B называется пределом функции f ( X )




НазваниеB называется пределом функции f ( X )
страница1/3
Дата03.02.2016
Размер18 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Справочный материал

Определение 1.

Постоянное число b называется пределом функции f(x) при , если для любого малого, наперёд заданного, положительного числа найдётся положительное число такое, что для всех ха и удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство .

Обозначение: .

Определение 2.

Постоянная величина а называется пределом переменной х, если разность между ними есть величина бесконечно малая, т.е. , если , .


Теоремы о пределах:


Теорема 1. Переменная величина не может иметь двух различных пределов.


Теорема 2. Предел суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен сумме пределов этих переменных. lim x=a, lim y=b lim(x+y)=limx+limy=a+b


Теорема 3. Предел разности переменных величин, имеющих пределы, равен разности пределов этих переменных. lim x=a, lim y=b lim(x-y)= limx-limy= a-b


Теорема 4. Предел произведения конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных. lim x=a, lim y=b lim(x y)= lim x lim y=a b

Следствия:

  • Предел произведения постоянной величины на переменную, имеющую предел, равен произведению постоянной на предел переменной. limx)=А lim х, где А=const, х- переменная.

  • Предел степени переменной, имеющей предел, равен той же степени предела переменной. lim xm=( lim х)m ; lim =lim =(lim x)=


Теорема 5. Предел частного двух переменных, имеющих пределы, равен частному пределов этих переменных (при условии, что предел делителя не равен нулю)

lim x=a, lim y=b .

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями


  1. Функция, обратная по величине бесконечно большой, является бесконечно малой.

  2. Функция, обратная по величине бесконечно малой, отличной от нуля, есть бесконечно большая.

Для функции f(x), такой, что f(x)0 в окрестности точки а, справедливы свойства:

1)если , то ; 2) если , то .


Свойства бесконечно малых функций.


  1. Алгебраическая сумма (разность, произведение) двух бесконечно малых функций, есть функция бесконечно малая.

  2. Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную (в частности, на постоянную или бесконечно малую функцию) есть функция бесконечно малая.


Сравнение бесконечно малых функций

Отношение двух бесконечно малых функций может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть и есть б.м.ф. при , т.е. и .

  1. Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.

  2. Если , то называется бесконечно малой более высокого порядка,

чем

  1. Если , то называется бесконечно малой более низкого порядка,

чем

  1. Если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.

Пример1. Являются ли функции и бесконечно малыми функциями одного порядка при ?


Решение: При функция есть б.м.ф. более высокого порядка, чем , т.к. . В этом случае б.м.ф. стремится к нулю быстрее, чем .


Пример2. Сравнить порядок функций и при .

Решение: Так как , то есть б.м.ф. более низкого порядка, чем.


Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.


Определение. Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ); это обозначается так: ~.


Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:


  1. sin(x) ~x (при );

  2. sin(ax) ~ax (при );

  3. tg(x)~x (при );

  4. tg(ax)~ax (при );

  5. arcsin(x)~ x (при );

  6. arctg(x) ~ x (при );

  7. 1-cos(x) ~ (при );

  8. ~ x (при );

  9. ~ (при );

  10. (при ).


Свойства бесконечно больших функций.


  1. Сумма бесконечно большой функции и ограниченной функции есть функция бесконечно большая того же знака.

  2. Сумма двух бесконечно больших функций одинакового знака есть бесконечно большая функция того же знака.

  3. Произведение бесконечно большой функции на функцию, по абсолютному значению превосходящую некоторую положительную постоянную (в частности, на бесконечно большую функцию) есть функция бесконечно большая.


Первый «замечательный» предел (х- радианная мера угла)

Второй «замечательный» предел


Методические указания


Вычисление пределов:


1 тип. Предел делителя не равен нулю. В этом случае подставляем вместо переменной её предельное значение и вычисляем полученное выражение.


1) 2)


3)


2 тип. Предел делителя равен нулю. В этом случае предел дроби равен бесконечности.


4) ; 5)


3 тип. Пределы делителя и делимого равны нулю.

В этом случае получим неопределённость для раскрытия которой нужно выполнить некоторые преобразования данного выражения:

- разложить на множители числитель и знаменатель дроби, затем сократить дробь, подставить вместо переменной её предельное значение и вычислить

или

- умножить числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение, сократить и подставить предельное значение переменной

Замечание: и - сопряжённые выражения.


6)


7)




4 тип. Предел делителя равен ∞, а предел делимого – конечное число. В этом случае предел частного равен 0.


8) ; 9)


5 тип. Пределы делителя и делимого равны .


Если предел делителя и делимого равны , то получится выражение, не имеющее смысла (неопределённость ). Для раскрытия этой неопределённости нужно числитель и знаменатель дроби разделить на переменную в наивысшей степени.

10)

Обобщающая таблица


n = const, n 0


Виды неопределённости


0n = 0















1. Разложить дробь на множители.

2. Домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение числителю или знаменателю.

Разделить числитель и знаменатель дроби на переменную в наивысшей степени.

(0 Преобразовать выражение.

Преобразовать выражение (умножить и разделить на сопряжённое выражение или привести дроби к общему знаменателю).

  1   2   3

Похожие:

B называется пределом функции f ( X ) iconКакая функция называется показательной?
Уравнение, где переменная содержится в показатели степени, называется показательным
B называется пределом функции f ( X ) iconОписание импульсных функций
Цель дипломной работы изучить определения импульсной функции и дельта-функции Дирака и рассмотреть их применение на практике
B называется пределом функции f ( X ) iconПрограмма для родителей и педагогов, которая называется «Из детства в отрочество»
Вы держите в руках необычную книгу. Это программа для родителей и педагогов, которая называется «Из детства — в отрочество»
B называется пределом функции f ( X ) iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру цэми ран
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
B называется пределом функции f ( X ) iconОтчет по дисциплине «методы оптимизации и принятия решения»
...
B называется пределом функции f ( X ) iconТический анализ» для студентов 1 курса бакалавриата направлений «Экономика», «Бизнес-информатика»
Понятие функции. Способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры
B называется пределом функции f ( X ) iconОсобенности современного урока биологии
Урок остается основной организационной формой обучения и выполняет определенные функции: образовательную, воспитательную, развивающую....
B называется пределом функции f ( X ) iconНарушения функции щитовидной железы
Гипотиреоз — синдром, обусловленный длительным дефицитом тиреоидных гормонов вследствие сниженной функции щитовидной железы
B называется пределом функции f ( X ) iconОткрытое занятие по элективному курсу по алгебре для 9 классов «Функции и их графики»
УЧ. Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас очередное занятие элективного курса: «Функции и их графики». Китайская пословица гласит
B называется пределом функции f ( X ) iconПредлагаемый курс называется одм "основы дискретной математики" или в общем случае математическая теория систем. Дадим формальное определение системе
Предлагаемый курс называется одм "основы дискретной математики" или в общем случае математическая теория систем
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница