Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела




Скачать 39,27 Kb.
НазваниеКинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела
страница1/2
Дата03.02.2016
Размер39,27 Kb.
ТипДокументы
  1   2

Кинематические инварианты и распределение скоростей …

УДК 621.01

СТ. Н. БЪЧВАРОВ, В. Д. ЗЛАТАНОВ

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ НАИБОЛЕЕ ОБЩЕМ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

1. Введение

Движение твёрдого тела в наиболее общем случае рассмотрено во множестве работ [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12 ,13, 14, 15]. Основной вопрос – определение закона распределения скоростей точек тела

.

(1)

В соответствии с этим законом скорость произвольной точки М тела равна геометрической сумме скоростей произвольно выбранной точки тела, принятой за полюс, и скорости вращательного движении этой точки вокруг полюса (Эйлер).

Для выведения формулы (1) обыкновенно используют два метода. Первый базируется на теореме Эйлера и понятиях конечного и бесконечно малого поворота тела. Второй способ связан с введением двух координатных систем, одна из которых неподвижна, а вторая жёстко связана с телом; исследование движения тела сводится к исследованию движения подвижной координатной системы относительно неподвижной [8, 9, 10].

2. Цель исследования

В работе подробно рассматривается получение формулы (1) на основе первого метода, который назовем синтетическим. Затем на базе определенных инвариантов движения анализируется распределение скоростей точек тела.

3. Относительно вывода закона распределения скоростей

Известно, что положение абсолютно твёрдого тела в пространстве определяется положением трёх его точек, не лежащих на одной прямой. Ввиду этого перемещение тела в общем случае может быть сведено к перемещению одного жёстко связанного с телом треугольника (рис. 1), определяемого тремя точками А, М, N. Одна из этих точек, например, А, выбирается за полюс, и около неё строится сфера произвольного радиуса. Эта сфера пересекает твёрдое тело по сферической фигуре, на которой выбираются две точки M и N, лежащие на одной окружности. При движении тела эта фигура перемещается вместе со сферой и одновременно скользит по ней. Таким образом однозначно определяется положение треугольника AMN и тела.

Справедлива следующая теорема: всякое перемещение тела в пространстве может быть осуществлено посредством одного поступательного перемещения, определенного полюсом и одним поворотом вокруг оси, проходящей через этот полюс (обобщенная теория Эйлера–Даламбера).

Для доказательства примем точку А за полюс (рис. 1, а). Для перехода тела из положения А0М0N0 в положение АМ`N` совершаем сначала поступательное перемещение , переводящее тело из положения А0М0N0 в положение АMN. Перемещение тела из положения AMN в положение AM`N` является перемещением при неподвижном полюсе А. Следовательно, согласно теореме Эйлера, оно может быть осуществлено одним поворотом вокруг оси AJ, проходящей через полюс А. Для доказательства проведём дуги больших кругов MM` и NN`, отметим их середины M1 и N1 и через них проведём перпендикулярные к предыдущим дугам большие круги. Такие круги всегда пересекутся; обозначим точку их пересечения через P. Из равенства сферических треугольников MPN и M`PN` следует, что треугольник MPN может быть совмещён с треугольником M`PN` одним поворотом на угол MPM` вокруг центра P. Так как при таком перемещении точки А и P останутся неподвижными, то и прямая АP останется неподвижной, то есть она будет служить осью поворота тела, что и доказывает теорему Эйлера.



Рис. 1

Предположим, что тело произвело такое перемещение. Конечное перемещение произвольно выбранной точки М тела будет иметь вид:

,

(2)

где является поступательным перемещением тела, а – перемещением в результате поворота тела вокруг оси AJ на угол . Перемещение является разностью между радиус-векторами и точки М в начальный и конечный момент вращения относительно полюса А. Так как эти векторы связывают полюс А с одной и той же точкой М тела, они имеют одну длину (рис. 1, б).

Для определения перемещения в результате поворота тела на угол около оси AJ, необходимо задать направление этой оси единичным вектором . Это направление выбирается таким образом, чтобы с конца этого вектора вращение тела происходило против часовой стрелки. Определим перемещение через угол и векторы и .

Ясно, что векторы и являются образующими кругового конуса, по оси которого направлен единичный вектор . Очевидно, что их проекция на ось вращения остается неизменной, т.е.

.

(3)

Тогда составляющие, перпендикулярные оси, будут иметь вид:

.

(4)

.

(5)

Из рис. 1, б непосредственно имеем:

,

(6)

т.к. M1 является серединой и . Отмечаем, что и вектор имеет направление векторного произведения , где имеется ввиду, что и учтены равенства (4) и (5).

Таким образом, равенство (6) может быть записано в виде:

,

(7)

или результат может быть приведен к форме:

.

(8)

Формула (8) известна как формула Родрига.

Для решения этого уравнения относительно умножим уравнение векторно слева на . Учитывая, что , и равенство (3), получаем

.

(9)

Из (8) и (9) определяем . Для этого умножаем (8) на , и полученный результат суммируем с (9). Получаем

.

(10)

Эту формулу преобразуем к виду:

.

(11)

Здесь последние два слагаемых дают двойное векторное произведение: , вследствие чего формула (11) может быть представлена как

.

(12)

Здесь вводится вектор

,

(13)

названный условно вектором конечного поворота. Вектор конечного поворота сонаправлен с ортом и имеет величину . Перемещения точки М вокруг полюса А находится из соотношения:

.

(14)

Предположим, что тело совершило малое перемещение в пространстве. Тогда поступательное перемещение и элементарный угол поворота будут малыми. Вводим вектор бесконечно малого поворота , для которого из (13) получаем:

,

(15)

поскольку в первом приближении . Он равен по величине углу поворота и направлен по оси конечного поворота АJ в рассматриваемый момент. Отметим, что угол бесконечно малого поворота в общем случае не является дифференциалом какого-либо угла.

Бесконечно малое перемещение точки М вокруг полюса А может быть определено из (7). Принимая, что при , имеем , и из (7) получаем:

.

(16)

Этот результат следует непосредственно из (12), если пренебречь бесконечно малыми величинами высших порядков.

Величина векторного произведения , а его направление перпендикулярно плоскости, проходящей через полюс А и содержащей векторы и . Это относительное (“вращательное”) перемещение удовлетворяет одному основному свойству: длина вектора , связывающего две точки тела, остаётся неизменной. Таким образом, . Варьируя это равенство, находим:

,

(17)

т.е. . Замещая здесь из (16), получаем: , т. е. перемещение действительно перпендикулярно вектору .

Общее бесконечно малое перемещение точки М, согласно (2), будет иметь вид:

,

(18)

где: . Определяя скорость как предел отношения малого перемещения к интервалу времени при и на основе (18) находим:

.

Введя вектор угловой скорости

,

(19)

получаем формулу:

,

(20)

где – скорость полюса А, а , которая и является законом распределения скоростей.

4. Кинематические инварианты.

Кинематические величины, значения которых в рассматриваемы моменты одинаковы для всех точек тела и не зависят от выбора полюса А, называются кинематическими инвариантами.

Первый инвариант. Вектор угловой скорости тела одинаков для всех точек тела и не зависит от выбранного полюса:

.

(21)

Предположим, что для двух разных точек вектор различен и справедливы соотношения: . Тогда скалярное произведение , т. к. длины векторов и и угол между ними не меняется. Имеем:

.

Поскольку вектор произволен, следует , что противоречит допущению. Следовательно, вектор угловой скорости в рассматриваемый момент времени один и тот же для всех точек тела.

Вектор не зависит от выбора полюса А. Выберем наряду с точкой А и некоторую другую точку А1 за полюс. Пусть угловая скорость тела, когда за полюс выбрана точка А, есть , а когда за полюс выбрана точка А1, – . Тогда скорость произвольной точки М может быть выражена в виде: , где: и . Тогда имеем: . Но скорость точки А1, когда за полюс выбрана точка А, есть: . Подставив это выражение в предыдущее равенство, получим: или еще: . Но так как , получаем уравнение: . Отсюда, ввиду произвольности вектора , следует, что вектор должен быть равен нулю, т. е. . Что и требовалось доказать.

Второй инвариант. Скалярное произведение скорости любой точки тела и вектора угловой скорости одинаково для всех точек тела.

Действительно, умножив обе части равенства (20) скалярно на , получим: или:

,

(22)

т.к. , т.е. это скалярное произведение остается одним и тем же для всех точек тела.

Третий инвариант. Проекция скорости любой точки тела на направление угловой скорости одинаково для всех точек тела (рис 2).

.

(23)

И действительно, из равенства: , где: , находим: , т. к. отношение двух инвариантных величин также инвариантно.

Распределение скоростей точек в пространстве. Центральная или винтовая ось. На основе третьего инварианта можно дать следующее представление о распределении скоростей точек тела в пространстве (рис. 3). Предположим, что даны угловая скорость тела и скорость полюса А. Введём прямоугольную систему координат Аxyz. Ось Аz направим по направлению вектора , ось Ах – в плоскости, содержащей векторы и , а ось Ау – перпендикулярно этой плоскости таким образом, чтобы координатная система Ахуz была правой. Скорость произвольной точки М оси Ау, для которой , будет:

.

(24)

Так как каждая из скоростей и может быть разложена на два компонента, а именно: и , где компоненты и параллельны оси Ах, то (24) преобразуется к виду

.

(25)






Рис. 2 Рис. 3




Все векторы этого равенства коллинеарны оси Ах и проектируя (25) на ось Ax получаем:

.

(26)

Составляющие скоростей точек оси Ау линейны относительно ординаты . Очевидно, что на оси Ау существует точка С, для которой , т. е.

,

(27)

где: и . Для определенной таким образом точки С оси Ау имеем .Эта скорость коллинеарна вектору угловой скорости , т.е. и по значению эта скорость является наименьшей.

Каждая точка А` оси Аz, выбранная за полюс, имеет скорость, равную скорости точки А. Таким образом, она определяет точку С`, аналогичную точке С. Следовательно, существует бесконечное множество точек, подобных точке С. Все эти точки лежат на одной прямой , проходящей через построенную уже точку С и параллельную вектору угловой скорости. Эта прямая, единственная из множества параллельных между собой мгновенных осей вращения при разных полюсах, называется центральной или винтовой осью. Скорости точек, лежащих на этой оси, коллинеарны вектору и направлены по оси. Пара коллинеарных векторов и называется кинематическим винтом, который является правым, если направления векторов одинаковы, и левым, если направления противоположны.

Запишем уравнение винтовой оси при поступательно движущейся системе координат Ах`у`z` с началом в полюсе А и осями, параллельными соответствующим осям инерциальной координатной системы (рис. 4). Пусть точка С винтовой оси имеет координаты хуz. Скорость этой точки и угловая скорость являются коллинеарными векторами, т. е. существует число такое, что

.

(28)

Число р называется параметром кинематического винта. Выражая скорость через скорость полюса А, запишем уравнение (28) в виде: . Проецируя его на оси координат, получаем соотношение:

,

(29)

являющееся искомым уравнением винтовой оси.

На основании изложенного можно составить следующее описание распределения скоростей точек тела. Скорости точек, лежащих в плоскости , перпендикулярной , могут быть разложены на две составляющие: одну, лежащую в плоскости , и другую, перпендикулярную плоскости . Последняя имеет одно и то же значение для всех точек. Составляющие скорости, лежащие в плоскости , распределены, как и при плоском движении с мгновенным центром в точке С винтовой оси.

Модули скоростей точек тела, отстоящих от винтовой оси на расстояние , очевидно, определяются выражением:

.

(30)

Следовательно, геометрическим местом точек, скорости которых равны по модулю, но отличаются по направлению, является круговой цилиндр, осью которого является винтовая ось. Каждая из образующих этого цилиндра является геометрическим местом точек тела с одинаковыми скоростями. Скорости точек любого из ортогональных сечений этого цилиндра расположены по прямолинейным образующим некоторого однополостного гиперболоида вращения.



Рис. 4 Рис. 5

Четвертый инвариант. Две параллельные угловые скорости и одной величины и противоположных направлений () назовём кинематической парой или парой угловых скоростей (рис. 5).

Кратчайшее расстояние d между осями двух угловых скоростей называется плечом пары. Геометрическая сумма двух угловых скоростей равна нулю, но кинематическая пара не эквивалентна нулю.

Результирующая скорость произвольной точки тела, участвующего в двух вращениях, определяемых кинематической парой, отлична от нуля и остаётся одной и той же, независимо от выбора этой точки.

Действительно, для произвольно выбранной точки М (см. рис. 5) имеем:

.

(31)

Эта геометрическая сумма, не зависящая от выбора точки М, характеризирует саму кинематическую пару и называется линейной скоростью пары:

.

(32)

Численно линейная скорость равна произведению модуля угловой скорости на плечо пары, а направлена она перпендикулярно плоскости пары.

Наоборот, движение с данной линейной скоростью может быть представлено в виде соответствующей пары в плоскости, перпендикулярной скорости. При этом по произвольно выбранному плечу выбирается соответствующая угловая скорость или по произвольно выбранной скорости выбирается плечо в соответствии с формулой (32).

Пусть движение тела задано скоростью полюса А и угловой скоростью (рис. 6). Заменим эквивалентно скорость кинематической парой в плоскости , перпендикулярной . Далее, угловую скорость пары векторно суммируем с угловой скоростью тела. В результате получаем результирующую угловую скорость , направленную по прямой, проходящей через точку А, которая скрещивается с директрисой угловой скорости пары. Следовательно, происходит следующая эквивалентная замена: . Эта замена может быть осуществлена множеством способов. Действительно, кинематическая пара может быть заменена другой, эквивалентной ей, таким образом, чтобы произведение сохраняло свою величину. Кроме того, пара векторов может быть повёрнута на произвольный угол в своей плоскости. В конце концов, за полюс может быть выбрана произвольная точка тела. Но интересно, что какой бы ни была пара векторов угловых скоростей и , объём пирамиды ABSL, где и – противоположные ребра, остается постоянным (четвертый инвариант, теорема Шаля).

Действительно, имеем

,

(33)

что и доказывает утверждение.



Рис. 6 Рис. 7

  • Пара векторов и , характеризирующих движение тела в общем случае, называется кинематическим крестом. Распределение скоростей точек тела в этом случае может рассматриваться как результат наложения двух вращательных движений с угловыми скоростями и , совершаемых одновременно около двух скрещивающихся осей.


  1   2

Похожие:

Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconСамостоятельная работа специальность: 130404 Открытые горные работы Дисциплина: Техническая механика
Кинематика. Простейшие виды движения твердого тела (4часа) Кинематика. Сложное движение твердого тела (4часа)
Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconМеханика деформируемого и абсолютно твердого тела в пространстве переменных лагранжа
Аспространение получили характеристики и соотношения, ориентированные на описание движения в форме Эйлера. К ним, в частности, следует...
Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconПрограмма вступительного экзамена по специальности для поступающих в магистратуру по специальности «6М060300-Механика»
Предмет теоретической механики, основные понятия и определения. Кинематика точки и твердого тела. Способы задания движения точки....
Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconВолны в сплошных средах
Основные свойства решений гиперболических систем. Характеристики и инварианты Римана. Теорема единственности решения задачи Коши....
Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 02. 04 «Механика деформируемого твердого тела» по физико-математическим наукам
...
Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconСписок літератури з дисципліни Основна література Физика твердого тела: Энциклопедический словарь /Гл ред. В. Г. Барьяхтар, зам. Глав. Ред. В. Л. Винецкий. Т. 1, Киев: Наукова думка, 1998
Физика твердого тела: Энциклопедический словарь /Гл ред. В. Г. Барьяхтар, зам. Глав. Ред. В. Л. Винецкий. Т. 1, Киев: Наукова думка,...
Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconКинематические принципиальные учебно
В673 Схемы кинематические принципиальные: учеб метод пособие / Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2012. 34 с
Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconКинематические принципиальные учебно
В673 Схемы кинематические принципиальные: учеб метод пособие / Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2012. 34 с
Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 02. 04 «Механика деформируемого твердого тела» по техническим наукам
Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Минобразования России по машиностроению при участии Новгородского...
Кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела iconМоделирование волновых процессов методом
В работе рассмотрены вопросы, связанные с моделированием волновых процессов различными вариантами метода сглаженных частиц при решении...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница