Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи




Скачать 19,44 Kb.
НазваниеМатематика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи
страница3/5
Дата03.02.2016
Размер19,44 Kb.
ТипМетодические указания
1   2   3   4   5
Глава 8. Элементы векторной алгебры

8.1. Векторы.

8.1.1. Основные понятия.

8.1.2. Линейные операции над векторами.

8.1.3. Проекции вектора на ось.

8.1.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

8.2. Действия над векторами, заданными проекциями.

8.3. Скалярное произведение векторов и его свойства.

8.3.1. Определение скалярного произведения.

8.3.2. Свойства скалярного произведения.

8.3.3. Выражение скалярного произведения через координаты.

8.3.4. Некоторые приложения скалярного произведения.

8.4. Векторное произведение векторов и его свойства.

8.4.1. Определение векторного произведения.

8.4.2. Свойства векторного произведения.

8.4.3. Выражение векторного произведения через координаты.

8.4.4. Некоторые приложения векторного произведения.

8.5. Смешанное произведение векторов.

8.5.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл.

8.5.2. Свойства смешанного произведения.

8.5.3. Выражение смешанного произведения через координаты.

8.5.4. Некоторые приложения смешанного произведения.


Вопросы для самопроверки.

1. Что такое вектор и его модуль?

2. Операции над векторами.

3. Свойства проекции вектора на ось.

4. Векторы линейно зависимые и линейно независимые.

5. Разложение вектора по базису.

6. Координаты вектора.

7. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.


21. Найти угол между векторами и

1. =(1;1;0) и =(1;1;1); 2. =(1;0;1) и =(1;1;1);

3. =(0;1;1) и =(1;1;1); 4. =(1;1;1) и =(1;0;1);

5. =(1;1;2) и =(1;0;1); 6. =(1;2;0) и =(1;1;0);

7. =(1;2;1) и =(1;1;1); 8. =(2;1;1) и =(2;1;1);

9. =(2;2;1) и =(1;1;2); 10. =(2;2;1) и =(2;1;1);

11. =(2;2;1) и =(1;2;1); 12. =(2;2;1) и =(1;1;2);

13. =(2;2;2) и =(1;1;2); 14. =(2;2;2) и =(1;2;1);

15. =(2;2;2) и =(2;1;1); 16. =(2;0;2) и =(2;1;1);

17. =(2;2;0) и =(2;1;1); 18. =(0;2;2) и =(1;2;1);

19. =(0;2;2) и =(1;1;2); 20. =(2;0;2) и =(1;1;1);

21. =(2;0;2) и =(1;0;1); 22. =(2;0;2) и =(1;1;0);

23. =(2;0;2) и =(0;1;1); 24. =(0;2;2) и =(1;1;0);

25. =(0;2;2) и =(1;0;1).


Пример. Найти угол между векторами

=(1;1;0) и =(1;0;1).

Р е ш е н и е. Косинус угла равен

сos = = = =

Следовательно, = 60.


22. Найти координаты векторных произведений:

1) × ; 2) (2 + )× ; 3) (2 - )× (2 + )

1. =(3;-1;-2) и =(1;2;-1); 2. =(2;-1;-2) и =(2;2;-1);

3. =(1;-1;-2) и =(3;2;-1); 4. =(2;0;-1) и =(1;3;-1);

5. =(3;1;-1) и =(1;3;0); 6. =(3;2;-1) и =(1;3;1);

7. =(3;2;0) и =(2;3;1); 8. =(3;2;1) и =(2;2;1);

9. =(3;2;2) и =(2;1;1); 10. =(4;1;2) и =(2;0;1);

11. =(4;0;2) и =(2;-1;1); 12. =(4;-1;2) и =(2;-2;1);

13. =(4;-2;2) и =(2;-2;0); 14. =(4;-2;1) и =(2;-2;-1);

15. =(4;-2;0) и =(3;-1;-2); 16. =(4;-2;-1) и =(3;-1;-3);

17. =(5;-2;-1) и =(3;0;-3); 18. =(5;-2;0) и =(3;1;-3);

19. =(5;-2;1) и =(3;1;-2); 20. =(5;-1;1) и =(3;1;-1);

21. =(5;0;1) и =(3;1;0); 22. =(5;1;1) и =(3;0;1);

23. =(5;1;2) и =(3;-1;1); 24. =(5;1;3) и =(3;-1;0);

25. =(5;1;-3) и =(3;-1;-2).


Пример. Даны векторы =(2;5;7) и =(1;2;4). Найти координаты X, Y, Z векторного произведения ×

Р е ш е н и е. Находим

X= = =6; Y= = =-1; Z= = =-1.

Тогда, × = (6;-1;-1).


23. Найти смешанное произведение векторов , ,




1 (1;-1;1) (1;1;1) (2;3;4)

2 (1;-1;1 (2;2;2) (2;3;4)

3 (1;-1;1 (3;3;3) (2;3;4)

4 (2;0;2 (1;1;1) (2;3;4)

5 (3;1;3 (1;1;1) (2;3;4)

6 (1;-1;1) (1;1;1) (3;4;5)

7 (2;0;2) (1;1;1) (3;4;5)

8 (2;0;2) (2;2;2) (2;3;4)

9 (2;0;2) (2;2;2) (3;4;5)

10 (1;-1;1) (3;3;3) (2;3;4)

11 (1;-1;1) (3;3;3) (3;4;5)

12 (3;1;3) (2;2;2) (2;3;4)

13 (3;1;3) (2;2;2) (3;4;5)

14 (3;1;3) (2;2;2) (4;5;6)

15 (3;1;3) (3;3;3) (2;3;4)

16 (3;1;3 (3;3;3) (1;2;3)

17 (3;1;3) (3;3;3) (3;4;5)

18 (3;1;3) (3;3;3) (4;5;6)

19 (1;-1;1) (2;3;4) (1;1;1)

20 (1;-1;1) (1;2;3) (1;1;1)

21 (1;-1;1) (1;2;3) (2;2;2)

22 (1;-1;1) (2;3;4) (2;2;2)

23 (2;0;2) (1;2;3) (1;1;1)

24 (2;0;2) (1;2;3) (2;2;2)

25 (2;0;2) (3;4;5) (2;2;2)


Пример. Найти смешанное произведение векторов

=(2;-1-1), =(1;3;-1), =(1;1;4)

Р е ш е н и е

= = =2• +1• -1• =26+5+2=33


24. Даны вершины  ABC.

C помощью векторной алгебры найти:

а) длину AB;

б) вершину угла B;

с) площадь  ABC.



A B C

х у х у х у

1 -2 1 1 5 2 3

2 4 -3 7 1 8 -1

3 -2 1 1 6 2 4

4 5 0 8 4 9 2

5 2 3 5 7 6 5

6 2 2 5 6 6 4

7 4 -2 7 2 8 0

8 0 4 3 6 4 4

9 4 1 7 5 8 3

10 3 0 -1 2 2 3

11 -3 2 2 7 3 4

12 4 -3 7 1 8 -1

13 -1 2 2 7 3 5

14 5 1 8 4 10 2

15 3 2 5 7 6 5

16 3 3 5 6 6 4

17 4 -2 9 4 8 0

18 0 4 3 6 5 5

19 1 5 3 6 5 5

20 1 5 2 5 4 4

21 4 1 9 7 8 3

22 5 2 9 7 6 1

23 3 0 -1 2 4 5

24 5 2 -1 2 2 3

25 5 2 -1 2 4 5


Пример. Даны вершины  ABC: A(4;-3), B(7;1), C(5;12)

С помощью векторной алгебры найти:

а) длину AC;

б) величину угла B;

в) площадь  ABC.

Р е ш е н и е.

a) AC=

= =

= = =

AC=

б) cosB=

= =

= =


= = = =5

= = = =5

cosB= = =

B=arccos( )=

в) SABC = =


sinB= = = =

SABC= = = (кв. ед)


Глава 9. Аналитическая геометрия на плоскости

9.1. Система координат на плоскости.

9.1.1. Основные понятия.

9.1.2. Основные приложения метода координат на плоскости.

9.1.3. Преобразование системы координат.

9.2. Линии на плоскости.

9.2.1. Основные понятия.

9.2.2. Уравнение прямой на плоскости.

9.2.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи.

Вопросы для самопроверки.

1. Частные случаи общего уравнения плоскости.

2. Виды уравнений плоскости.

3. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

4. Виды уравнений прямой в пространстве.

5. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и

плоскости.


25. Даны вершины  ABC.

Найти: 1) уравнение стороны АС;

2) уравнение высоты, проведенной из вершины C;

3) величину угла B.




A B C

х у х у х у

1 2 2 5 6 6 4

2 3 3 6 7 8 6

3 4 4 7 8 10 8

4 4 -2 7 2 8 0

5 6 0 9 4 10 2

6 8 2 11 6 12 4

7 0 4 3 6 4 4

8 2 6 5 8 6 6

9 4 10 7 10 8 8

10 4 1 7 5 8 3

11 6 3 9 7 10 3

12 3 2 6 6 7 4

13 5 4 8 8 9 6

14 7 6 10 10 11 8

15 -2 1 1 5 2 3

16 0 3 3 7 4 5

17 2 5 5 9 6 7

18 4 -3 7 1 8 -1

19 6 -1 9 3 10 1

20 -2 1 1 6 2 4

21 0 3 3 8 4 6

22 5 0 8 4 9 2

23 7 2 10 6 11 4

24 2 3 5 7 6 5

25 4 5 7 9 8 7


Пример. Даны вершины  ABC: A(1;3), B(7;2), C(8;0)

Найти : а) уравнение стороны AC;

б) уравнение высоты, проведенной из вершины B;

д) величину угла B;

Р е ш е н и е.

a) Уравнение стороны AC найдем как уравнение прямой, заданной двумя точками. В общем виде оно выглядит следующим образом:

M1M2: = ,

где M1(x1;y1), M2(x2;y2).

Тогда: AC: = ,

= .

Приведем полученное уравнение к общему виду (A x+By+C=0)

AC: -3(x-1)=7(y-3)

-3x+3=7y-21

3x+7y-24=0 – уравнение стороны AC.

б) BD – высота, проведенная из вершины B. Необходимо найти ее уравнение.

Т.к. BD  AC, то нормальный вектор

прямой AC будет являться направляющим

вектором прямой BD. Тогда уравнение

прямой BD можно составить, зная точку и

направляющий вектор этой прямой.

= ;

AC: 3x+7y-24=0

A=3, B=7.

= ; - нормальный вектор прямой AC.


Уравнение прямой, заданной начальной точкой и направляющим вектором, записывается так:

M0M: = ,

где M0(x0;y0) – начальная точка,

(p1;p2) – направляющий вектор прямой.

Тогда: BD: = .

7(x-7)=3(y-2)

7x-49=3y-6

7x-3y-43=0 –уравнение высоты, проведенной из точки B.

в) Можно найти тангенс угла B по формуле тангенса угла двумя прямыми (AB и BC):

tg= ,

где  - угол между прямыми

l1: A1x+B1y+C1=0 и l2: A2x+B2y+C2=0.

AB: =

=

-(x-1)=6(y-3)

-x+1=6y-18

x+6y-19=0 – уравнение прямой AB.

A1=1, B1=6, C1=-19

Из п. в) уравнение прямой BC:

2x+y-16=0

A2=2, B2=1, C2=-16.

tgB= = =-

B=arctg(- )=-arctg


Глава 10. Элементы линейной алгебры

10.1. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.

10.2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.


26. Решить систему уравнений методом Крамера.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. .

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:


Р е ш е н и е. Вычислим определитель системы и определители при неизвестных. Определители i получаются из основного определителя системы  путем замены i-го столбца столбцом свободных членов.

= =3• -2• +1• =3•4-2•(-3)+1•7=25;

1= =3• -2• +1• =3•4-2•(-7)+1•(-1)=25;

2= =3• -3• +1• =3•(-7)-3•(-3)+1•(-13)=-25;

3= =3• -2• +3• =3•1-2•(-13)+3•7=50.

Найдем значения x1, x2, x3 по формулам Крамера:

x1= = =1; x2= = =-1; x3= = =2.

Ответ: (1;-1;2)


27. Решить систему уравнений методом Гаусса:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. .

Пример. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений.


Р е ш е н и е: Переставим третье уравнение на место первого (прямой ход):


Запишем расширенную матрицу:


Приведем ее к ступенчатому виду.

Чтобы в 1-м столбце получить a21=a31=0, умножим 1-ю строку сначала на 3, а затем на 2 и вычтем результаты из 2-й и 3-й строк:


Разделим 2-ю строку на 8, полученные результаты умножим на 3 и вычтем из 3-й строки:


Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:


Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок находим неизвестные:

; ; ; ;

;

Ответ: (1;2;3)


Глава 11. Аналитическая геометрия на плоскости (линии второго порядка)

11.1. Линии второго порядка на плоскости.

11.1.1 Основные понятия.

11.1.2 Окружность.

11.1.3 Эллипс.

11.1.4 Гипербола.

11.1.5 Парабола.

11.1.6 Общее уравнение линии второго порядка.


28. Окружность и парабола. Составить уравнение и построить окружность с центром в точке M и радиусом r

(варианты 1-6):

1. M(-2; -5) и r= ; 2. M(-5; 0) и r=3;

3. M(0; -7) и r=2; 4. M(0; -3) и r=3;

5. M(2; 4) и r= ; 6. M(1; 3) и r= .

Построить окружность (варианты 7-12):

7. x2+y2+6x-4y-3=0; 8. x2+y2-10x-6y-2=0;

9. x2+y2-10x+9=0; 10. x2+y2+8x+7=0;

11. x2+y2-4x+8y-16=0; 12. 9x2+9y2+42x-54y-95=0.

Построить параболу, найти координаты ее фокуса и уравнение директрисы (варианты 13-25):

13. y2=6x; 14. x2=-32y;

15. y2-4y=0; 16. y2=8x;

17. y=-2x2+8x-5; 18. y2+6y-8x+1=0;

19. x2+6x-12y+21=0; 20. x2+2x-20y-79=0;

21. y2-4y+8x-12=0; 22. y2-4y-16x+52=0;

23. x2 +8x-28y+44=0; 24. x2+ 8x+16y+48=0;

25. y2-4y-24x+28=0.

Пример. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением y2=8x.

Р е ш е н и е. Из данного канонического уравнения параболы следует, что 2p=8, т.е. p=4, откуда =2. Следовательно, точка F(2; 0) – фокус параболы, а x=2 - уравнение директрисы.


29. Эллипс и гипербола.

Для приведенного уравнения эллипса найти a, b, c, ε

(варианты 1-13);

1. 9x2+25y2=225; 2. 3x2+16y2=192; 3. + =1;

4. x2+9y2=9; 5. 9x2+16y2=144; 6. 4x2+16y2=64;

7. 9x2+36y2=324; 8. 4x2+25y2=100; 9. 4x2+36y2=144;

10. x2+36y2=36; 11. x2+16y2=16; 12. 16x2+25y2=400;

13. 9x2+49y2=441.

Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и построить его (варианты 14-16):

14. M1(2; 3) и M2(1; ); 15. M1(4; ) и M2( ; 2); 16. M1(2; 0) и M2(1; 2).

Построить гиперболу, найти действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот (варианты 17-20)

17. 16x2-9y2=144; 18. 3x2-4y2=12;

19. x2-4y2=16; 20. - =1.

Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси (варианты 21-25):

21. Oх, проходящей через точку M(6; 0);

23. Oх, проходящей через точку B(-7; -3);

24. Oу, проходящей через точку C(1; -3);

25. Oу, проходящей через точку D(4; 0).

Пример: Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением 2x2+y2=32.

Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду

+ = ; + =1.

Отсюда a2=16, b2=32 и a=4, b=4 .

Так как b>a, то фокусы эллипса расположены на оси ординат. Они имеют координаты F1(0; c) и F2(0; -c), где «c» определяется из соотношения b2-a2=c2,тогда c2=32-16; c2=16, c=4.Фокусами эллипса служат точки F1(0; 4) и F2(0; -4).

Большая ось эллипса 2b=8 ; малая 2a=8; эксцентриситет ε= = = .

Пример: Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси абсцисс, если известно, что эксцентриситет ε=1,5, а фокусное расстояние равно 6.

Решение. Так как =6, то 2c=6, т.е. c=3. Далее, получим из ε= a= = =2. Зная a и с, из соотношения c2 =a2 +b2 найдем 9=4+b2, откуда b2=5.

Итак, каноническое уравнение гиперболы имеет вид - =1.


1   2   3   4   5

Похожие:

Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания для студентов 1 курса заочного отделения по направлению подготовки «юриспруденция» (2 семестр 2012/2013 гг.)
Методические указания для студентов 1 курса заочного отделения юридического факультета (2 семестр). – Казань: Издательство Института...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания для студентов 2 курса судомеханического факультета заочного отделения
Методические указания предназначены для студентов 2 курса смф заочного отделения и составлены для организации работы студентов-заочников...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания к выполнению контрольной работы по физике для студентов инженерных специальностей заочного отделения
...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания: профессиональный английский язык для студентов 5 и 6 курсов заочного факультета специальность 060800: Экономика и управление
Методические указания предназначены для студентов 5 и 6 кур­сов обучающихся по специальности "Экономика и управление на предприя­тии...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconБазовый профессиональный английский язык методические указания
Методические указания предназначены для студентов 3 и 4 курсов обучающихся по специальности «Организация перевозок и управление на...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания и контрольные задания по патологической физиологии для студентов заочного отделения факультета ветеринарной медицины Ставрополь 2002
Министерство сельского хозяйства российской федерации фгоу впо ставропольский государственный аграрный университет
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочного обучения специальности
Методические указания устанавливают необходимый уровень и перечень теоретических вопросов и практических заданий для самостоятельной...
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания по выполнению практических заданий Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения
Рабочая программа учебной дисциплины «Основы планирования профессиональной деятельности» (оппд)
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания по вычислительной технике для студентов заочного отделения по специальности 140448 «Техническая эксплуатация, ремонт и обслуживание электрического и электромеханического оборудования» Нефтекамск
Методические указания и задания на контрольную работу подготовил преподаватель Нефтекамского нефтяного колледжа
Математика методические указания для студентов заочного отделения физико-математического факультета бгпи iconМетодические указания по подготовке контрольных работ с. 37 Тематика контрольных работ с. 39
Программа предназначена для студентов второго курса заочного отделения исторического факультета кгу и призвана познакомить их с особой...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница