Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану




Скачать 20,54 Kb.
НазваниеБ. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану
страница1/2
Дата03.02.2016
Размер20,54 Kb.
ТипДокументы
  1   2
УДК 004.652, 539.3


ВЫСОКОТОЧНОЕ КЛАСТЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ВОЛН СДВИГА НА СИСТЕМЕ ОТВЕРСТИЙ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ С ЗАЩЕМЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ

Б.Е. Панченко

Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАНУ

Предложен параллельный алгоритм численного решения стационарной динамической задачи теории упругости о взаимодействии SH-волн с системой отверстий произвольного поперечного сечения, находящейся в полупространстве с защемленной границей. Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений, которая решается численно. Схема параллельных вычислений позволила исследовать ситуации с большим числом отражающих отверстий. Приведены новые численные результаты.

Введение

Анализ взаимодействия стационарных волн перемещений и напряжений в упругой среде с системой отверстий [1] позволяет оценить ресурсы конструкций, содержащих большое число таких неоднородностей. Поэтому такие исследования являются актуальными. В связи с тем, что моделирование динамических взаимодействий упругих волн и систем неоднородностей требует привлечения больших объемов вычислений и значительных ресурсов цифровой памяти, особое значение приобретают эффективные параллельные алгоритмы [2]. Тем более, что такие задачи являются все еще малоисследованными.

Среди аналитических методов решения плоских и антиплоских задач теории дифракции на отражающих неоднородностях произвольной формы особую роль в разработке кластерных алгоритмов играет метод интегральных уравнений [3,4]. Важным преимуществом этого метода является сокращение числа пространственных переменных [3]. В настоящей работе исследуется алгоритм кластерного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, возникающего при исследовании модельной задачи дифракции волн сдвига на системе цилиндрических полостей произвольного поперечного сечения в полубесконечной среде с защемленной границей.

  1. Постановка задачи

Рассмотрим упругое полупространство у ≥ 0 с защемленной границей y=0, содержащее m туннельных вдоль оси Oz полостей, поперечные сечения которых ограничены замкнутыми (без общих точек) контурами типа Ляпунова. Пусть L – совокупность указанных контуров и положительное направление выбрано так, что при движении вдоль L область D остается слева (рис. 1).



Рис. 1

Предположим, что источники внешнего поля перемещений W0 размещены в области D. В качестве такого источника может быть набегающая на цилиндры из бесконечности монохроматическая SH-волна, нормаль к фронту которой составляет угол  с осью OX (=const),

(1)

или гармонический источник интенсивности P, сосредоточенный в точке M0(x0y0) и порождающий поле перемещений

, (2)

Здесь c2 – скорость волны сдвига,  - частота колебаний,  - модуль сдвига, i – мнимая единица (), - функция Ханкеля первого рода n-го порядка, зависимость от времени выражается множителем .

В результате взаимодействия падающей и отраженной от границы y=0 волн с отверстиями возникает дифрагированное волновое поле. Обозначим W1 амплитуду отраженной от защемленной границы y=0 волны сдвига. Тогда суммарное поле амплитуд перемещений представимо в виде W=W0+W2-W1.

В случае набегающей из бесконечности волны сдвига (1) отраженная от границы волна имеет вид [4]:



А в случае гармонического источника (2):

, (3)


Неизвестная функция W2 должна удовлетворять однородному уравнению Гельмгольца в области D с волновым числом 2:

(4)

а также условием излучения на бесконечности типа Зоммерфельда [4,5].

На границе отверстий L нас будут интересовать касательные напряжения В случае антиплоской деформации

(5)

где s – положительная касательная, n – нормаль в точке (рис.1).

Пусть - точка L, в которой мы будем удовлетворять граничные условия. Так как L – граница отверстий, то, очевидно,

(6)

где – нормаль к L в точке .

Таким образом, задача дифракции волны сдвига (1) или (2) на системе отверстий в изотропном полупространстве с защемленной границе сводится к решению краевой задачи (4), (6) при выполнении дополнительных условий излучения на бесконечности.

2. Метод решения

Следуя [4,5], запишем функцию W2(x,y), характеризующую рассеянную отверстиями волну перемещений в области D, следующим образом:

, (7)

,

Здесь L – совокупность контуров (рис. 1); f(s) – неизвестная функция, удовлетворяющая на L условию Гельдера.

Интегральное представление (7) удовлетворяет уравнению Гельмгольца (4) в области D и обеспечивает выполнение условий излучения на бесконечности. Остается выполнить граничное условие (6). Для осуществления предельного перехода в (6) при частные производные и будем понимать следующим образом:



(8)



Воспользуемся также известными соотношениями [4,5]:



(9)

где - непрерывная функция в точке x=0.

Привлечение формулы Сохоцкого-Племеля [3] для вычисления предельных значений интегралов типа Коши, возникающих при удовлетворении граничного условия (6) с учетом соотношений (7) – (9), приводит к искомому интегральному уравнению относительно неизвестной функции f(s):

(10)

,

,

,



Здесь функции и отвечают случаям (1) и (2) соответственно.

Представим ядро , учитывая (9), в виде:

(11)

Теперь нетрудно убедиться [3], что функция непрерывна на L. Следовательно, интегральное уравнение (10) является уравнением Фредгольма второго рода, которое, как известно, разрешимо и имеет единственное решение в классе функций, непрерывных по Гельдеру.


3. Дискретизация задачи

Представим неизвестную плотность f(s) интегрального уравнения (9) как совокупность функций fj(sj), определенных на контурах . Тогда (10) превращается в систему интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода

(12)

Здесь дуговые координаты и относятся к точкам и соответственно.

Численная реализация интегральных уравнений (12) проводилась методом механических квадратур [3]. Вводилась параметризация контура Lj с помощью соотношений

(13)

причем Интегральное уравнение, соответствующее контуру Lk, удовлетворялось в узлах вида и сводилось к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений функции fj() в узлах вида , где nj - число точек разбиения контура Lj. Внеинтегральные значения выражались с помощью интерполяционных полиномов Лагранжа через искомые значения . Для нечетных nk имеем следующие выражение [6]:

(14)

Таким образом, при численной реализации системы интегральных уравнений (12) задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с N=n1+n2++nm неизвестными.

4. Схема вычислений

Пусть система интегральных уравнений сведена к системе линейных алгебраических уравнений, все элементы матрицы которой являются результатом дискретизации контуров. Очевидно, что размер матрицы пропорционален числу отверстий. Для исследования описанного метода при большом числе отверстий, а также для получения высокоточных результатов с погрешностью вычислений до 10-12 и проверки сходимости решений при большом числе точек коллокации потребуются существенные вычислительные ресурсы. Применим распараллеливание алгоритма. Из (12) следует, что каждый элемент матрицы определяется координатами узлов дискретизации.

Как показано на рис. 2, данный метод в вычислительном смысле сводится к обходу каждого контура по точкам коллокации внеинтегральной переменной и одновременному же обходу каждого контура по аналогичным либо иным узлам переменной интегрирования .



Рис. 2

Важной особенностью алгоритма такого обхода является то, что результирующая матрица формально является результатом Декартова произведения этих множеств. Это означает, что все элементы матрицы независимы один от другого, что не строго доказывает возможность применения параллельного вычисления.

Таким образом, переменная формирует строки матрицы СЛАУ, а переменная – ее столбцы. Диагональные элементы матрицы соответствуют коэффициентам системы, вычисленным в узлах общих для и отверстий. Иные коэффициенты вычисляются так, что значения принадлежат множеству точек коллокации с одних контуров, а значения переменных интегрирования – с других.

Распараллеливание вычислительного алгоритма может быть осуществлено для основных четырех процессов – варьирование группами исходных данных, вычисление коэффициентов системы линейных уравнений, численное решение СЛАУ и вычисление искомых характеристик дифрагированного поля по полученным после решения СЛАУ функциям. Наиболее емким с точки зрения временных затрат и ресурсов памяти являются второй и третий процессы. Для параллельного формирования матрицы СЛАУ вычислительный алгоритм сведется к двум основным процедурам. Первая формирует массив параметрических координат контуров всех отверстий, который является своеобразной базой данных для формирования клонов. При этом для обеспечения равномерной загрузки хоста кластерной системы исходный массив дробится пропорционально числу используемых процессоров.

Параллельно-конвейерная схема вычислений показана на рис. 3. Тут приведена пропорция интервалов времени вычислений на: синтез массивов исходных данных (время t0 при количестве процессов P1), синтез матрицы СЛАУ (время t1 при количестве процессов P1), решение СЛАУ методом Гаусса (t2 – оптимальное время вычислений при оптимальном числе процессов P0), синтез массивов итоговых решений (время t3). Первый, второй и четвертый этапы макроконвейера не требуют пересылок данных, что означает независимость вычислений. На третьем этапе для решения СЛАУ существует оптимальное число процессов, определяемое спецификой матрицы. Это означает, что для 1, 2 и 4 этапов алгоритма оптимальным является число процессов, соответствующих числу коэффициентов СЛАУ. А для решения СЛАУ число оптимальных процессов значительно меньше. Такой несимметричный алгоритм поддерживает операционная система MPI-2 посредством процедуры spawn («икрометание»). Но в настоящих исследованиях кластер такой мощности не применялся.

Для алгоритма решения СЛАУ искомого интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода оптимальным числом оказалось 200 – 250 процессов при заданной точности 10-10.



Рис. 3

На рис. 4 приведен график зависимости общего времени кластерных вычислений массива контурных напряжений на ромбическом отверстии от числа процессов для одного варианта нагрузки. По графику видно, что весь алгоритм хорошо масштабируется и имеет условно-оптимальное число процессов.




Рис. 4

Так как для данной методики решения краевой задачи основная операция при вычислении каждого элемента матрицы – это определение разностного аргумента цилиндрических функций Ханкеля, заданного на множестве значений параметрических координат отверстий, а также вычисление самих этих функций и коэффициентов при них, то на следующем шаге на каждом клоне хоста запускаются цикл процедур определения указанных коэффициентов. При этом синхронизация каждого процесса не требуется, так как итоговая матрица собирается по факту завершения последнего.

Вычислительный процесс решения СЛАУ также распараллеливается согласно [6]. Параллельное вычисление итоговых искомых характеристик осуществляется путем подстановки массивов значений неизвестных функций в представление (7) аналогично процедурам формирования матрицы СЛАУ.

  1   2

Похожие:

Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану iconБ. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану pr
Поведение системы некруговых отверстий в полупространстве со свободной границей
Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану icon«национальный исследовательский томский политехнический университет» институт кибернетики
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану iconГлушкова Людмила Ивановна

Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану iconУрок с применением компьютерных технологий
Автор: учитель математики моу тсош №3 поселка Таксимо Панченко Галина Константиновна
Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану iconОбчислювальні засоби обробки інформації в реальному часі ”
Олександр Пилипович співробітник, Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова нан україни
Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану icon5. список литературы 4
Форрестер Дж. Р. Основы кибернетики предприятия (Индустриальная динамика). M, Прогресс, 1970
Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану iconМинистерство образования Российской Федерации
Составитель: старший преподаватель кафедры информатики и кибернетики Иньшина Н. Д
Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану icon«Утверждаю» Директор школы В. И. Глушкова
Основная образовательная программа сформирована с учётом особенностей первой ступени общего образования как фундамента всего последующего...
Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану iconМеждународный организационный комитет конференции
Факультет Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова
Б. Е. Панченко Институт кибернетики им. В. М. Глушкова нану iconВычислительной математики и кибернетики (вмк) за 2006 год
Теоретическое описание и модель процесса уплотнения снежно-фирновых отложений в ледниковых покровах
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница