Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению "Технические науки" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9




НазваниеУчебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению "Технические науки" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9
Дата04.02.2016
Размер17,2 Kb.
ТипУчебное пособие




Натансон И. П.
Краткий курс высшей математики:
Учебное пособие. 9-е изд.

Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению "Технические науки" (550000)

ISBN 978-5-8114-0123-9

Год выпуска 2007
Тираж 2000 экз.
Формат 12,8  20 см
Переплет: твердый
Страниц 736


Книга выдающегося педагога и ученого проф. И. П. Натансона «Краткий курс высшей математики» содержит разделы, посвященные аналитической геометрии, математическому анализу, кратко описываются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по техническим специальностям.

Предисловие


Настоящая книга представляет собой руководство, предназначенное для студентов высших технических учебных заведений, в которых на курс высшей математики (вместе с упражнениями) отводится 300–400 часов. Материал, напечатанный крупным шрифтом (он независим от петита), охватывает программу подготовки инженеров-эксплуатационников. В петит вынесены вопросы, которые вместе с основным материалом соответствуют программе подготовки инженеров-конструкторов. Служить учебником для будущих инженеров-исследователей, нуждающихся в более основательной математической подготовке, книга не предназначена. Этим определился как выбор материала, содержащегося в книге, так и в еще большей степени характер его изложения. Автор в значительной мере опирается на интуицию читателя. Вопросами строгого логического обоснования, столь важными при построении университетского курса, автор не занимался.

Некоторые разделы книги сопровождаются упражнениями. В основном это разделы, которым уделено сравнительно мало внимания в общепринятых задачниках.

При написании трех первых глав автор использовал обработку своих лекций, произведенную И. А. Камышко (гл. I) и X. А. Цареградским (гл. II и III). С рукописью в целом подробно ознакомились Г. П. Акилов, Б. 3. Вулих и В, Л. Файншмидт, давшие много полезных указаний. Ценные советы были даны также С. И. Залгаллер, В. А. Залгаллером и Г. И. Натансоном. Исключительное внимание к книге в процессе ее издания проявила старший редактор Физматгиза Н. М. Розенгауз. Всем им автор приносит свою благодарность.

17, IV. 63 г., И. Натансон

Оглавление

Предисловие .......... 11

Введение .......... 13

Глава 1. Аналитическая геометрия на плоскости .......... 17


§ 1. Точки и координаты .......... 17

1. Прямоугольная система координат (17). 2. Расстояние между двумя точками (19). 3. Середина отрезка (20). 4. Деление отрезка в данном отношении (22). 5. Площадь треугольника (24). 6. Площадь многоугольника (26).

§ 2. Линии и уравнения .......... 27

1. Второй принцип соответствия (27). 2. Окружность (31).

§ 3. Прямая линия .......... 33

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (33). 2. Общее уравнение прямой (37). 8. Уравнение прямой в отрезках на осях (39). 4. Угловые соотношения между прямыми (41). 5. Проведение прямой через одну или две заданные точки (44). 6. Расстояние от точки до прямой (49).

§ 4. Эллипс .......... 54

1. Определение эллипса. Его каноническое уравнение (54). 2. Исследование формы эллипса (56). 3. Эллипс как сжатая окружность (59). 4. Эксцентриситет эллипса (60). 5. Взаимно сопряженные диаметры, эллипса (60).

§ 5. Парабола .......... 63

1. Определение парабола. Ее каноническое уравнение (63). 2. Исследование формы параболы (65). 3. Парабола y = ax2 (67).

§ 6. Гипербола .......... 68

1. Определение гиперболы. Ее каноническое уравнение (68). 2. Исследование формы гиперболы (69). 3. Асимптоты гиперболы (70). 4. Эксцентриситет гиперболы (74). 5. Равнобочная гипербола (75). 6. Сопряженная гипербола (75). 7. Некоторые применения гиперболы (76).

§ 7. Преобразование координат .......... 77

1. Постановка вопроса (77). 2. Параллельный перенос системы (78). 3. Поворот системы (79). 4. Общий случай преобразования координат (80). 5. Алгебраическая кривая и ее порядок (81).

§ 8. Упрощение уравнений кривых 2-го порядка .......... 83

1. Уравнение у = ах2 + + с (83). 2. Уравнение Ax2 + Cy2 + Dx + Еу + F = 0 (85). 3. Общее уравнение второй степени (89). 4. Примеры. Гипербола, отнесенная к асимптотам (90).

§ 9. Полярные координаты .......... 94

1. Полярная система координат (94). 2. Расстояние между двумя точками (95). 3. Связь между полярными и прямоугольными координатами (96). 4. Спираль Архимеда (97). 5. Гиперболическая спираль (98). 6. Лемниската (99).

Глава II. Переменная. Предел. Функция .......... 101


§ 1. Переменные и их пределы .......... 101

1. Нумерованная переменная (101). 2. Предел (103). 3. Величины бесконечно малые и бесконечно большие (105). 4. Основные свойства переменных величин (109). 5. Неопределенные выражения (112). 6. Раскрытие некоторых типов неопределенностей (113). 7. Число е (122). 8. Натуральные логарифмы (125). 9. Эквивалентные бесконечно малые (127). 10. Три замечательных предела (129). 11. Сравнение бесконечно малых величин (132).

§ 2. Функция .......... 135

1. Понятие функции (135). 2. Различные способы задания функции (135). 3. Графики некоторых функций (139). 4. Понятие о непрерывности функции (142). 5. Элементарные функции (144). 6. Область задания функции. Различные типы промежутков (146). 7. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции (146). 8. Понятие о функциях нескольких переменных (147).

Глава III. Производная и дифференциал .......... 149


§ 1. Производная .......... 149

1. Касательная (149). 2. Скорость (152). 3. Плотность стержня (154). 4. Определение производной (156).

§ 2. Техника дифференцирования элементарных функций .......... 160

1. Производная постоянной (160). 2. Производная независимой переменной (160). 3. Производная степенной функции (160). 4. Производные синуса и косинуса (161). 5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного (162), 6. Производные тангенса и котангенса (166). 7. Производная показательной функции (166). 8. Производная логарифма (167). 9. Правило цепочки (169). 10. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование (174), 11. Особые случаи дифференцирования, (180).

§ 3. Дифференциал .......... 182

1. Определение дифференциала (182). 2. Геометрический смысл дифференциала (184). 3. Примеры нахождения дифференциала (185). 4. Об инвариантности записи дифференциала (186). 5. Примеры применения дифференциала в приближенных подсчетах (187).

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков .......... 190

1. Производные высших порядков (190). 2. Дифференциалы высших порядков (191).

§ 5. Исследование функций .......... 191

1. Возрастание и убывание функций (191). 2. Экстремум функции (194). 3. Принцип Ферма (196). 4. Второй способ исследования стационарных точек (203). 5. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции (204). 6. Задачи конкретного характера (207). 7. Графики разрывных функций (213). 8. Острый экстремум (216).

§ 6. Основные теоремы дифференциального исчисления .......... 217

1. Теорема Ролля (217). 2. Формула конечных приращений (218). 3. Обобщенная формула конечных приращений (219). 4. Признак постоянства функции (220). 5. Раскрытие неопределенностей (221). 6. Оценка точности равенства Δy = dy (223).

§ 7. Формула Тейлора .......... 223

1. Постановка вопроса (223). 2. Формула Тейлора для многочлена (224). 3. Формула Тейлора для любой функции (225). 4. Некоторые другие формы формулы Тейлора (229).

Глава IV. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии .......... 231


§ 1. Касательная и нормаль .......... 231

1. Проведение касательной (231). 2. Нормаль (234).

§ 2. Направление вогнутости кривой .......... 235

1. Направление вогнутости (235). 2. Точки перегиба и выпрямления (237).

§ 3. Параметрическое задание кривой .......... 239

1. Подход к вопросу (239). 2. Параметрические уравнения окружности и эллипса (240). 3. Циклоида (242). 4. Эвольвента окружности (244). 5. Параметрическое дифференцирование (245).

§ 4. Кривизна .......... 248

1. Средняя и истинная кривизна (248). 2. Формула для вычисления кривизны (249). 3. Случай параметрического задания (252). 4. Случай полярных координат (253). 5. Окружность, центр и радиус кривизны (254). 6. Понятие об эволютах и эвольвентах (256). 1 7. Координаты центра кривизны (257). 8. Железнодорожные закругления (259).

Глава V. Неопределенный интеграл .......... 261


§ 1. Общие приемы интегрирования .......... 261

1. Первообразная (261). 2. Произвольная постоянная. Неопределенный интеграл (262). 3. Таблица основных интегралов (264). 4. Интегрирование суммы и вынесение постоянного множителя (266). 5. Способ подстановки (268). 6. Линейные подстановки (271). 7. Интегрирование по частям (272). 8. Приведение интеграла к самому себе (278). 9. Интегралы, не выражающиеся элементарно (280).

§ 2. Интегрирование рациональных функций .......... 283

1. Постановка вопроса (283). 2. Некоторые сведения об алгебраических многочленах (283). 3. Разложение рациональных дробей на простые (286). 4. Интегрирование рациональных дробей (289).

§ 2. Прямая линия .......... 446

1. Канонические уравнения прямой (446). 2. Уравнения прямой проходящей через две заданные точки (447). 3. Задание прямой двумя плоскостями (447). 4. Параметрические уравнения прямой (448). 5. Угловые соотношения между прямыми (449). 6. Угловые соотношения между прямой и плоскостью (452). 7. Расстояние от точки до плоскости и до прямой (453).

§ 3. Поверхности 2-го порядка .......... 457

1. Цилиндрические поверхности (457). 2. Уравнение поверхности вращения (458). 3. Сжатие и растяжение поверхностей (459). 4. Эллипсоид (460). 5. Однополостный гиперболоид (462). 6. Двухполостный гиперболоид (484). 7. Конус (464). 8. Эллиптический параболоид (465). 9. Гиперболический параболоид (465).

§ 4. Преобразование координат .......... 468

1. Постановка вопроса. Параллельный перенос системы (468). 2. Поворот системы (469). 3. Общий случай преобразования координат (470). 4. Примеры (470).

Глава X. Функции нескольких переменных .......... 472


§ 1. Производные функции нескольких переменных .......... 472

1. Основные понятия (472). 2. Непрерывность (474). 3. Частные производные (475). 4. Формула полного приращения (477). 5. Дифференцирование сложных функций (478). 6. Дифференцирование неявной функции (480). 7. Касательная к пространственной линии и касательная плоскость к поверхности (482). 8. Производные высших порядков (483).

§ 2. Экстремальные значения функции нескольких переменных .......... 485

1. Определение экстремума. Необходимые условия экстремума (485). 2. Правило исследования стационарной точки (487). 3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции (488). 4. Примеры конкретного характера (490). 5. Расстояние между двумя прямыми в пространстве (492).

§ 3 Полный дифференциал .......... 494

1. Определение дифференциала (494). 2. Применение дифференциала в теории ошибок (436). 3. Интегрирование полных дифференциалов (497).

Глава XI. Дифференциальные уравнения .......... 501


§ 1. Уравнения 1-го порядка .......... 501

1. Основные определения (501). 2. Начальное условие (502). 3. Уравнения с отделенными переменными. Общий интеграл (503). 4. Уравнения с отделяющимися переменными (505). 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка (506). 6. Обобщенное линейное уравнение (уравнение Я. Бернулли) (511). 7. Однородные функции и однородное дифференциальное уравнение (511). 8. Уравнения в полных дифференциалах (515). 9. Геометрический смысл дифференциального уравнения и связанных с ним понятий (516). 10. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера—Коши (519). 11. Некоторые применения дифференциальных уравнений 1-го порядка (524).

§ 2. Уравнения высших порядков .......... 530

1. Простейшие дифференциальные уравнения высшего порядка (530). 2. Начальные условия (532). 3. Некоторые случаи понижения порядка дифференциального уравнения (533).

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков .......... 538

1. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка (530). 2. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения (537). 3. Характеристическое уравнение (539). 4. Случай равных корней характеристического уравнения (542). 5. Формулы Эйлера (545). 6. Случай мнимых корней характеристического уравнения (551). 7. Уравнение Эйлера (552). 8. Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (554). 9. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения для некоторых видов свободного члена (555). 10. Метод вариации произвольных постоянных (565).

§ 4. Элементы теории колебаний .......... 568

1. Гармонические колебания (568). 2. Свободные колебания материальной точки (569). 3. Вынужденные колебания точки. Резонанс (571). 4. Учет сопротивления среды. Затухающие колебания (572).

§ 5. Понятие о системах дифференциальных уравнений .......... 574

1. Нормальные системы дифференциальных уравнений (574). 2. Канонические системы (579).

Глава XII. Двойные, тройные и криволинейные интегралы .......... 581


§ 1. Двойной интеграл .......... 581

1. Задача о массе пластинки (581). 2. Определение двойного интеграла. Его механический и геометрический смысл (582).3. Вычисление двойного интеграла (585). 5. Механические приложения двойных интегралов (591). 6. Геометрические приложения двойных интегралов (592). 7. Площадь в криволинейных координатах (594). 8. Замена переменных в двойном интеграле (599). 9. Интеграл Эйлера (605).

§ 2. Тройной интеграл .......... 607

1. Определение тройного интеграла. Его механический смысл (607). 2. Вычисление тройного интеграла (608). 3. Механические приложения тройных интегралов (611). 4. Замена переменных в тройных интегралах (613).

§ 3. Криволинейные интегралы .......... 617

1. Криволинейный интеграл первого рода (617). 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода по плоской кривой (618). 3. Случай пространственной кривой (619). 4. Применения криволинейного интеграла первого рода (619). 5. Криволинейный интеграл второго рода (621). 6. Вычисление интеграла второго рода (622). 7. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода (623). 8. Выражение работы интегралом второго рода (623). 9. Работа силового поля (623). 10. Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала (625).

Глава XIII. Бесконечные ряды .......... 628


§ 1. Ряд Тейлора .......... 626

1. Разложение функции в ряд (626). 2. Терминология (630). 3. Теорема разложения (634). 4. Формула Эйлера (639). 5. Степенные ряды (640). 6. Разложение логарифма (643). 7. Разложение арктангенса (646). 8. Биномиальный ряд (647), 9. Приложение рядов к вычислению интегралов (649). 10. Приложение рядов к решению дифференциальных уравнений (651). 11. Упражнения (658).

§ 2. Дальнейшие сведения из теория рядов .......... 659

1. Основные свойства рядов (659). 2. Положительные ряды. Признаки сравнения (661). 3. Признак Даламбера (665). 4. Интегральный признак сходимости (689). 5. Знакочередующиеся ряды (671). 6. Абсолютная сходимость. Общий признак Даламбера (673). 7. Применение общего признака Даламбера к степенным рядам (676).

§ 3. Ряды Фурье .......... 678

1. Вводные замечания (678). 2. .Ортогональность тригонометрической системы (679). 3. Теорема единственности. Ряд Фурье (681). 4. Теорема разложения. Примеры (682). 5. Обобщение (686). 6. Разложение четных и нечетных функций (688). 7. Разложение функции, заданной на части промежутка [—в, я] (690). 8. Сдвиг основного промежутка (694). 9. Растяжение основного промежутка (696). 10. Задача о колебании струны (697). 11. Распространение тепла в стержне (703).

Добавление I. Гиперболические функции .......... 710

1. Определения (710). 2. Аналогия с тригонометрическими функциями (711). 3. Связь тригонометрических и гиперболических функций (711). 4. Связь с гиперболой (712).

Добавление II. Приближенное решение уравнений .......... 714

1. Постановка вопроса (714). 2. Способ хорд (715). 3. Способ касательных (716). 4. Другая трактовка способа Ньютона. Решение системы уравнений (719).

Добавление III. Способ наименьших квадратов .......... 721

Похожие:

Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению \"Технические науки\" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9 iconУчебное пособие для вузов
Допущено Учебно-методическим объединением по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов...
Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению \"Технические науки\" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9 iconУчебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности 1705 «Техническое обслуживание и ремонт Автомобильного транспорта»
Учебное пособие предназначено для студентов II этапа обучения автомобилестроительных факультетов средних профессиональных учебных...
Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению \"Технические науки\" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9 iconА. П. Иванова Стилистический анализ. Региональный аспект
Допущено учебно-методическим объединением по образованию в области архитектуры в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся...
Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению \"Технические науки\" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9 iconУчебное пособие Допущено учебно-методическим объединением по образованию в области технологии и проектирования текстильных изделий в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по направлению 260700.
Допущено учебно-методическим объединением по образованию в области технологии и проектирования текстильных изделий в качестве учебного...
Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению \"Технические науки\" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9 iconБыков В. В. Технология машиностроения. Курсовое проектирование: Учебное пособие для студентов спец. 150405, 190603
Допущено умо по образованию в области лесного дела в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности...
Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению \"Технические науки\" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9 iconДопущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению и специальности «Психология» Москва умк «Психология» 2002
Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению и специальности...
Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению \"Технические науки\" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9 iconДопущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению и специальности «Психология» Москва умк «Психология» 2002
Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению и специальности...
Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению \"Технические науки\" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9 iconЛюкшинов А. Н. Л94 Стратегический менеджмент: Учебное пособие для вузов
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,...
Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению \"Технические науки\" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9 iconОрлов А. И. Теория принятия решений. Учебное пособие / А. И. Орлов
Рекомендовано Советом Учебно-методического объединения вузов России по образованию в области менеджмента в качестве учебного пособия...
Учебное пособие. 9-е изд. Допущено Научно-методическим советом Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению \"Технические науки\" (550000) isbn 978-5-8114-0123-9 iconН. А. Левина экспериментальная
Допущено Редакционно-издательским советом тту имени Г. Р. Державина в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница