Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи




Скачать 19,44 Kb.
НазваниеМатематика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи
страница1/5
Дата03.02.2016
Размер19,44 Kb.
ТипМетодические указания
  1   2   3   4   5
Федеральное агентство по образованию РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Борисоглебский государственный педагогический институт"


Е.Н. Лемешева, Б.У. Шарипов


МАТЕМАТИКА


Методические указания для студентов заочного отделения

физико-математического факультета БГПИ

(специальность: 050203- «информатика» с четырёхлетним сроком обучения)


Борисоглебск 2008


ББК 22.1

Л44

УДК 517

Печатается по решению редакционно-издательского Совета

Борисоглебского государственного педагогического института


Рецензенты: Лободина Л.В. – кандидат педагогических наук, доцент

кафедры прикладной математики и информатики БГПИ

Камышников В.Н. – доцент кафедры гуманитарных и

естественнонаучных дисциплин филиала ГОУ ВПО

(Воронежский государственный архитектурно-строительный

университет) в городе Борисоглебске, кандидат физико-

математических наук


Редактор: Немытова М.И. – кандидат педагогических наук, доцент

кафедры математики и методики ее преподавания БГПИ


Л44 Е.Н. Лемешева, Б.У. Шарипов

Математика. Методические указания для студентов заочного и очного

отделений физико-математического факультета БГПИ. (специальность:

050203- «информатика» с четырёхлетним сроком обучения)–

Борисоглебск: ГОУ ВПО «БГПИ», 2008. – 76 с.


ISBN 978-5-85897-406-2


В методических указаниях приведены: рабочая программа дисциплины «Математика» - I курс, I семестр, варианты контрольных заданий для самостоятельной работы и примеры решения типовых заданий.

Пособие предназначено для студентов очного и заочного отделений физико-математического факультета.


ББК 22.1

Л44


ISBN 978-5-85897-406-2 © Е.Н. Лемешева, Б.У. Шарипов

©ГОУ ВПО «Борисоглебский государственный

педагогический институт», 2008


ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение………………………………………………………………………..4

Рекомендуемая литература…………………………………………………………….4

I курс I семестр

Глава 1.Множества, функции, последовательности………………………...5

Глава 2.Пределы функций…………………………………………………...11

Глава 3.Производная функции………………………………………………15

Глава 4.Дифференциал функции…………………………………………….19

Глава 5.Неопределенный интеграл………………………………………….20

Глава 6.Определенный интеграл…………………………………………….24


I курс II семестр


Глава 7. Элементы линейной алгебры (матрицы и определители)………..30

Глава 8. Элементы векторной алгебры...………………………..…………..38

Глава 9. Аналитическая геометрия на плоскости ..…………………… 43

Глава 10. Элементы линейной алгебры ……………………………...……..46

Глава 11. Аналитическая геометрия на плоскости (линии второго порядка) …………………………………………………………………………………50

Глава 12. Аналитическая геометрия в пространстве……………………….52


II курс III семестр

Глава 13.Функции нескольких переменных………………………………...54

Глава 14.Кратные интегралы...………………………………………………61

Глава 15.Криволинейные и поверхностные интегралы..…………………..65

Глава 16.Дифференциальные уравнения……………………………………67

Глава 17.Ряды…………………………………………………………………72


Введение

Пособие по дисциплине «Математика» предназначено для студентов – заочников физико-математического факультета специальности: 050203- «информатика» с четырёхлетним сроком обучения.

Весь изучаемый материал разбит на модули, каждый из которых включает в себя рабочую программу, вопросы для самопроверки, варианты контрольных заданий и примеры решения типовых задач.


Рекомендуемая литература

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.-М.:Наука, 1985.

2. Горлач Б.А. Математика. Учеб.пособие для студентов, обучающихся по экономическим специальностям/ Б.А.Горлач. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 911 с.

3. Гусак А.А. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. - 4-е изд. Стереотип. МН.: Тетра Системс, 2002.-640 с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. 4.1. Учеб.пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «Оникс 21 век»: Мир и образование, 2003. – 304 с., ил.

5. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике, 1 курс/ Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.- 3-е изд., испр. и доп.- М.:Айрис-пресс, 2003.- 576с., ил.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М.:Наука, 1965.

7. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1часть.-2-е изд.,испр. -М:Айрис – пресс, 2003.-288с.:ил.

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. –М.:Наука, 1964.

9. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб.пособие для вузов / В.С. Шипачев. – 6-е изд., стер.- М.:Высш.шк., 2003. – 479с., ил.


Глава 1. Множества, функции, последовательности

1.1 Множества, действительные числа.

1.1.1 Основные понятия.

1.1.2 Числовые множества, множества действительных чисел.

1.1.3 Числовые промежутки. Окрестность точки.

1.2 Функция

1.2.1 Понятие функции.

1.2.2 Числовые функции. График функции. Способы задания функции.

1.2.3 Основные характеристики функции.

1.2.4 Обратная функция.

1.2.5 Сложная функция.

1.2.6 Основные элементарные функции и их графики.

1.3 Последовательности.

1.3.1 Числовая последовательность.

1.3.2 Предел числовой последовательности.

1.3.3 Предельный переход в неравенствах.

1.3.4 Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е.


Вопросы для самопроверки:

1. Приведите примеры различных множеств, совпадающих множеств.

2. Дайте определение подмножества, почему пустое множество является подмножеством любого множества?

3. Что называется упорядоченным множеством?

4. Какие числовые множества называются промежутками?

5. Из отрезка [а, в] удален интервал (а, в). Что осталось?

6. Что называется абсолютной величиной числа?

7. Что больше: |2-3| или |2|+|-3| ?

8. Какие значения может принимать выражение ?

9. Что называется областью определения функции и множеством значений функции?

10. Что называется постоянной функцией?

11. Какие функции называются возрастающими, убывающими?

12. Какие функции называются четными и какие нечетными и в чем состоит геометрический смысл четности и нечетности функций?

13. Какие функции называются периодическими и что называется периодом функции?

14. Какие функции называются простейшими элементарными функциями?

15. Что называется сложной функцией?

16. Напишите определение числовой последовательности.

17. Сформулируйте рекуррентное соотношение х n+1 = хn+d, определяющее арифметическую прогрессию.


Индивидуальные задания.


1. Решить уравнения и неравенства.


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.


Пример

Найти решения уравнений:

1) х = х + 2;

2) х = х – 2;

3) х + 2х = 3.


Р е ш е н и е.

1) При х 0 имеем х = х + 2, откуда 0 = 2 – неверное равенство; следовательно, решений нет. При х < 0 получаем – х = х + 2, откуда

х = - 1 – решение уравнения.

2) При х 0 имеем х = х – 2, откуда 0 = - 2 – неверное равенство; следовательно, решений нет. При х < 0 получаем – х = х – 2, откуда

х = 1 > 0, что противоречит сделанному предположению х < 0. Таким образом, уравнение не имеет решений.

3) При х 0 имеем х + 2х = 3, откуда х1 = 1. При х < 0 получаем х – 2х = 3, откуда х2 = - 3. Следовательно, х1 = 1 и х2 = -3 – решения уравнения.


2. Найти область определения функций, заданных формулами.


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.


Пример

Найти область определения функции y = .

Р е ш е н и е.

Так как функция представляет собой сумму функций, то область определения функции будет состоять из всех тех значений х, которые принадлежат одновременно областям определения функций и . Поэтому область определения заданной функции определяется как совокупность значений х, при которых одновременно выполняются неравенства -х2 + х + 2 > 0 и х – 1 > 0.

Это будет интервал (1; 2).

3. Установить четность или нечетность функции.


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.


Пример 1

Доказать, что функция – нечетная.


Р е ш е н и е. Область определения функции: - < x < + ;

f(-x) = (- x)5 – (- x)3 + (-x) = - x5 + x3 – x = - (x5 – x3 + x) = - f(x). Следовательно, функция нечетная.


Пример 2

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной: .


Р е ш е н и е. Найдём область определения функции: выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительно.

.

Таким образом, область определения функции: (1,5;+∞), она не является симметричной относительно начала координат. Следовательно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной (по определению чётной, нечётной функций).

4. Написать формулу общего элемента последовательности, для которой установить, что она:

4.1 ограничена или неограничена;

4.2 имеет грани сверху и снизу;

4.3 бесконечно большая или бесконечно малая;

4.4 возрастающая, неубывающая, убывающая или невозрастающая;

4.5 немонотонная, монотонная, строго монотонная.


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.


Пример

Дана последовательность

Р е ш е н и е.

1. Общий элемент последовательности .

2. Последовательность ограниченная, т. к. .

3. Верхняя грань последовательности M = а1 = 1.

4. Нижняя грань последовательности .

5. Последовательность убывающая, т. к. .

6. Последовательность строго монотонная, т. к. .

7. Для любого ε > 0 , тогда для всех n > N (N – целое число из ряда натуральных чисел ) имеем , т. е. последовательность бесконечно малая.


5. Найти пределы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.


25.


Пример

Найти .


Р е ш е н и е. Имеем неопределенность вида . Разделив на х числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему о свойствах пределов, получим


Глава 2. Пределы функций

2.1 Предел функции.

2.1.1 Предел функции в точке.

2.1.2 Односторонние пределы.

2.1.3 Предел функции при

2.1.4 Бесконечно большая функция.

2.2 Бесконечно малые функции (БМФ).

2.2.1 Определения и основные теоремы.

2.2.2 Связь между функцией, ее пределом и БМФ.

2.2.3 Основные теоремы о пределах.

2.2.4 Признаки существования пределов.

2.2.5 Первый замечательный предел.

2.2.6 Второй замечательный предел.

2.3 Эквивалентные БМФ (ЭБМФ).

2.3.1 Сравнение БМФ.

2.3.2 ЭБМФ и основные теоремы о них.

2.3.4 Применение ЭБМФ.

2.4 Непрерывность функции.

2.4.1 Непрерывность функции в точке.

2.4.2 Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

2.4.3 Точки разрыва функции и их классификация.

2.4.4 Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций.

2.4.5 Свойства функций, непрерывных на отрезке.


Вопросы для самопроверки.


1. Дайте определение предела переменной величины. Перечислите свойства пределов.

2. Как прочитать запись: ? Дайте определение предела функции в точке.

3. Что называется приращением независимой переменной и приращением функции?

4. Приведите примеры бесконечно малых и бесконечно больших величин.

5. Что такое эквивалентные бесконечно малые функции?

6. Дайте определение непрерывной функции. Какими свойствами на отрезке она обладает? Определите интервалы непрерывности функции .

7. Дайте определение предела функции на бесконечности. Объясните основной метод раскрытия неопределенности .

8. Сформулируйте и запишите первый и второй замечательные пределы.


6. Найти пределы.


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.


Теорема (*). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда функции f(x)  g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой точке (частное при g(x0)  0).

Пример

Найти .


Р е ш е н и е. Так как в точке х = π/2 функции 1, sin x, cos 2x непрерывны, то по теореме (*) функция f(x) = непрерывна в точке х = π/2, т.е. предел функции и ее значение в этой точке равны. Тогда, переходя к пределу, получаем

=


Пример

Найти

Р е ш е н и е. Имеем неопределенность вида . Непосредственно теорему о пределе частного применить нельзя. Необходимо, как говорят, раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим числитель на множители и сократим на общий множитель х + 2. Получаем

Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность раскрыта.

Применяя теорему о свойствах пределов, окончательно находим


7. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными, найти пределы.


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.


Пример

С помощью замены эквивалентных найти пределы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .


Р е ш е н и е. 1) Имеем ln(1+3х) ~ 3x; sin 5x ~ 5x. Поэтому

= .

2) = .

3)

= .

4) =

= .

5) = .


Глава 3. Производная функции

3.1 Производная функции

3.1.1 Задачи, приводящие к понятию производной.

3.1.2 Определение производной: ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.

3.1.3 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

3.1.4 Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

3.1.5 Производная сложной и обратной функций.

3.1.6 Производные основных элементарных функций.

3.1.7 Гиперболические функции и их производные.

3.1.8 Таблицы производных.

3.2 Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

3.2.1 Неявно заданная функция.

3.2.2 Функция, заданная параметрически.

3.3 Логарифмическое дифференцирование.

3.4 Производные высших порядков.

3.4.1 Производные высших порядков явно заданной функции.

3.4.2 Механический смысл производной второго порядка.

3.4.3 Производные высших порядков неявно заданной функции.

3.4.4 Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.


Вопросы для самопроверки.


1. Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения?

2. Как вычислить угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке?

3. Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? Дайте определение производной.

4. Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке? Сформулируете зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

5. Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции? Как вычислить частное значение производной?

6. Можно ли вычислить производную любой функции, пользуясь определением производной?

7. Повторите определение сложной функции. Как найти ее производную?

8. Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?

9. В чем заключается механический смысл производной?

10. Что называется производной второго порядка, и каков ее механический смысл?


Правила дифференцирования:


1. ;

2. ;

3.

4. , если , ;

5. , если , ;


Формулы дифференцирования:


1. ;

2. ;

3. в частности

4. , в частности ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .


8. Найти производные функций.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.


Пример.

Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .


Р е ш е н и е. 1) =

= =

= ;


2) =

= ;


3) ;


4) =

= .


  1   2   3   4   5

Похожие:

Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания для студентов 1 курса заочного отделения по направлению подготовки «юриспруденция» (2 семестр 2012/2013 гг.)
Методические указания для студентов 1 курса заочного отделения юридического факультета (2 семестр). – Казань: Издательство Института...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания для студентов 2 курса судомеханического факультета заочного отделения
Методические указания предназначены для студентов 2 курса смф заочного отделения и составлены для организации работы студентов-заочников...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания к выполнению контрольной работы по физике для студентов инженерных специальностей заочного отделения
...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания: профессиональный английский язык для студентов 5 и 6 курсов заочного факультета специальность 060800: Экономика и управление
Методические указания предназначены для студентов 5 и 6 кур­сов обучающихся по специальности "Экономика и управление на предприя­тии...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconБазовый профессиональный английский язык методические указания
Методические указания предназначены для студентов 3 и 4 курсов обучающихся по специальности «Организация перевозок и управление на...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания и контрольные задания по патологической физиологии для студентов заочного отделения факультета ветеринарной медицины Ставрополь 2002
Министерство сельского хозяйства российской федерации фгоу впо ставропольский государственный аграрный университет
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочного обучения специальности
Методические указания устанавливают необходимый уровень и перечень теоретических вопросов и практических заданий для самостоятельной...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания по выполнению практических заданий Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения
Рабочая программа учебной дисциплины «Основы планирования профессиональной деятельности» (оппд)
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания по вычислительной технике для студентов заочного отделения по специальности 140448 «Техническая эксплуатация, ремонт и обслуживание электрического и электромеханического оборудования» Нефтекамск
Методические указания и задания на контрольную работу подготовил преподаватель Нефтекамского нефтяного колледжа
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания по подготовке контрольных работ с. 37 Тематика контрольных работ с. 39
Программа предназначена для студентов второго курса заочного отделения исторического факультета кгу и призвана познакомить их с особой...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница