природы. В нем приведены задачи об устойчивости состояний равновесия по линейному приближению, построение областей с различной степенью неустойчивости в пространстве параметров динамических систем с разбором их решения, а также вопросы и задачи для самостоятельной работы. Ко многим задачам даны ответы, указания, пояснения к решениям.


УДК 517.925+517.938

ББК В 232


 В.Д. Горяченко, А.Л. Пригоровский,

В.М. Сандалов, 2009


Содержание


Введение 4

1. Устойчивость в малом. Классические теоремы

Ляпунова 5

2. Критерии Рауса–Гурвица, Льенара–Шипара,

Эрмита–Гурвица 8

3. Метод D-разбиений 13

4. Робастная устойчивость 18

Задачи для самостоятельной работы 20

Ответы и указания 26

Список литературы 29

Введение

Во второй части сборника “Задачи по теории колебаний, устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений” приведены классические теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению, критерии Рауса–Гурвица, Льенара–Шипара, Эрмита–Гурвица, а также метод D-разбиений и понятие робастной устойчивости. Краткие теоретические сведения снабжены примерами и решенными задачами. В конце сборника приведено более ста задач для самостоятельной работы, для которых даны ответы и указания. Предлагаемое учебно-методическое пособие будет полезно студентам и аспирантам, изучающим курс теории колебаний и устойчивости движения, а также специалистам, занятым разработкой динамических систем различной природы.

1. Устойчивость в малом.

Классические теоремы Ляпунова


Пусть автономная динамическая система описывается следующей системой дифференциальных уравнений:


(1)


Точка , координаты которой удовлетворяют системе уравнений

(2)


является одним из состояний равновесия этой динамической системы. Будем полагать, что состояние равновесия изолированное, то есть имеется окрестность состояния равновесия P0, в которой нет других состояний равновесия.

Линеаризуем систему (1) в окрестности состояния равновесия P0:

(3)

Сделав замену , обозначив и пренебрегая нелинейными членами , получим линеаризованную систему

(4)

Характеристическое уравнение системы (4) запишем в виде:


(5)


где D() – характеристический многочлен, определяемый равенством




Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения (5) линеаризованной системы (4) имеют действительные части меньшие нуля, то состояние равновесия (2) системы (1) асимптотически устойчиво, каковы бы ни были нелинейные члены.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения (5) линеаризованной системы (4) имеется хотя бы один корень с действительной частью большей нуля, то состояние равновесия (2) неустойчиво при любых нелинейных членах.

Теорема 3. Если характеристическое уравнение (5) линеаризованной системы (4) не имеет корней с действительной частью большей нуля, но имеет корни с вещественной частью равной нулю, то вопрос об устойчивости решается именно нелинейными членами [2].

Примеры

Задача 1. Найти условие самовозбуждения (неустойчивости) лампового генератора с индуктивной обратной связью и колебательным контуром в цепи сетки триода.

Ток i в контуре и напряжение u на конденсаторе описываются уравнениями [1]:





где c – емкость, R – сопротивление, L – индуктивность, M – коэффициент связи между анодной цепью и контуром, S(u) – крутизна характеристики триода; все параметры положительны.

Решение. Линеаризуя уравнения в окрестности состояния равновесия i = 0, u = 0 и приводя их к стандартной форме, получим:





Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:




или


Для неустойчивости состояния равновесия системы, описываемой этим квадратным уравнением, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: RcMS(0) < 0.

Задача 2. Исследовать устойчивость нулевого решения системы




Решение. Проведя линеаризацию системы в окрестности начала координат, получим систему и соответствующее ей характеристическое уравнение:








Прибавив к первому столбцу определителя соответствующие элементы двух других столбцов, получим





Отсюда 1 = a, а два других корня определяются из уравнения




Учитывая, что b > 0 и с > 0, получим, что нулевое решение исходной системы асимптотически устойчиво при a > 0 и неустойчиво при a < 0. При a = 0: 1 = 0, а Re2,3 < 0, и линеаризованные уравнения не решают вопроса об устойчивости.


2. Критерии Рауса–Гурвица, Льенара–Шипара,

Эрмита–Гурвица


Развернем характеристическое уравнение (5) по степеням :


(6)


где ai R и зависят от параметров системы, a0 > 0.

Критерии Рауса–Гурвица и Льенара–Шипара дают возможность, не вычисляя корней характеристического уравнения (6), судить о знаках реальных частей его корней только с помощью исследования коэффициентов этого многочлена и, в конечном итоге, судить об устойчивости состояния равновесия [2, 6]. Введем обозначения:




,


ak = 0 при k > n.

Критерий Рауса–Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (6) при действительных значениях a0 > 0 и ak имели реальную часть меньше нуля, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись неравенства:


(7)


Частные случаи критерия Рауса–Гурвица:


n = 2:

n = 3:

n = 4:


Замечание 1. Если хотя бы одно из неравенств (7) имеет противоположный смысл, то среди корней уравнения (6) имеются корни с положительной действительной частью.

Замечание 2. Необходимым условием отрицательности действительных частей всех корней уравнения (6) является положительность

Замечание 3. Если при a0 > 0 хотя бы один из коэффициентов ak отрицателен, то среди корней уравнения (6) имеются корни с положительной действительной частью.

Примеры

Задача 3. Исследовать устойчивость нулевого решения системы:




Решение. Линеаризованная в окрестности нулевого решения система имеет вид:





Характеристическое уравнение:





Исследуем устойчивость нулевого решения по критерию Рауса–Гурвица. Имеем:





Отсюда получим необходимое и достаточное условие устойчивости:





Задача 4. В плоскости параметров ,  выделить область, соответствующую устойчивому состоянию равновесия динамической системы, заданной характеристическим уравнением:


.


Решение. Условия Рауса–Гурвица таковы:





Графическое решение этих неравенств приведено на рис.1. Область устойчивости заштрихована.




Рис. 1


Критерий ЛьенараШипара. Для отрицательности реальных частей корней уравнения (6) необходимо и достаточно:




где [x] – целая часть x.

Замечание. Предпочтительней пользоваться критерием Льенара–Шипара, так как этот критерий содержит меньше условий.

Примеры

Задача 5. Исследовать, при каких значениях параметров a и b нулевое состояние равновесия устойчиво:





Решение. Условия Льенара–Шипара таковы:





Из них следует, что нулевое решение будет асимптотически устойчиво, если выполняется следующая система неравенств:




В прикладных исследованиях часто возникает вопрос об условиях, при которых характеристический многочлен с комплексными коэффициентами будет устойчив (то есть когда действительные части его корней будут отрицательными). Пусть характеристическое уравнение имеет вид: Pn() = 0, а коэффициенты многочлена могут быть как действительными, так и комплексными числами. Заменим λ на jτ, j2 = 1, и тогда характеристическое уравнение примет вид:





Согласно критерию Эрмита–Гурвица составим следующую матрицу:





В приведенной матрице 2n строк или n парных строк.

Составим ряд из определителей:





и т.д.


Критерий Эрмита–Гурвица. Для устойчивости исходного полинома (или соответствующего состояния равновесия) необходимо и достаточно, чтобы ряд, составленный из i, был знакопеременным (, ).

Рассмотрим задачу о движении вращающегося с постоянной угловой скоростью ротора при учете внутреннего трения (модель плоско-параллельных перемещений). Соответствующее уравнение имеет следующий вид:





где z = x + jy – комплексная координата геометрического центра ротора при его плоско-параллельных перемещениях, p – угловая частота вращения ротора, h – коэффициент внешнего вязкого трения, θ – коэффициент, отвечающий за внутреннее трение. Все безразмерные параметры в этой задаче положительны. Покажем, что состояние равновесия, несмотря на то, что есть трение, может быть неустойчивым. Составим характеристическое уравнение:





Заменим λ на jτ и получим:





Здесь Матрица M в этом случае такова:





Составим ряд Эрмита–Гурвица:








Последнее неравенство выполняется при p < (1 + h/). Следовательно, при частоте вращения, большей критической величины (1 + + h/), нулевое состояние равновесия при учете внутреннего трения неустойчиво.

  1   2

Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница