Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов




Скачать 14,54 Kb.
НазваниеЭффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов
Дата03.02.2016
Размер14,54 Kb.
ТипДокументы
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕДУРЫ ВОСПОЛНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

О. С. Столбова, А. А. Роговой

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия

В механике деформируемого твердого тела численная реализация принципа виртуальных перемещений методом конечных элементов (МКЭ) приводит к достаточно хорошей аппроксимации поля перемещений, но к значительно худшей аппроксимации поля напряжений. В настоящее время существуют различные методы восполнения (улучшения) поля напряжений для задач, решаемых МКЭ в рамках вариационной постановки Лагранжа, неравнозначные как по точности, так и по сложности реализации.

В линейной механике во многих случаях возможен компромисс между точностью и сложностью методов построения полей напряжений. В нелинейной механике такой компромисс проблематичен. Обычно нелинейные задачи линеаризуют и решают пошаговым методом. Применение при этом на каждом шаге простого, но менее точного метода получения напряжений, приводит к быстрому накоплению ошибки в них. Более точные, а, значит, и более сложные методы получения поля напряжений требуют значительного времени счета задачи. Используемая процедура восполнения напряжений, описанная в работе [1], позволяет строить поля напряжений с той же точностью, что и лучшие методы восполнения, но значительно быстрее.

Рассмотрим вариационную постановку краевой задачи механики деформируемого твердого тела в форме Лагранжа (например, в начальной конфигурации) [2, 3]

, (1)

где и – поверхность и объем тела в начальной конфигурации, – поверхностные силы в начальной конфигурации (на поверхности ), – массовые силы, – плотность материала в начальной конфигурации, – тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа второго рода, – мера деформации Коши-Грина, – вектор перемещений из начальной конфигурации в текущую.

Для решения нелинейных задач линеаризируем исходные уравнения, основываясь на кинематике наложения малых деформаций на накопленные конечные. Вектор перемещений и радиус-вектор в текущей конфигурации представляются в виде , , где и – векторы перемещений из начальной конфигурации в промежуточную и из промежуточной в текущую (приращение перемещений), – радиус-вектор в промежуточной конфигурации, – малая положительная величина (характеризует близость промежуточной и текущей конфигураций).

Относительно промежуточной конфигурации получаем

, , .

Здесь и – градиенты места из начальной конфигурации в текущую и промежуточную, соответственно, , – тензор малых деформаций относительно промежуточной конфигурации, – оператор Гамильтона относительно промежуточной конфигурации.

Тензор Пиолы-Кирхгофа второго рода может быть представлен в виде

,

где – третий главный инвариант , определяющий относительное изменение объема, – тензор четвертого ранга, определяющий отклик материала на малые деформации относительно промежуточной конфигурации.

Запишем связь поверхностных сил на (в начальной конфигурации) и (в текущей конфигурации): , где – внешняя нормаль на . Поверхностные силы , в свою очередь, представим в виде .

Таким образом, решение нелинейной задачи сводится к последовательному решению линейных на каждом шаге задач.

Численную реализацию линейной задачи на каждом шаге будем осуществлять обычным методом конечных элементов (см., например, [4]), для чего вектор аппроксимируем, согласно МКЭ, через его узловые значения и функции формы :

, . (2)

Здесь – множество номеров элементов, прилегающих к -му узлу в объеме , а и – число узлов и конечных элементов. В результате получается значение вектора приращения перемещений в узлах .

Применим процедуру восполнения напряжений на каждом шаге. Для этого внутри тела выберем достаточно гладкую поверхность , образованную поверхностями примыкающих к ней двух слоев конечных элементов и делящую тело на две части. Если отбросить одну часть тела, то ее силовым воздействием на оставшуюся, ограниченную поверхностью , будет вектор распределенного усилия , неизвестный на , при этом . Записывая вариационное уравнение (1) в приращениях для области , ограниченной поверхностью , приходим к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода, определяющей на поверхности .

Аналогично (2) аппроксимируем , используя его узловые значения и те же самые функции формы. Таким образом, и имеют одинаковый порядок аппроксимации. Для нахождения узловых значений , применим метод наименьших квадратов и, в силу некорректности задачи по Адамару, воспользуемся регуляризаторами А. Н. Тихонова с различными параметрами регуляризации. Поступая аналогично для другой поверхности , проходящей через тот же -ый узел, получаем значение вектора в этом узле, соответствующее другой поверхности.

Зная на каждом шаге и , получим систему уравнений для нахождения компонент тензора Пиолы-Кирхгофа первого рода

, ,

где и – внешние единичные нормали к поверхностям и в -ом узле в начальной конфигурации.

Описанная процедура была реализована на плоской задаче нелинейной теории упругости. Рассматривалась задача о растяжении квадратной пластины, находящейся в условиях плоской деформации (сечение бесконечно длинного стержня), усилиями . Весь процесс растяжения разбивался на шагов, на каждом шаге . Задача решалась на сетках с треугольными конечными элементами.

Поведение материала описывалось упрощенным законом Синьорини [2, 3]

,

где – тензор напряжений Коши, – тензор деформации Альманси, – первый инвариант , – единичный тензор. Константы материала в данной задаче: , .

Поля напряжений определялись на основе дифференцирования полученных полей перемещений (обычный метод), снижающем на единицу порядок аппроксимации первых по сравнению с последними. При этом разрывное поле напряжений, соответствующее линейной аппроксимации поля перемещений, приводилось к узлу обычным методом усреднения по элементам, примыкающим к нему (поля напряжений при квадратичной и кубической аппроксимациях поля перемещений – непрерывные). Кроме этого поля напряжений для каждой из этих аппроксимаций поля перемещений строились на основе описанной процедуры восполнения напряжений при параметрах регуляризации и . Процедура восполнения напряжений позволяет строить поле напряжений той же точности (того же порядка аппроксимации), что и поле перемещений.

Работа выполнена в научной школе (гранты Президента РФ НШ-8055.2006.1 и НШ-3717.2008.1) при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-01-96019).

литература

1. Rogovoy A.A. The stress recovery procedure for the finite element method // Computers and Structures. – 1997. – V. 63. – №. 6. – P. 1121–1137.

2. Лурье А.И. Теория упругости. – М: Наука, 1970. – 939 с.

3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М: Наука, 1980. – 512 с.

4. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. – М.: Мир, 1976. – 464с.

Похожие:

Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов iconМетоды вычислений: метод конечных элементов
Вводный курс лекций по методу конечных элементов для студентов 3 курса ммф нгу посвящен изложению основ построения и применения на...
Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов iconВопросы к экзамену по курсу "Основы метода конечных элементов"
Использование мкэ для решения задач: упругости, теплопроводности и термоупругости
Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов iconМетоды теории упругости
Формулы Сомильяны и их обобщение. Тензоры фундаментальных решений Грина. Потенциалы теории упругости и их граничные свойства. Приведение...
Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов iconРешение эллиптического уравнения методом конечных элементов на радиально базисных нейронных сетях
Целью данной работы является рассмотрение нового подхода к реализации метода конечных элементов на нейронных сетях
Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов iconО вычислительных эффектах при решении краевых задач для изотропного однородного континуума коссера

Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов iconИсследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений,
Используя метод аппроксимации в конечных разностях первого порядка была получена аппроксимация, при которой обеспечивается минимизация...
Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов iconТеория упругости. Избранные главы
Постановки задач теории упругости для изотропного тела. Три формулы Бетти. Теорема взаимности. Изменение объёма и линейных размеров...
Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов iconИсследование гиперупругих тел в физически нелинейной постановке с использованием левого тензора Коши Грина
Коши–Эйлера. Численная реализация основана на методе конечных элементов в рамках инкрементального подхода. Отметим, что настоящая...
Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, заведующим кафедры теории упругости, профессором А. О. Ватульяном...
Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов iconРекомендации по оценке знаний учащихся по физике
Причем при проверке уровня усвоения материала по каждой достаточно большой теме обязательным является оценивание трех основных элементов:...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница