Моделирование волновых процессов методом




Скачать 29,61 Kb.
НазваниеМоделирование волновых процессов методом
Дата03.02.2016
Размер29,61 Kb.
ТипДокументы


Журнал “Математическое моделирование” №7, 2009г., с. 20-28.


МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ

СГЛАЖЕННЫХ ЧАСТИЦ (SPH)

А.П. Потапов, С.И. Ройз, И.Б. Петров

Московский физико-технический институт (государственный университет)


В работе рассмотрены вопросы, связанные с моделированием волновых процессов различными вариантами метода сглаженных частиц при решении задач механики твердого деформируемого тела. Получены численные результаты решения задачи о распаде произвольного разрыва и проведен сравнительный анализ результатов.


MODELING OF WAVE PROCESSES WITH SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS METHOD

A.P. Potapov, S.I. Royz, I.B. Petrov

Moscow Institute of Physics and Technology (State University)


Concerned issues in the given article are related to the modeling of wave processes with different variants of the smoothed particle hydrodynamics method and applying this method to the solution of problems of mechanics of the deformed solid body. Results of solution of the problem of disintegration of discontinuity were obtained and comparative analysis was performed.


Введение

Современные задачи механики деформируемого тела в основном являются трехмерными, имеют сложную геометрию. При решении этих задач приходится иметь дело с большими деформациями, разрушениями моделируемых объектов и разлетом вещества. При этом от численного эксперимента кроме моделирования разрушений требуется аккуратный расчет волновых процессов. Численное решение такого рода задач сеточными методами сопряжено с большими трудностями, такими как построение трехмерной сетки, необходимостью ее периодической перестройки. Альтернативным вариантом решения такого класса задач является метод сглаженных частиц (”Smooth Particle Hydrodynamics” – SPH) [1], [2]. Данный метод аналогичным образом реализуется и для двумерного и для трехмерного случаев. Данный метод хорошо описывает разлет вещества.

Моделирование волновых процессов с помощью метода сглаженных частиц изучено недостаточно глубоко. С целью изучения свойств решений нами будет рассмотрено решение задачи о распаде разрыва.

Отметим, что алгоритм, основанный на методе частиц, адекватно рассчитывающий разрывы можно найти в работе [6].


Математическая модель

В данной работе состояние вещества описывается следующими функциями

- плотность, - вектор скорости, - тензор напряжений, - внутренняя энергия.

В данной работе используется упругопластическая модель вещества. Законы сохранения массы, импульса и энергии записываются в виде:







где - тензор скоростей деформации, - субстанциональная производная по времени.

Реологические соотношения записываются в гипоупругой форме с учетом Яумановских членов в производной по времени:



где - девиатор тензора напряжений;

.

Для описания пластических течений используется теория Прандтля-Рейсса. В этой теории для определения начала пластического течения используется критерий Мизеса. Если



то считается, что имеет место пластическое течение. В случае движение среды считается упругим. Для учета эффекта пластичности в правую часть уравнения реологический соотношений необходимо добавить член , где



В этом случае выражениене выходит за границы поверхности Мизеса.

В качестве уравнения состояния моделируемой среды использовано уравнение состояния[1]



где и константы, определяемые экспериментальным путем.

Метод сглаженных частиц (SPH)

Метод гладких (сглаженных) частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics - SPH) является бессеточным лагранжевым численным методом для расчетов процессов высокоскоростного соударения, а также иного интенсивного динамического нагружения тел, в особенности, когда имеет место существенное изменение топологии моделируемых обьектов (разлет вещества). Метод может быть реализован в консервативной форме, кроме того, одним из основных его преимуществ является простой переход к трехмерному случаю. Производные вычисляются с помощью сплайн-интерполяции, в соответствии с чем каждая гладкая частица является точкой интерполяции, в которой известны параметры деформируемой среды. Численное решение во всей области интегрирования получается с помощью интерполяционных функций, для которых эти частицы являются интерполяционными узлами. Таким образом, вычисление градиентов сводится к аналитическому дифференцированию гладких функций.

Основная суть метода заключается в приближении формулы



следующей цепочкой преобразований. В начале мы заменяем обобщенную функцию аналитической функцией , которую называют ядром сглаживания, а – радиусом сглаживания. В результате получим

.

В случае если рассматривается среда плотности , то можно использовать следующее приближение



Ядро должно удовлетворять условиям

,

.

В работах Моногана[1] утверждается, что при соблюдении этих условий и выборе аппроксимация обеспечивает порядок .

Теперь рассмотрим численные методы вычисления этих интегралов. Мы будем полагать, что наша среда разбита на маленькие, по сравнению с характерными размерами рассчитываемой модели, элементы. Каждый такой элемент имеет свое значение аппроксимируемого параметра равное . Так же будем считать известными его плотность - , место положения - , а так же массу - . Вопрос расположения этих элементов (далее частиц), так что бы наиболее лучше аппроксимировать параметр пока является открытым. В данной работе, как и в большинстве других, используется самое простое и очевидное начальное расположение – кубическая равномерная решетка.

Заменой интегрирования суммированием по частицам-соседям мы получим

.

Использование такой аппроксимации существенно упрощает вычисление градиента полевой функции , так как достаточно аналитически продифференцировать ядро сглаживания, что даст

.


Таким образом, вычисление градиентов сводится к дифференцированию аналитических функций. Однако стоит отметить, что данное выражение не является единственной формой аппроксимации производной . Более того, в большинстве случаев более удобными и качественными аппроксимациями являются другие формы, но так как их запись очень сильно зависит от уравнений и задачи, то описывать их в этой части мы не будем.

Рассмотрим более подробно ядро сглаживания. Нам важно, чтобы носитель функции был конечным, так как в сплошной среде все взаимодействия короткодействующие. Однако этим свойством не обладает. Из за выше перечисленных причин нами использовался следующий сплайн



где .


Численные аппроксимации уравнений механики деформируемого тела, построенные с помощью метода SPH, выглядят следующим образом:

,

,

,

,

,



Интегрирование уравнений для i-ой частицы производится по следующей схеме.



причем значения компонент тензора напряжений вычисляется с помощью уравнения состояния по вычисленным значениям плотности и девиатора .

Более подробно вывод формул можно найти в работах [1, 2]. Решения, найденные таким методом, обладают сильной немонотонностью, что мешает использовать данный вариант метода при решении задач с интенсивными взаимодействиями.


Искусственная вязкость

Для борьбы с нефизичными осцилляциями Моноган [1] предложил использовать искусственную вязкость. Численный эксперимент показал, что применение такой же формы вязкости в задачах механики деформируемого твердого тела дает удовлетворительные результаты.

При использовании искусственной вязкости в множители вида добавляется член , где , - средняя скорость звука, - средняя плотность, и – коэффициенты искусственной вязкости.

Метод с искусственной вязкостью обладает приемлемой немонотонностью, что позволяет его использовать при решении реальных задач динамики деформируемых сред.

Приведем результаты решения задачи распада разрыва. На рис. 1 приведено решение задачи со следующими начальными и граничными данными



На рис. 2 приведено решение задачи со следующими начальными и граничными данными



На графиках показано решение в начальный момент времени, через 20, 40 и 60 шагов интегрирования. Справа показано напряжение, слева скорость. Четко видны осцилляции, которые с течением времени затухают.





Рис. 1 Распад разрыва по напряжению (искусственная вязкость)







Рис. 2 Распад разрыва по скорости (искусственная вязкость)


Монотонная схема (схема Годунова)

В работе [3] предложен подход, использующий приближенное аналитическое решение задачи Римана. Идея заключается в замене всех выражений вида и на и соответственно. Тут , – значения полевой функции в -й и -й частицах, а – соответствующее решение задачи о распаде разрыва. Для нахождения приближенного решения перейдем в систему координат 0RST, где ось 0R направлена от частицы к ее соседу, частице . А оси OS, OT выбраны так, чтобы образовать ортонормированный базис. Будем считать, что разрыв находится между ними по середине, и мы знаем значения полевых функций справа и слева. Распадные значения компонент скорости и напряжения вычисляются в акустическом приближении следующим образом











В результате полученных изменений аппроксимации наши уравнения станут следующими:

,

,

,

,

.

Использование приближенного аналитического решения Римана, позволило создать монотонный алгоритм. Однако видно, что этот метод размывает фронт ударной волны, что характерно для подобных методов. Ниже приведены графики поведения решения при решении задачи о распаде (Рис. 3, 4). Начальные и граничные условия такие же, как и в предыдущем разделе. На графиках показано решение в начальный момент времени, через 20, 40 и 60 шагов интегрирования.






Рис. 3 Распад разрыва по напряжению (монотонная схема)






Рис. 4 Распад разрыва по скорости (монотонная схема)

Отметим, что регуляризации разностных схем посвящены такие работы, как [6-9]. Подробное описание работ, посвященных этой теме можно найти в [4].


Гибридизированная схема

С целью сочетания второго порядка точности и монотонности было предложено использовать гибридизированную схему, предложенную в работе [6].














Рис. 5. Распад разрыва по напряжению (сравнительный график)


В данной работе приведены результаты вычислений с помощью линейной комбинации оригинального и монотонного методов с коэффициентом гибридности 0.5.

Как видно из сравнительного графика, на котором представлены решения задачи о распаде разрыва по напряжению (Рис. 5) через 20, 40 и 60 шагов интегрирования, гибридизированная схема практически монотонна, в отличие от схемы с искусственной вязкостью, и размывает разрывы меньше, чем схема, использующая инварианты Римана.


Гибридная схема

Следующим улучшением алгоритма является использование коэффициента гибридности, который зависит от решения.

Для определения разрывов в решении используется аналог отношения второй и первой производных решения по координате.



Однако в нашем случае мы не можем пронумеровать частицы вдоль координатной оси. Для определения порядка мы будем использовать само значение координаты



Где , - значение параметра и местоположение данной частицы, а суммирование ведется по всем ее соседям. Подставив в качестве все компоненты скорости и напряжения, и просуммировав полученные , мы получим коэффициент, который хорошо показывает разрывы в решении.

На рис. 6 приведены сравнительные результаты решения задачи о распаде разрыва по напряжению с помощью гибридизированной и гибридной схем через 20, 40 и 60 шагов интегрирования. Из сравнительных графиков видно, что гибридная схема меньше размывает разрывы.















Рис. 6. Распад разрыва по напряжению (сравнительный график)

Соударение самолета со зданием

Данная модель представляет практический интерес с точки зрения решения задач по тематике террористической безопасности. При расчетах параметры ударника подбирались таким образом, чтобы наиболее реалистично имитировать падение легкого одномоторного самолета. Дюралюминиевый ударник имеет скорость 200м/сек, при длине 20 метров и диаметре 5 метров. Здание моделируется бетонной решеткой с периодом 10 метров на 2,5 метра. В этой задаче основной интерес представляют волновые процессы в стенах и перекрытиях здания, а также разрушения в зоне соударения. На рисунках представлены распределения модуля скорости (слева) и давления (справа).













Рис. 6. Распределение модуля скорости (слева) и давления (справа)


Соударение с грунтом

Падение деформируемого тела на слой грунта с бошьной скоростью. В данном случае речь идет о безопасности подземных сооружений, например, хранилища ядерных отходов. В работе рассмотрены случаи соударения со скоростями меньшими и превышающими скорость звука в грунте и показаны качественные различия волновых процессов. В данной модели интерес представляет разлет грунта при ударе и волновая картина, возникающая при ударе.

На рис. 7 отображен модуль скорости при сверхзвуковом соударении. Железный болид на скорости 10км/с ударяется о 10 метровую толщу грунта, под которой лежит слой бетона толщиной 2 метра. В этой задаче скорость ударника превосходит скорость звука в грунте (2,4 км/с) и четко виден сверхзвуковой конус.









Рис. 7. Падение болида на грунт.

На рис. 8 отображен модуль скорости при дозвуковом соударении. Железный болид на скорости 1км/с ударяется о 10 метровую толщу грунта, под которой лежит слой бетона толщиной 2 метра. В этой задаче скорость ударника меньше скорости звука в грунте (2,4 км/с) и четко видна волна, обгоняющая ударник.










Рис. 8. Падение болида на грунт (10 м грунта, снизу 2 м бетона).


Список литературы

  1. Monagan J.J. An introduction to SPH. – Comput. Phys. Comm. 1988. V. 48. P. 89 – 96.

  2. Блажевич Ю.В., Иванов В.Д., Петриашвили И.А. Численное моделирование процессов высокоскоростного соударения методом гладких частиц. Математическое моделирование. 1998 г.Т. 11, №7.

  3. Anatoly N. Parshikov, Stanislav A. Medin, Igor I. Loukashenko, Valery A. Milekhin. Improvements in SPH methos by means of interparticle contact algorithm and analysis of perforation tests at moderate projectile velocities. – International Journal of Impact Engineering. 2000. V. 24. P. 779 – 796.

  4. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов. А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

  5. Богомолов С.В., Звенков Д.С.. Явный метод частиц, несглаживающий газодинамические разрывы. // Математическое моделирование, 2007, т. 19, № 3, с.74.

  6. Петров И.Б., Тормасов А.Г., Холодов А.С. Об использовании гибридизированных сеточно-характерестических схем для численного решения трехмерных задач динамики деформируемого твердого тела. ЖВМ и МФ, 1990, т.30, №8, с.1237-1244

  7. Федоренко О.П. Применение разностных схем высокого порядка точности для гиперболических уравнений. ЖВМ и МФ, 1962, т.2, №6, с.1122-1128.

  8. В.Я. Гольдин, Н.Н. Калиткин, Т.В. Шишова. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений. ЖВМ и МФ, 1965, т.5, № 5, с.938−944.

  9. Петров И.Б., Холодов А.С. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа. ЖВМ и МФ, 1984, т.24, № 8, с.1172-1188.



Похожие:

Моделирование волновых процессов методом iconМоделирование эрозионных процессов в каналах и руслах различной площади поперечного сечения с учетом кориолисовой силы
В работе представлено моделирование гидродинамических процессов влияющие на размыв и деформацию каналов/русел с различной геометрией...
Моделирование волновых процессов методом iconXi международная научно-техническая конференция
Президента России Б. Н. Ельцина (УрФУ), редколлегия журнала «Физика волновых процессов и радиотехнические системы», Военная академия...
Моделирование волновых процессов методом iconРабочая программа учебной дисциплины ен. Р. 02 Математическое моделирование процессов транспортирования нефти и газа для специальности 130501 Проектирование, сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ
Рабочая программа составлена на основании программы дисциплины «Математическое моделирование процессов трубопроводного транспорта...
Моделирование волновых процессов методом iconПрограмма дисциплины Информационное моделирование (на английском языке) для направления 080700. 68 «Бизнес-информатика»
Моделирование бизнес-процессов. Управление бизнес-процессами (bpm). Интегрированное проектирование информационных систем
Моделирование волновых процессов методом iconВ. Н. Рябцев Моделирование геополитических процессов в мировых регионах в условиях глокализации и его структурные уровни
Моделирование геополитических процессов в мировых регионах в условиях глокализации и его структурные уровни
Моделирование волновых процессов методом iconКомпьютерное моделирование реальной структуры металлических материалов при исследовании процессов деформации и разрушения
Компьютерное моделирование реальной структуры металлических материалов при исследовании процессов деформации
Моделирование волновых процессов методом iconРабочая программа дисциплины «Моделирование и оптимизация технологических процессов»
Целью дисциплины является освоение магистрантами вопросов моделирования и оптимизации сложных технологических процессов, для решения...
Моделирование волновых процессов методом iconЛабораторная работа №1 Найти корни уравнения следующими методами: методом половинного деления, методом итерации, методом Ньютона
Найти корни уравнения следующими методами: методом половинного деления, методом итерации, методом Ньютона
Моделирование волновых процессов методом iconЛабораторная работа Методика моделирования предметной области. Моделирование бизнес-процессов средствами bpwin

Моделирование волновых процессов методом iconМетодические указания к практическим работам «Моделирование и оптимизация технологических процессов»
Методические указания к практическим работам по моделированию и оптимизации технологических процессов /сост. Ю. В. Блощицина; Владим...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница