Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей




Скачать 38,72 Kb.
НазваниеЭлементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Дата04.02.2016
Размер38,72 Kb.
ТипПояснительная записка


Министерство образования РФ

МОУ Платошинская средняя общеобразовательная школа

Пермского района Пермского края


Программа элективного курса по выбору

"Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей"

с элементами информатики

для учащихся 10 - 11 классов средней школы

(в рамках профильного обучения)


Материалы к конкурсу научно-методических разработок и обобщающих материалов по содержанию федерального и регионального компонентов стандарта и конкурса образовательных грантов подготовила: Сапожникова Е. С. - учитель математики и информатики высшей категории


с. Платошино

2004 г.


Содержание


1.

Пояснительная записка

3

1.1.

Цель курса

5

1.2.

Задачи курса

5

1.3.

Ожидаемые результаты

5

2.

Тематическое планирование

6

3.

Содержание курса

6

4.

Список учебно-методической литературы

17



Пояснительная записка


Предлагаемый элективный курс "Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей" предназначен для реализации в старших классах средней общеобразовательной школы. Курс носит интегративный, междисциплинарный характер и ориентирован на учащихся физико-математического, естественно - научного профилей. Курсу отводится 2 часа в неделю; всего 20 учебных часов.

Курс рассчитан на учеников 10 - 11 классов, имеющих хорошую логическую математическую культуру мышления и базовую подготовку по информатике. Время реализации курса учитель определит сам.

Задачи, которые ставит перед выпускником средней школы жизнь, в большинстве своем связаны с необ­ходимостью анализа влияния случайных факторов и при­нятия решений в ситуациях, имеющих вероятностную основу. Поэтому некоторый запас вероятностно-статистических знаний является неотъемлемым условием творческой работы во многих областях. Эти знания необходимы и в школе при изучении различных пред­метов, ведь большинство рассматриваемых там законо­мерностей являются статистическими и требуют для глубокого объяснения привлечения вероятностных идей и соответствующего понятийного аппарата.

В наше время вряд ли можно считать образованным человека, хотя бы в общих чертах не знакомого со взаимоотношением между «необходимым» и «случай­ным». Наметившиеся в нашей стране тенденции экономиче­ских преобразований позволяют предположить, что обществу будут востребова­ны организаторы и участники производства нового типа, которыми должны будут стать многие выпускники школ. Столь необходимую для их деятельности статисти­ческую культуру надо воспитывать со школы.

Появление в школьной программе вероятностно - ста­тистической линии, ориентированной на знакомство учащихся с вероятностной природой большинства яв­лений окружающей действительности, будет способство­вать усилению её общекультурного потенциала, возникно­вению новых, глубоко обоснованных межпредметных связей, гуманитаризации школьного математического образования.

Типические черты изучаемых явлений, их общие тен­денции могут быть выявлены с помощью средних статистических характеристик. Умение пользоваться ими характеризует наличие у учащегося представлений, свя­занных с центральными тенденциями в мире случайного. Понимание смысла самых простых средних показателей, таких, как среднее арифметическое, необходимо каждо­му ученику. Ведь сообщения средств массовой инфор­мации, как правило, не обходятся без привлечения средних показателей. Средняя температура и средняя зарплата, средняя семья и средний доход постоянно фигурируют в печати, на телеэкране, на митинге. Умение ориентироваться в этих показателях помогает человеку принимать правильные решения, адекватно воспринимать поступающую к нему информацию.

В наши дни человек постоянно сталкивается с вероят­ностной терминологией в политических и научных текстах, широко использует ее в повседневной речи. Она звучит в завтрашнем прогнозе погоды, когда речь заходит о веро­ятности дождя, в выступлении политика, когда он оце­нивает шансы или анализирует данные, в разговоре эко­номиста, организатора производства, ученого.

Большое распространение получили различные лотереи, азартные игры, участвуя в которых важно правильно оце­нивать шансы получить выигрыш, придерживаться опти­мальной стратегии или, наоборот, оценив свои шансы, от­казаться от игры. Все вопросы, связанные с выигрышными стратегиями, справедливыми и несправедливыми усло­виями случайных игр, вызывают большой интерес даже у самых слабых учащихся. Кроме того, игровая фабула задачи дает возможность организовать захватывающий эксперимент перед решением ее в классе, в беседе с уча­щимися обсудить их оценки шансов, углубить и развить вероятностную интуицию в нужном направлении.

Одной из важных целей изучения вероятностно-ста­тистического материала в школе является развитие вероятностной интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Ведь в жизни очень часто приходится осуществлять оценку шан­сов, выдвигать гипотезы и предложения, прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностях подтверж­дения той или иной гипотезы и т. п. Представление о вероятности, которое усвоено в процессе организо­ванного, систематического изучения, отличается от обы­денного, житейского именно тем, что оно является носителем представлений об устойчивости, закономер­ности в мире случайного, позволяет наиболее полно и правильно делать выводы из имеющейся информации.

Изучение вероятностно-статистического материала должно быть направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовать коммуникативные способ­ности и умение ориентироваться в общественных про­цессах, анализировать ситуации и принимать обоснован­ные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в мас­се случайных фактов.

Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года предусматривает обновление структуры и содержания образования. Проектом обязательного минимума содержания математического образования среднего (полного) общего образования предоставляется возможность учащимся усвоить основные формулы комбинаторики, развить представления о классической модели вероятностей и её применениях, получить представления о случайных величинах и их характеристиках, о законах распределения случайных величин.

Данный курс поможет ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, поможет ученику найти своё призвание в профессиональной деятельности, потребующей использовать точные науки. Динамика интереса к курсу будет идти через межпредметные связи.

Цель элективного курса: ознакомление учащихся с миром случайного, ознакомление с основными понятиями и методами теории вероятностей и математической статистики, с помощью которых можно анализировать и решать прикладные задачи. Особое внимание уделять компьютерному моделированию вероятностных процессов.

Задачи курса:

  • развитие представлений учащихся о случайных величинах и их характеристиках;

  • развивать умение анализировать и интерпретировать данные, представленные в различной форме, проверять простейшие статистические гипотезы;

  • расширение общекультурного кругозора и развитие логического мышления учащихся через межпредметные связи;

  • формирование практических навыков научно - исследовательской деятельности;

  • оказание учащимся педагогической поддержки в выборе профессии и дальнейшего продолжения образования после окончания средней школы.

Ожидаемые результаты

После изучения курса учащиеся должны:

  • Знать основные понятия теории вероятностей и математической статистики.

  • Уметь вычислять вероятности событий, пользуясь различными определениями вероятности и формулами.

  • Видеть в конкретных научных, технических, житейских проблемах вопросы, задачи, допускающие решения методами теории вероятностей, уметь формулировать и решать такие задачи.

  • Уметь представить событие в виде комбинации нескольких элементарных событий.

  • Уметь использовать приближенные формулы для вычисления вероятностей.

  • Различать дискретные и непрерывные случайные величины.

  • Уметь находить числовые характеристики случайных величин.

  • Уметь решать простейшие задачи математической статистики.

  • Уметь интерпретировать полученные результаты.



Тематическое планирование








Тема

Всего часов

Теоретическая часть

Практическая часть



Формы

контроля

1

Введение в курс. Случайные события и операции над ними.

2

1

1

Собеседование

2

Элементы комбинаторики.

4

2

2

Выступления с небольшими

докладами, работа на ПК

3

Понятие вероятности.

1

1

-

Собеседование

4

Операции над вероятностями.

2

1

1

Выполнение индив. задания

5

Последовательности испытаний.


2

1

1

Сообщения о проделанной работе

6

Случайные величины.

1

1

-

Собеседование

7

Числовые характеристики случайной величины.

2

1

1

Расчётная работа на ПК

8

Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

2

1

1

Расчётная работа на ПК

9

Простейшие распределения случайных величин.

2

1

1

Демонстрации на ПК

10

Итоговое занятие. Выполнение расчётно-графических заданий (сдача / защита).

2

-

2

Расчётная работа на ПК

Содержание курса



Введение в курс. Случайные события и операции над ними.

Предмет, которому посвящён данный курс. Кое - что из прошлого теории вероятностей. Случайное событие. Элементарные случайные события. Достоверное и невозможное событие. Отношения между событиями. Операции над событиями.

Цель: формирование у учащихся представлений о роли случайности в окружающем нас мире.

Через Интернет - ресурсы можно ознакомить учащихся с применением теории вероятностей в практической деятельности в прошлом и настоящем.

Элементы комбинаторики. Некоторые сведения из комбинаторики. Основные правила комбинаторики: правило суммы и правило произведения. Факториал. Основные комбинаторные схемы: перестановки, размещения, сочетания. Упражнения по комбинаторике.

Цель: ознакомление с основными понятиями комбинаторики, с помощью которых можно анализировать и решать прикладные задачи.

Для решения задач комбинаторики можно использовать математический пакет Derive, систему Maple, систему Mathematica и прикладное ПО Microsoft Excel.

Рекомендации к урокам:

Вводная беседа


Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число возможных способов расположения некоторых предметов или число возможных способов осуществления некоторого действия.

Герой русских былин и сказок, богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читал на камне: «Вперёд поедешь - голову сложишь, направо поедешь - коня потеряешь, налево поедешь - меча лишишься». Потом же повествовалось о том, как он выходил из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому – химику - при рассмотрении различных возможных типов связи атомов в молекулах, биологу - при изучении различных возможных последовательностей чередования аминокислот в белковых соединениях, конструктору - при проектировании различных машин и механизмов, диспетчеру - при составлении графика движения, учёному – агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях и т.п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время также обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.

Иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики очень помогают в теории вероятностей осуществить подсчёт числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в разных конкретных случаях.

В теории вероятностей принято говорить не о комбинациях, а о выборках. Поэтому будем придерживаться термина "выборка".

В комбинаторике рассматриваются виды выборок - перестановки, размещения, сочетания.

Основная часть

1. Рассмотреть общие правила, с помощью которых решается большинство задач комбинаторики (правило суммы и правило произведения), на примерах задач с обсуждением решения.

Пример 1. От Октябрьской площади до цирка можно проехать через Северную и Южную дамбы. В первом случае количество дорог равно 4, а во втором - 3. Сколькими способами можно добраться от Октябрьской площади до цирка?

Решение. Очевидно, число разных путей от Октябрьской площади до цирка равно 4 + 3 = 7.


Пример 2. Из Перми до Чайковского можно добраться теплоходом, поездом, автобусом, самолётом; из Чайковского до Ижевска - теплоходом или автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту Пермь - Чайковский - Ижевск?

Решение. Число разных путей из Перми до Ижевска равно 4*2=8, т.к., выбрав любой из 4 возможных способов путешествия из Перми до Чайковского, имеем 2 возможных способа путешествия из Чайковского до Ижевска.


Пример 3. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

А) ни одна из цифр не повторяется больше одного раза в записи числа;

Б) цифры в записи могут повторяться;

В) цифры могут повторяться в записи числа, но число должно быть нечётным.

Решение. А) Первой цифрой при этом может быть любая из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5, (0 не может быть первой цифрой, потому что в таком случае число не четырёхзначное). Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5 способами, третья - 4 способами, четвёртая - 3 способами. Согласно правилу произведения общее число способов равно 5*5*4*3=300.

Б) Для первой цифры имеем 5 возможностей (1, 2, 3, 4, 5), для каждой из следующих цифр - 6 возможностей (0, 1, 2, 3, 4, 5). Значит, число искомых чисел равно 5*6*6*6=1080

В) Первой цифрой может быть одна из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5, а последней 1, 3, 5. Значит, общее количество чисел равно 5*6*6*3=540


2. Перед рассмотрением соединений в комбинаторике необходимо познакомить учащихся с понятием n!.

Далее учащихся ознакомить с соединениями в комбинаторике (сочетания, перестановки, размещения), комментируя на примерах задач.

После этого можно перейти к стандартным перечислительным задачам.

Пример 4. В турнире принимали участие n шахматистов, и каждые 2 шахматиста встретились 1 раз. Сколько партий было сыграно в турнире?

Пример 5. Из восьми намеченных кандидатов нужно избрать трёх счетчиков. Сколькими способами можно это сделать?

Пример 6. В оранжерее имеются цветы 10 наименований. Сколькими способами можно составить букет из 20 цветов?

Пример 7. Сколько можно составить всевозможных перестановок из n элементов, в которых данные два элемента не стоят рядом?

Пример 8. Найти число перестановок из трёх элементов a, b, c.

Пример 9. Сколькими способами можно распределить 5 должностей между пятью лицами, избранными в президиум спортивного общества?

Пример 10. Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

Пример 11. В президиум собрания избраны 8 человек. Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности председателя, секретаря и счётчика?

Пример 12.Расписание одного дня содержит 5 уроков по разным предметам. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 предметов.

П


ример 13.
Команда из 5 - ти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвует ещё 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?

Пример 14. Замок в автоматической камере хранения кодируется четырёхзначным числом десятичной системы исчисления. Сколькими способами можно набрать это число?

Часто при решении комбинаторных задач используется биномиальная теорема (бином Ньютона).


(
n

k=0
a+b)n=  =Cnk * an-k * bk


Пример 15. Используя биномиальную теорему, получить формулу для расчёта (a+b)3.

3. Упражнения по комбинаторике.

Задания для самостоятельной работы:

  1. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу? (Отв: 210)

  2. В вазе 10 красных и 4 розовых гвоздики. Сколькими способами можно составить букет: а) из 1 красной и 2 розовых гвоздик? б) из трёх цветков? (Отв: а) 60; б) 364)

  3. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла бить другую? (Отв: 896)

  4. Четыре стрелка должны поразить 8 мишеней (каждый по 2). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой? (Отв: 2520)

  5. В фортепьянном кружке 10 человек, в кружке художественного слова - 15, вокальном - 12, фото - 20. Сколькими способами можно составить бригаду из 4 чтецов, 3 пианистов и 1 фотографа? (Отв: (10 * 15!)/ 7! )

  6. Из группы 15 человек выбирают 4 участника эстафеты 800 * 400 * 200 * 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам?

(Отв: 32760)

  1. Из колоды, содержащей 52 карты, вынимают 10 карт. В скольки случаях среди этих карт окажутся: а) хотя бы один туз; б) ровно один туз; в) не менее двух тузов; г) ровно два туза?

  2. Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов?

  3. Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры выходят группами по 2, 3 и 4 человека. Сколькими способами это может произойти?

Дополнительные задачи к урокам по теме "Комбинаторика"
1. При формировании экипажа космического корабля имеется 10 претендентов на пост командира экипажа, 20 - на пост бортинженера и 25 - на пост космонавта-исследователя. Ни один кандидат не претендует одновременно на два поста. Сколькими способами можно выбрать одну из кандидатур или командира, или бортинженера, или космонавта - исследователя?

2. Пусть существует три кандидата K1, K2, K3 на место командира корабля и два кандидата B1 и В2 на место бортинженера. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящий из командира и бортинженера?

3. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории, литературе, русскому и английскому языкам?

4. В классе 25 учеников. Сколькими способами из них можно выбрать четырех учащихся для дежурства на вечере?

5. У 6 взрослых и 11 детей обнаружены признаки инфекционного заболевания. Чтобы проверить заболевание, следует взять выборочный анализ у 2 взрослых и 3 детей. Сколькими способами можно это сделать?

6. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?


Можно предложить школьникам решение комбинаторных задач с помощью ЭВМ: программирования и прикладного ПО Microsoft Excel.

Решение комбинаторных задач с помощью средств

программирования на ЭВМ.


Перестановки

Возможный вариант программы на языке QBASIC:

CLS

REM ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК

PRINT "множество состоит из N элементов"

INPUT "введите число N"; N

P = 1

FOR I = 1 TO N

P = P*I

NEXT I

PRINT " Pn="; P

END

Сочетания

Вычисления чисел n!, k! и (n - k)! осуществляется с помощью подпрограммы.

Возможный вариант программы:

CLS

REM ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ

INPUT N, K

M = N

GOSUB 140

A = L

M = K

GOSUB 140

B = L

M = N - K

GOSUB 140

PRINT "CNK="; A/(B*L)

END

140 REM ПОДПРОГРАММА

REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАКТОРИАЛА

L = 1

FOR I = 1 TO M

L = L*I

NEXT I

RETURN


Размещения

Возможный вариант программы:

CLS

REM ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ

INPUT N, K

M = N

GOSUB 110

D = L

M = N - K

GOSUB 110

PRINT "АNK="; D/L

END

110 REM ПОДПРОГРАММА

REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАКТОРИАЛА

L = 1

FOR I = 1 TO M

L = L*I

NEXT I

RETURN

4. Подведение итогов по теме "Элементы комбинаторики", выступления учащихся (защита самостоятельно решенных найденных задач в дополнительной литературе).

Понятие вероятности. Классическое определение вероятности события. Статистическое понятие вероятности события. Геометрическое понятие вероятности.

Знать смысл, различать понятия вероятности.


Операции над вероятностями. Произведение и сумма событий. Теоремы умножения и сложения вероятностей, формула полной вероятности. Формула Байеса.

Знать смысл, различать и осознанно использовать следующие общие понятия: свойства вероятности, основные теоремы теории вероятностей (сложение и умножение вероятностей), формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Уметь: решать задачи на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Тренировочные упражнения и упражнения для самостоятельной работы:

  1. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым - 0,7. Найдите вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.

  2. Имеется два ящика, в каждом по 10 деталей; в первом ящике 8, во втором - 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найдите вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными.

  3. Найдите вероятность одновременного появления герба при одном бросании двух монет.

  4. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найдите вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

  5. В колоде 36 карт. Наудачу из колоды вынимают 2 карты. Определите вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.

  6. В урне 2 белых и 3 черных шара, из урны вынимают подряд два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.

  7. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 2 туза?

  8. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд туз и дама?

  9. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобрали двух человек. Найдите вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

  10. В семье двое детей. Принимая равновероятность рождения мальчика и девочки, найдите вероятность того, что в семье: а) все девочки; б) дети одного пола.

  11. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,8, а второго - 0,9. Найдите вероятность того, что взятая наугад деталь (из наугад взятого набора) - стандартная.

  12. В первой коробке содержится 12 ламп, из них 8 стандартных, во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наугад взята лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, наугад извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

  13. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найдите вероятность того, что вынутое яйцо некачественное.

  14. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

  15. При транспортировке из 1 000 дынь испортилось 5. Чему равна относительная частота испорченных дынь?

  16. В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

  17. В денежно-вещевой лотерее на серию из 1 000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?

  18. Произведя 100 выстрелов, стрелок попал в цель 89 раз. Чему равна относительная частота попадания в цель данного стрелка?


  19. В книге 500 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница имеет порядковый номер, кратный 7?

  20. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку "хорошо" равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже "хорошо"?


  21. Бросается один раз игральная кость. Определите вероятность выпадения 3 или 5 очков.

  22. В хлопке 75 % длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наугад трех волокон окажутся два длинных волокна?

  23. При некоторых условиях стрельбы вероятность попадания в цель равна 0,3. Производится 6 выстрелов. Какова вероятность точности двух попаданий?

  24. Игральную кость бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем. Монету бросают 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз?

  25. Пусть всхожесть семян определенного растения составляет 80 %. Найдите вероятность того, что из трех посеянных семян взойдут: а) два; б) не менее двух.

Последовательности испытаний. Независимые и зависимые испытания. Урновая схема и схема Бернулли. Формула Бернулли, приближенные формулы в схеме Бернулли. Упражнения.

Знать смысл, различать и осознанно использовать следующие общие понятия: независимые и зависимые испытания.


Случайные величины. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры.

Цель: различать и осознанно использовать понятия - дискретные и случайные величины.


Числовые характеристики. Математическое ожидание, дисперсия случайной величины. Другие числовые характеристики (мода, медиана) и их смысл. Упражнения. Выполнение расчётных заданий.

Знать смысл, различать и осознанно использовать следующие общие понятия: числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин и их свойства.

Уметь: вычислять характеристики дискретной случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение), характеристики непрерывной случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану, среднеквадратическое отклонение).

При изучении числовых характеристик случайной величины обратить особое внимание на практическое применение этих характеристик. Например, если некоторая фирма хочет оценить необходимое количество денег для выдачи зарплаты, её интересует средняя зарплата сотрудника, то есть математическое ожидание зарплаты сотрудника, рассматриваемой как случайная величина. При устройстве на работу будущего сотрудника должна интересовать не средняя зарплата, а её мода - заработная плата, получаемая большинством сотрудников. Медиана заработной платы говорит сотруднику о том, принадлежит ли он к хорошо или плохо оплачиваемой части сослуживцев.


Для решения задач можно использовать математический пакет Derive, систему Maple, систему Mathematica.


В качестве задания более подготовленным учащимся можно предложить составление программы для вычисления математического ожидания и дисперсии.


Возможный вариант программы на языке QBASIC:

REM Математическое ожидание и дисперсия

INPUT N

DIM X(N), P(N)

MX=0 : DX=0

PRINT"Ввод исходных данных X(I) И P(I)"

FOR K=1 TO N

INPUT X(K), P(K)

NEXT K

FOR I=1 TO N

MX= MX +X(I) * P(I)

NEXT I

PRINT"Математическое ожидание MX="; MX

FOR I=1 TO N

MX= MX +(X(I) - MX)^2 * P(I)

NEXT I

PRINT"Дисперсия DX="; DX

END

Задачи для самостоятельного решения на ПК:

  1. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

  2. Найдите дисперсию случайной величины Х - числа появлений события А в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна 0,7.

  3. Найдите: а) математическое ожидание и б) дисперсию числа бракованных изделий в партии из 5 000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02.

  4. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6. Найдите дисперсию случайной величины Х - числа появлений события А в этих испытаниях.

  5. Найдите дисперсию случайной величины Х - числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если М(Х) = 0,8.

Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Выполнение расчётных заданий.

При изучении этой темы особое внимание обратить на практическое применение функции распределения случайной величины. Например, функция распределения случайной величины используется при определении надёжности станков, долговечности изделий, числа запасных деталей, при контроле качества продукции и во многих других случаях.

Знать смысл, различать и осознанно использовать следующие общие понятия: характеристики непрерывных СВ (функция распределения, плотность распределения вероятностей).

Уметь: исследовать непрерывные случайные величины с помощью функции - плотности распределения вероятностей.

Задачи для самостоятельного решения:

  1. Ф

    ункция распределения случайной величины  следующая:

  1. при х-1


1

1


3

3
F(x) = х + при -1  х  2,

1 при х 2.



Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключённое в промежутке [0; 1).

  1. Случайная величина Х задана функцией распределения:

0 при х< 1


Х - 1



2
FX (x) = при х  [1; 3]

1 при х > 1

Вычислить вероятности попадания случайной величины Х в интервалы (1,5; 2,5) и (2,5; 3,5).


Простейшие распределения случайных величин.

Основные примеры: биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение на a; b, показательное, нормальное распределения и их применение.

Уметь: применять в практике законы распределения случайных величин.

Задачи для самостоятельного решения:

Для решения задач можно использовать математический пакет Derive, систему Maple, систему Mathematica и прикладное ПО Microsoft Excel.

  1. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: а = 164 см, s = 5,5 см. Найдите плотность вероятности этой величины.

  2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найдите вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (4; 8).

  3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найдите вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (-2; 3).

Итоговое занятие. Выполнение расчётно-графических заданий (сдача / защита).


Расчётно-графические задания:


  1. Стрелок делает по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0. 3. Построить закон распределения числа попаданий. (Воспользоваться формулой Бернулли).

  2. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и построить график плотности и функции распределения для случайной величины, равномерно распределённой на отрезке [0, 1].



Error: Reference source not found


        1. В. С. Лютикас "Школьнику о теории вероятностей", учебное пособие для учащихся. Москва "Просвещение" 1983. Издание 2-е, дополненное.


2. В. С. Лютикас. Факультативный курс по математике. "Теория вероятностей", учебное пособие для учащихся 9 - 11 классов средней школы. Москва "Просвещение" 1990. Издание 3-е, переработанное.


[Учебные пособия [1], [2] для учащихся содержат теоретические материалы, упражнения для тренировки по усвоению прочитанного материала, некоторые задачи для размышлений, самостоятельного поиска].


3. М.Б. Гитман, Е.Г. Цылова

Введение в комбинаторику и теорию вероятностей (г. Пермь, 1999 год).

4. Рыбников К.А.

Введение в комбинаторный анализ. –М.: Изд. МГУ, 1972.


5. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. Под редакцией Рыбникова К.А.-М.: Наука, 1982.


Похожие:

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей iconУрок профильного курса «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики»
Теория вероятностей – не что иное, как здоровый смысл, подкрепленный вычислениями
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей iconЭлективный курс «Элементы теории множеств, логики, комбинаторики и теории вероятностей»
Поэтому знание основ теории множеств, логики и теории вероятностей даёт возможность учащимся определиться в профессиональной деятельности,...
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей iconПояснительная записка. Общая характеристика учебного предмета
«Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,...
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей iconЭлементы комбинаторики, статистики и теории вероятно­стей (12 ч)
Линейные и квадратные неравенства (повторение). Рациональное неравенство. Метод интервалов
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей iconКонспект урока по теме «Решение комбинаторных задач»
Макарычев Ю. Н. и др. «Элементы статистики и теории вероятностей. Алгебра 7-9 классы» М.: Просвещение, 2008
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей iconПрограмма курса по выбору «Элементы теории вероятностей и комбинаторики»
Необходимость формирования вероятностного мышления обусловлена тем, что учащиеся должны научиться извлекать, анализировать и обрабатывать...
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей iconЭлективный курс по математике «Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятности» (9 класс)
Он развивает умение работать с информацией, представленной в виде таблиц, графиков, диаграмм, производить интерпретацию результатов,...
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей icon«Элементы комбинаторики» рассматривается в курсе 10 класса и лишь кратко повторяется в курсе 11 класса перед темой «Теория вероятности и математическая статистика». Это способствует лучшему усвоению данных тем, которые обычно представляют некоторые трудности для учащихся
Первая часть курса, охватывающая по протяженности I полугодие, направлена на прохождение новых для учащихся тем. Основные новые темы...
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей iconСпециальный курс комбинаторика, теория вероятностей и элементы статистики
Моу «Советская средняя школа №3 п. Советский» Советского района Республики Марий Эл
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей iconТеория вероятностей
Предмет и методы теории вероятностей, ее основные этапы развития. Несколько современных задач. [3, Дополнение. “Очерк развития теории...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница