Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи




Скачать 19,44 Kb.
НазваниеМатематика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи
страница2/5
Дата03.02.2016
Размер19,44 Kb.
ТипМетодические указания
1   2   3   4   5
Глава 4. Дифференциал функции

4.1. Дифференциал функции

4.1.1. Понятие дифференциала функции.

4.1.2. Геометрический смысл дифференциала функции.

4.1.3. Основные теоремы о дифференциале.

4.1.4. Таблицы дифференциалов.

4.1.5. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям.

4.1.6. Дифференциалы высших порядков.

4.2. Исследование функций с помощью производных.

4.2.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

4.2.2. Правила Лопиталя.

4.2.3. Возрастание и убывание функций.

4.2.4. Максимум и минимум функций.

4.2.5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

4.2.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

4.2.7. Асимптоты графика функции.

4.2.8. Общая схема исследования функции и построение графика.

4.3. Формула Тейлора.

4.3.1. Формула Тейлора для многочлена.

4.3.2. Формула Тейлора для произвольной функции.


Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциалом функции, чему он равен, как обозначается и каков его геометрический смысл?

2. Как можно объяснить, что при малых значениях приращение функции приближенно равно ее дифференциалу? Что выражает геометрически формула ?

3. Повторите определения возрастающей и убывающей функций. Каковы знаки приращений аргумента и функции в интервалах возрастания и убывания? В чем заключается признак возрастания и убывания функции?

4. В чем заключается необходимый и достаточный признак существования экстремума? Перечислите порядок операций для отыскания максимума и минимума функций с помощью первой производной.

5. Как отыскивают экстремумы функций с помощью второй производной?

6. В чем разница между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее набольшего и наименьшего значений?

7. Как определяется выпуклость и вогнутость кривой?

8. Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования?


9. Найти пределы, используя правило Лопиталя.


1. ; 2. ; 3.

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. ; 21. ;

22. ; 23. ; 24. ;

25.


Глава 5. Неопределенный интеграл

5.1. Неопределенный интеграл.

5.1.1. Понятие неопределенного интеграла.

5.1.2. Свойства неопределенного интеграла.

5.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов.

5.2. Основные методы интегрирования.

5.2.1. Метод непосредственного интегрирования.

5.2.2. Метод интегрирования подстановкой.

5.2.3. Метод интегрирования по частям.

5.3. Интегрирование рациональных функций.

5.3.1. Понятие о рациональных функциях.

5.3.2. Интегрирование рациональных дробей.

5.4. Интегрирование тригонометрических функций.

5.4.1. Универсальная тригонометрическая подстановка.

5.4.2. Интегралы типа .

5.4.3. Использование тригонометрических преобразований.

5.5. Интегрирование иррациональных функций.

5.5.1. Квадратичные иррациональности.

5.5.2. Тригонометрическая подстановка.

5.5.3. Интегрирование дифференциального бинома.

5.6. «Берущиеся» и «неберущиеся интегралы».


Вопросы для самопроверки.

1. Что является основной задачей интегрального исчисления?

2. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

3. Если F(x) – первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?

4. Запишите первообразные для функций: 3, , , .

5. Какая из двух функций или является первообразной для другой?

6. Первообразная определяется неоднозначно. Как это нужно понимать?

7. Что называется неопределенным интегралом?

8. Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции?

9. Как называются все элементы равенства ?

10. Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла?

11. Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?

12. Как доказать справедливость каждой формулы интегрирования?

13. В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?

14. Что такое интегральные кривые? Как они расположены друг относительно друга? Могут ли они пересекаться?

15. Как расположены касательные к интегральным кривым в точках, имеющих одну и ту же абсциссу?


Таблица основных интегралов.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. .


10. Применяя метод непосредственного интегрирования, вычислить интегралы

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ;

12. ; 13. ; 14. ;

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ; 22. ;

23. ; 24. ; 25.


Пример

Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как , то интеграл можно записать в виде

.

Применяя свойство неопределенного интеграла , имеем

.

Получили два табличных интеграла. По формулам находим

.


11. С помощью метода интегрирования по частям вычислить интегралы.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ; 16. ;

17. ; 18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25.


Пример

Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е. Положим . Тогда


(здесь в качестве v можно взять любую из первообразных вида

х + С, где С – произвольная постоянная. Взято v = x, т.е. С=0).

По формуле ( ) имеем


12. Применяя метод подстановки, вычислить интегралы.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ; 13. ; 14. ;

15. ; 16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. ; 21. ; 22. ;

23. ; 24. ; 25.


Пример

Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е. Полагаем , . Отсюда .

Следовательно,

.Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем

.


Глава 6. Определенный интеграл

1.1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

1.2. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

1.3. Формула Ньютона-Лейбница.

1.4. Основные свойства определенного интеграла.

1.5. Вычисления определенного интеграла.

1.5.1. Формула Ньютона-Лейбница.

1.5.2. Интегрирование подстановкой.

1.5.3. Интегрирование по частям.

1.5.4. Интегрирование четных и нечетных функций в

симметричных пределах.

1.6. Несобственные интегралы.

1.6.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования

(несобственный интеграл I рода).

1.6.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл

II рода).

1.7. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

1.7.1. Схемы применения определенного интеграла.

1.7.2. Вычисление площадей плоских фигур.

1.7.3. Вычисление дуги плоской кривой.

1.7.4. Вычисление объема тел.

1.7.5. Вычисление площади поверхности вращения.

1.7.6. Механические приложения определенного интеграла.

1.8. Приближенное вычисление определенного интеграла.

1.8.1. Формула прямоугольников.

1.8.2. Формула трапеций.

1.8.3. Формула парабол (Симпсона).

Вопросы для самопроверки.

1. Что такое определенный интеграл?

2. Как называются все элементы в записи ?

3. Зависит ли приращение от выбора первообразной?

4. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

5. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

6. Может ли площадь криволинейной трапеции быть равна отрицательной величине, нулю и почему?

7. Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решить с помощью определенного интеграла.


13. Вычислить интегралы.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. ; 21. ;

22. ; 23. ; 24. ;

25.

Пример

Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е. Так как одной из первообразных для функции является функция , то, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем



14. Изобразить графически функции и вычислить площади фигур, ограниченных линиями.


1. , ; 2. , ; 3. , , ;

4. , ; 5. , ; 6. , ;

7. , ; 8. , ;

9. , ; 10. , , где ;

11. , ; 12. , ;

13. , ; 14. , ;

15. , и отрезком оси ;

16. , ; 17. , ;

18. , , и ; 19. , ;

20. , ; 21. , ;

22. , ; 23. , ;

24. , , если ; 25. ,


Пример

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и

y = 0.

Р е ш е н и е. Можно считать, что эта фигура ограничена осью Ох, прямыми х = -1, х = 1 и графиком функции , поэтому по формуле , ее площадь │ .


15. Изобразить графически функции и вычислить длину дуги кривой.

1. от до ;

2. , отсеченной осью ;

3. от до ;

4. от до ;

5. от до ;

6. от до ;

7. от до ;

8. от до ;

9. , , ;

10. от до ;

11. между точками пересечения с осью .

12. от до ;

13. от до ;

14. , от до ;

15. , от до ;

16. , от до ;

17. , ;

18. от до ;

19. от до ;

20. от до ;

21. от до ;

22. от до ;

23. от до ;

24. , , ;

25. от до


Пример

Найти длину дуги полукубической параболы от x=0 до x=5.

Р е ш е н и е. Кривая симметрична относительно оси Ох. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения находим . По формуле длины дуги плоской кривой ( ) получим

│ = .


16. Изобразить графически функции и вычислить объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями.

1. , вокруг оси ;

2. , , , где вокруг оси ;

3. , , , где вокруг оси ;

4. , вокруг оси ;

5. , , , вокруг оси ;

6. , , , вокруг оси ;

7. , , , вокруг оси ;

8. , , , вокруг оси ;

9. , вокруг оси ;

10. , вокруг оси ;

11. вокруг прямой ;

12. вокруг прямой ;

13. вокруг прямой ;

14. вокруг прямой ;

15. вокруг прямой ;

16. вокруг прямой ;

17. , , вокруг прямой ;


18. , , вокруг прямой ;


19. , , вокруг прямой ;


20. , , вокруг прямой ;


21. , , вокруг прямой ;


22. , , вокруг прямой ;


23. , , вокруг прямой ;


24. , , вокруг прямой ;


25. , , вокруг прямой


Пример

Найти объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси Ох.

Р е ш е н и е. Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти половину искомого объема. По формуле объема тел вращения ( ) имеем


= │ .

Следовательно, , откуда . Если a=b=R, то эллипс является окружностью. Тогда объем тела вращения окружности вокруг оси Ох есть шар, объем которого .


17. Исследовать на сходимость.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ; 16. ;

17. ; 18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ; 24. ;

25.

Пример

Исследовать на сходимость .

Р е ш е н и е. По определению имеем

│ ,

т.е. интеграл сходится.


I курс, II семестр

Глава 7. Элементы линейной алгебры (матрицы и определители)

7.1. Матрицы.

7.1.1 Основные понятия.

7.1.2 Действия над матрицами.

7.2. Определители.

7.2.1 Основные понятия.

7.2.2 Свойства определителей.

7.3. Невырожденные матрицы.

7.3.1 Основные понятия.

7.3.2 Обратная матрица.

7.3.3 Ранг матрицы.

7.4. Системы линейных уравнений.

7.4.1 Основные понятия.

7.4.2 Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера- Капелли.

7.4.3 Решение уравнений матричным способом.


Вопросы для самопроверки.

1. Как определяется размер матрицы?

2. Какая матрица называется прямоугольной? Квадратной? Нулевой? Единичной? Треугольной? Диагональной?

3. Разница между строкой и столбцом.

4. Алгоритм транспонирования матрицы.

5. Формулы вычисления определителей разных порядков.

6. Основные свойства определителей.

7. Алгебраическое дополнение элемента определителя. Разложение определителя по элементам строки и столбца.

8. Линейные операции над матрицами.

9. Элементарные преобразования матриц.

10. Ранг матрицы.

11. Решение системы линейных уравнений матричным методом.

12. Методы решения системы линейных уравнений Крамера, Гаусса.


18. Выполнить действия

Найти произведение матриц (варианты 1-6)

1. • ; 2. • ;

3. • ; 4. • ;

5. • ; 6. • .


Вычислить C=A2+2B (варианты 7-10)

7. A= ; B= ; 8. A= ; B= ;

9. A= ; B= ; 10. A= ; B= .


Найти 3A•2B (варианты 11-15)

11. A= ; B= ; 12. A= ; B= ;

13. A= ; B= ; 14. A= ; B= ;

15. A= ; B= .


Найти произведение матриц AB и BA (если это возможно) (варианты 16-20)

16. A= ; B= ; 17. A= ; B= ;

18. A= ; B= ; 19. A= ; B= ;

20. A= ; B= .

Привести матрицу к ступенчатому виду (варианты 21-25)

21. A= ; 22. A= ;

23. A= ; 24. A= ;

25. A= .

Пример. Найти произведение AB, если

A= , B= .

Р е ш е н и е

AB= = .

Произведение BA не существует, так как умножение матрицы B на матрицу A имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы B равно числу строк матрицы A.


Пример. Привести к ступенчатому виду матрицу

A= .

Р е ш е н и е

~ ~

~ - ступенчатая матрица

19. Вычислить определитель (варианты 1-10)

1. = ; 2. = ;

3. = ; 4. = ;

5. = ; 6. = ;

7. = ; 8. = ;

9. = ; 10. = .

Вычислить определитель (варианты 11 -20)


=

11. a=0, b=1, c=3, d=5, e=-1; 12. a=1, b=2, c=3, d=4, e=5;

13. a=10, b=9, c=8, d=7, e=6; 14. a=-1, b=1, c=2, d=-2, e=0;

15. a=3, b=4, c=5, d=6, e=-3; 16. a=1, b=10, c=2, d=9, e=1;

17. a=7, b=6, c=5, d=3, e=-1; 18. a=3, b=2, c=1, d=-1, e=-2;

19. a=4, b=3, c=2, d=1, e=5; 20. a=2, b=5, c=7, d=0, e=-1.


21. = ; 22. = ;

23. = ; 24. = ;

25. = .

Пример. Вычислить определитель


Выносим за знак определителя общие множители 2,4 и 5 столбцов:

= 2•2•5

Вычтем из элементов 2-го столбца элементы 1-го столбца и разложим полученный определитель по элементам 1-й строки

= 20 =20

Прибавим к элементам 2-й строки элементы 1-й строки, вынесем -2 (общий множитель элементов 1-го столбца) за знак определителя, а затем разложим полученный определитель по элементам 1-го столбца

= -40 =-40

Вычтем из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, вынесем 2 (общий множитель элементов 1-й строки) за знак определителя и разложим полученный определитель по элементам 3-го столбца

= -80 =-80 =640

20. Решить матричные уравнения AX=B и XB=C

№ A B C

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25


Пример. Решить уравнение матричным способом. AX=B, где

A= , B=

Р е ш е н и е. Вычислим определитель матрицы A:

= =1•2•2+2•1•0+3•1•0-0•2•0-3•2•2-1•1•1=-9≠0  .

Запишем все алгебраические дополнения элементов матрицы A:

A11= 1+1• =3; A12= 1+2• =-6;

A13= 1+3• =3; A21= 2+1• =-4;

A22= 2+2• =2; A23= 2+3• =-1;

A31= 3+1• =2; A32= 3+2• =-1;

A33= 3+3• =-4.

Составим союзную матрицу

=

и транспонируем ее

=

Запишем обратную матрицу (с учетом, что =-9)

A-1=

Следовательно,

X=A-1•B= • = =

Итак, решение системы уравнений есть x1=4, x2=3, x3=5.


1   2   3   4   5

Похожие:

Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания для студентов 1 курса заочного отделения по направлению подготовки «юриспруденция» (2 семестр 2012/2013 гг.)
Методические указания для студентов 1 курса заочного отделения юридического факультета (2 семестр). – Казань: Издательство Института...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания для студентов 2 курса судомеханического факультета заочного отделения
Методические указания предназначены для студентов 2 курса смф заочного отделения и составлены для организации работы студентов-заочников...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания к выполнению контрольной работы по физике для студентов инженерных специальностей заочного отделения
...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания: профессиональный английский язык для студентов 5 и 6 курсов заочного факультета специальность 060800: Экономика и управление
Методические указания предназначены для студентов 5 и 6 кур­сов обучающихся по специальности "Экономика и управление на предприя­тии...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconБазовый профессиональный английский язык методические указания
Методические указания предназначены для студентов 3 и 4 курсов обучающихся по специальности «Организация перевозок и управление на...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания и контрольные задания по патологической физиологии для студентов заочного отделения факультета ветеринарной медицины Ставрополь 2002
Министерство сельского хозяйства российской федерации фгоу впо ставропольский государственный аграрный университет
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочного обучения специальности
Методические указания устанавливают необходимый уровень и перечень теоретических вопросов и практических заданий для самостоятельной...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания по выполнению практических заданий Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения
Рабочая программа учебной дисциплины «Основы планирования профессиональной деятельности» (оппд)
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания по вычислительной технике для студентов заочного отделения по специальности 140448 «Техническая эксплуатация, ремонт и обслуживание электрического и электромеханического оборудования» Нефтекамск
Методические указания и задания на контрольную работу подготовил преподаватель Нефтекамского нефтяного колледжа
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания по подготовке контрольных работ с. 37 Тематика контрольных работ с. 39
Программа предназначена для студентов второго курса заочного отделения исторического факультета кгу и призвана познакомить их с особой...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница