Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий




НазваниеИерархия 6-ти уровней основных математических понятий
страница1/3
Дата04.02.2016
Размер22,7 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3

Университетские исследования, 2010

УДК 510; 165

ИЕРАРХИЯ 6-ТИ УРОВНЕЙ ОСНОВНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ



Чечулин Виктор Львович, chechulinvl@mail.ru

Пермский государственный университет, ММФ, КЦ,

Россия, г. Пермь, 614990, ул. им. Букирева, 15


Указаны гносеологические основания иерархии математических понятий. Последовательность 6 уровней математических понятий прослежена в истории математики, в процессе образования, в непредикативной теории множеств, а также в логике,— гносеологические основания 6 уровней обобщённости понятий во всех этих случаях одинаковы.

 Чечулин В. Л., 2010.

1. Предисловие



При обобщённом взгляде на историю математики, от древности до современности, замечаем последовательное поэтапное усложнение математических понятий, аналогичное таковому же их усложнению, происходящему при взрослении и изучении математики от счёта на пальчиках до современного её (математики) состояния. Вообще говоря, такое усложнение понятий наблюдается не только в истории математики, но и в истории других наук в связи с тем, что основания усложнения понятийной системы связаны с наличием определённых этапов, уровней самосознания личности. С гносеолого-психологической стороны эта структура уровней самоосознания, обобщения подробно описана в работах [45], [46]. В этой статье рассматривается историко-математический аспект общеисторического структурного усложнения научного знания при обобщённом взгляде на развитие науки, свойственном, скорее, не собственно математическому походу к истории математики, но более философско-математическому взгляду. Кроме того, рассматривается усложнение математических представлений при взрослении. Указывается что гносеологические основания в этих случаях одинаковы.

2. Гносеологические основания иерархии понятий



Формирование системы понятий неотъемлемо связано с наличием определённой структуры отражения действительности в сознании, причём действительности, содержащей как сам отражающий субъект, так и само отражаемое описание действительности (см. рис. 1). Всего в процесс отражения выделяемы 6 последовательных стадий, которые совпадают с уровнями обобщения понятий (что, в свою очередь, соответствует определённым уровням самоосознания — психологическим возрастам личности)1. Не акцентируя внимания на деструктивных последствиях кризисов развития, ограничиваясь рассмотрением только нормативного развития, можно сказать, что самоосознание человека проходит 6 последовательных уровней обобщения, на эти же достигнутые в самоосознании уровни обобщения накладывается и понятийный аппарат описания внешнего мира.

Причём в формировании этой структуры уровней обобщения выделяются три последовательные стадии:

а) формирование нейрофизиологических когнитивных структур, обеспечивающее в дальнейшем физиологическую возможность познания и себя, и окружающего мира, с формированием 6- уровневой нейронной структуры (см. [7]);

б) последовательное образование струк­тур самоосознания с наличием также 6-уровней отражения действительности;

в) преобразование окружающего мира, направленное на упорядочение его явлений и процессов на пользу и обеспечение не ограничиваемого во времени продолжения существования человека,— появление и усложнение техники, устройств обработки информации, научного понятийного аппарата описывающего и окружающий мир, так же содержащего 6 уровней обобщённости, сложности, понятий. (Примеры 6-уровневых систем обработки информации см. в [44], [52].)


3. Этапы появления основных понятий



1. Первое понятие, появившееся в истории математики,— понятие конкретного числа, на первом уровне, соответствующем обобщению совокупностей чувственно воспринимаемых образов, когда обобщаемые образы предметов обладают свойством численности (как то "глаза" — их обычно два, "рука" — имеет обычно пять пальцев и т. п.), и это побочное по отношению к именованию предметов свойство (численности) используется в дальнейшем для счёта других предметов.

Примеры конкретных чисел описаны в [15]: "Первым шагом к возникновению счёта было установление, как мы сейчас говорим, "взаимно однозначного соответствия" между считаемыми предметами и некоторым другим <естественным> множеством. <…> Пережиток этой системы мы встречаем в древней индийской словесной системе счисления, где единица называлась Луной…, два — близнецами, пять — чувствами… и т. д." [15, c. 9] Это этап счёта при помощи "конкретных" чисел. Представления об арифметических операциях как таковых в древности не было, употреблялся конкретный пересчёт сложенных кучек предметов для вычисления суммы и т. п.

Записи чисел, как и отвлечённого понятия об арифметической операции, на этой стадии ещё не существует, все действия выполняются непосредственным пересчётом предметов, сложенных в кучу или распределённых по кучкам. Следы этого имеются и древнеегипетской математике.

Древнеегипетская математика также не знала абстрактного определения понятия числа и арифметической операции, она оперировала теми же конкретными пересчётами, т. е. все действия в ней сводились практически к сложению: "все действия в египетской математике по существу сводятся к сложению" [25, с. 84].


2. С появлением письменности понятие конкретного числа облекается в более абстрактную форму, появляется уже отвлечённое определение понятия числа; так, у пифагорейцев (VII в. до н. э.) число представлялось состоящим из отдельных единиц (как совокупность сложенных палочек, камешков, и подобных внешних по отношению к человеку предметов для счёта.

Такое же определение числа встречается и у Евклида (II в. до н. э.) ("Начала", кн. 7, Определения):

"1. Единица есть <то>, через что каждое из существующих считается единым.

2. Число же — множество, составленное из единиц." [14, т. 2, с.9-10].

У Евклида имеется и абстрактное определение понятия арифметической операции (сложения, умножения и т. п.):

"Говорят, что число умножает число, когда столько в нём единиц, сколько раз составляется умножаемое и что-то возникает." [14, т.  2, с.10]

— а также указано на свойства этих операций (дистрибутивность, коммутативность) (там же, кн. 7):

"Если два числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающие будут равны между собой.

Пусть будет два число А, В, и пусть А, умножая В, производит С; В же, умножая А, производит D; я утверждаю, что С равно D. <далее следует доказательство этого утверждения>" [14, т. 2, с. 23–24]

Таким образом, на второй стадии развития математики появляется абстрактное понятие числа (обобщающее до степени произвольности операций с числом множество конкретных чисел2) и абстрактное определение арифметической операции (обобщающее до степени произвольности множество конкретных пересчётов чисел).

Хотя в древности и в античности и решали задачи, сводящиеся к уравнениям (в том числе и частные случаи квадратных уравнений), но абстрактного определения понятия уравнения (вида "уравнение — это…") в эти периоды (1, 2) ещё не существовало.


3. Следующим возникшим понятием является понятие переменной, неизвестной величины, появившееся как обобщение множества однотипных задач на нахождение некоторого численного решения и связанное с ним понятие уравнения.

У Диофанта (II в н. э.) определение уравнения таково [13, с. 37–38] (Арифметика, кн. 1):

"(I) Все числа, как ты знаешь, состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. Так вот среди них находятся:

квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата;

затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону;

далее квадрато-квадраты <…>;

далее квадрато-кубы <…>;

далее кубо-кубы <…>.

Из них при помощи сложения, вычитания, умножения или нахождения отношения между собой или каждого с собственной стороной составляются многочисленные арифметические задачи; решение же их получается, если ты пойдёшь путём, который будет указан дальше.

(II) <… Далее вводятся обозначения для степеней и обозначение неизвестной величины:> Не получившее никакого из этих названий <степеней>, но состоящее из неопределённого количества единиц, называется числом () и его знаком будет ."

У Диофанта уравнение — это некоторая сумма различных степеней неизвестной.

С упадком Римской империи наука преемственно развивалась в арабских странах, у Омара Хайяма (Х в. ) и у ал-Каши (XV в. н. э.) определение уравнения (при большей сложности решаемых уравнений) практически совпадает с таковым же определением у Диофанта ("Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы") [37, с. 70-71]:

"Я утверждаю, что искусство алгебры и алмукабалы есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесённые к какой-нибудь известной вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть количество или отношение, не связанное ни с чем другим. В это ты должен глубоко вникнуть. Цель этого искусства состоит в нахождении соотношений, связывающих его предмет с указанными данными. Совершенство этого искусства состоит в знании методов изучения, посредством которых можно постигнуть способ определения упомянутых неизвестных, как числовых, так и геометрических".

Если у Диофанта понятие неизвестной вводится после определения числа (из единиц) и уравнения, то у ал-Каши первым понятием становится неизвестная [17, с. 13] ("Ключ арифметики", Введение): "Арифметика — это наука о правилах нахождения числовых неизвестных величин с помощью соответствующих им известных. Предмет арифметики есть число, т. е. то, что происходит при счёте и охватывает как единицу, так и то, что состоит из единиц."

[17, с. 179–180] ("Ключ арифметики", кн. 5): "Наука алгебры и алмукабалы — это наука о правилах, по которым узнают многие числовые неизвестные по соответствующим им известным. Эти известные бывают известны или сами по себе, как числа, или условию, как корень чего-то, основание чего-то, отношение чего-то к чему-то и другое из понятий арифметики и геометрии, что видно из того, что говорит спрашивающий.

Неизвестное следует называть вещью, динаром, дирхемом, долей, частью и так далее. Обычно в большинстве случаев мы называем неизвестное вещью, если же <не>известное, называемое вещью, умножается на себя, произведение называется квадратом и вещь здесь является корнем; на квадрат — куб, на куб — квадрато-квадрат, и так далее, как мы говорили в пятой главе первой книги. Эти степени являются степенями неизвестного и являются неизвестными родами, потому что их основание есть неизвестная вещь.

Если спрашивают: неизвестная принята за вещь, а квадрат, построенный на неизвестной, за квадрат и с ним сделано то, что ясно того, что говорит спрашивающий, тогда с помощью того, что требуется арифметикой для определения этой величины, это приводится к условию, называемому уравнением."

[17, с. 191] ("Ключ арифметики", кн. 5): "Если действие приводит к уравнению, то необходимо один род или больше равны одному роду или больше. Так как роды бесконечны, задачи тоже бесконечны, бесконечны и виды задач, а в каждом виде тоже бесконечное количество задач, как например, один род равен другому или двум родам, или трём, или четырём и так до бесконечности, или два рода, или три, или четыре и так до бесконечности равны двум родам или трём родам, или четырём и так до бесконечности."

Операции с упорядоченными табличными величинами близко подводят к понятию функции, но её абстрактного определения на этом этапе развития науки ещё не существует3.


4. Понятие о функции возникло первоначально при изучении свойств внешних по отношению к человеку явлений, изучения свойств движения материальных тел, так уже у Галилея (XVI в.) имеется предварительное понятие о функциональной зависимости, привязанное, однако, к изучаемому им фрагменту физической реальности [10, с. 117]: "При наличии же такого влечения <притяжения> тело необходимо движется с непрерывным ускорением, начиная с самого медленного движения, оно достигнет некоторой степени скорости не раньше, чем пройдя все степени меньших скоростей…"

[10, с. 117]: "Прежде всего следует принять во внимание, что движение падающих тел является не равномерным, а, после выхода тел из состояния покоя, непрерывно ускоряющимся — явление, известное всем наблюдателям. <…> Пространства, пройденные движущимся телом, вышедшим из состояния покоя, находятся друг к другу в отношении времён, в течение которых пройдены эти пространства, или, иначе говоря, что пройденные пространства относятся друг к другу как квадраты времени."

Функциональная зависимость пути падающего тела от времени сформулирована при наличии неявного предположения о двух взаимосвязанно изменяющихся величинах (ме­ры пути и меры времени)4, также в [11, с. 249] (Теорема 2.).

Понятие же функции обобщает множество решений уравнения при введении в уравнение изменяемого параметра (переменной, аргумента функции).

У Декарта (XVII в.) и Ферма (XVII в.) определение функции (как взаимозависимости двух величин) уже абстрактно:

(Декарт. Геометрия, кн. 1) [12, с. 14]:

"Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва её рассматривать как уже решённую и дать названия всем линиям, которые представляются необходимыми для её построения, притом неизвестным так же, как и известным. Затем, не проводя никакого различия между этими известными и неизвестными линиями, нужно обозреть трудность, следуя тому порядку, который показывает наиболее естественным образом, как они взаимно зависят друг от друга, до тех пор, пока не будет найдено средство выразить одну и ту же величину двояким образом: это то, что называется уравнением, ибо члены, полученные одним из этих двух способов, равны членам, полученным другим".

В этом определении функции истолковывается параметризация уравнения, как связывающего две изменяющиеся величины.

У Ферма определение аналогично ("Введение в изучение плоских и телесных мест") [34, с. 137–138]:

"Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место, и конец одной из них описывает прямую или же кривую линию. Существует только одна единственная и простая прямая линия; наоборот, кривых бесконечно много: круг, парабола, гипербола, эллипс и т. д. <…>

Для установления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин".

На этом же этапе возникают понятия об операциях над функциями: дифференцирование, интегрирование, в работах тех же Декарта и Ферма, ("Из письма Декарта Дебону 20 фев. 1639 г." [12, с. 192–193]:

"…Вы определяете пространство, заключённое линией, которая ещё не дана. Я не думаю, что можно было бы найти общим образом правило, обратное моему правилу для касательных, или же тому правилу, которым пользуется господин де-Ферма, хотя в некоторых случаях его легче применить, чем моё. Но отсюда можно вывести a posteriori теоремы, распространяющиеся на все кривые, заданные уравнением, в котором одна из величин x или y не превосходит двух измерений, хотя бы другая имела их тысячу. И в поисках вашей второй кривой я нашёл их почти все, но так как я записал их лишь в черновых набросках, которые не сохранил, то послать их Вам не могу. Впрочем, имеется другой способ, более общий и a priori…"

Упоминаются у Декарта работы Ферма ("Метод отыскания наибольших и наименьших значений") [35, с. 154]:

"Всё учение о нахождении наибольших и наименьших значений основывается на том, что принимают две буквенные неизвестные (position at notis) и применяют следующее единственное правило… <далее описано нахождение экстремума функции>".

Ферма ("О касательных к кривым линиям") [36, с. 155]:

"Отыскание касательных в данных точках каких-либо кривых мы приводим к вышеизложенному методу".

"Этот метод никогда не изменяет. Напротив, он может быть распространён на многочисленные прекрасные вопросы. Действительно, с его помощью мы определили центры тяжести фигур, ограниченных кривыми линиями и прямыми, и центры тяжести тел и многое другое, о чём я, может быть, расскажу, если у меня будет досуг. <…>

Что каcается квадратуры площадей, заключённых кривыми и прямыми линиями, а также отношения порождаемых ими тел к конусам с теми же высотой и основанием, то это я уже подробно обсуждал с господином де-Робервалем" [36, с. 157].

У Ньютона нахождение производной от функции сводилось к решению некоторого уравнения с функциями при отбрасывании бесконечно малых величин [31]. Впоследствии аппарат дифференциального и интегрального исчисления совершенствуется, появляется понятие дифференциального уравнения, решением которого (при его интегрировании) является некоторая функция. Такой математический аппарат позволяет решать широкий класс прикладных задач механики (см. пример в [21]), однако абстрактно свойства решений дифференциальных уравнений (при их параметризации) на 4-м этапе ещё не исследуются — эти исследования начинаются на следующем этапе, при появлении понятия пространства решений, обобщающего некоторое параметризованное множество дифференциальных уравнений и их решений (см. следующий параграф).

Понятия функции и операции над функциями относятся к одному уровню обобщения, так же как абстрактное понятие о числе (как множестве единиц) и первоначальное понятие арифметической операции на 2-м этапе развития математики.

На этом этапе определение функции привязано к изменению значений переменных, по аналогии с первоначальным изменением переменной как изменение её координаты при движении во времени. Абстрактное определение функции как отображения (одного множества на другое, без использования связанного с представлением о времени понятии изменения переменной величины) наблюдается на следующем этапе, такое определение функции есть уже в работах Лобачевского (1 я пол. XIX в.) [24] и других математиков.


5. Совместно с появлением абстрактного определения функции возникает и определение абстрактной последовательности операций — алгоритма. Одной из первых формальное понятие об алгоритме и об исполнителе алгоритма сформулировала А. Лавлейс5 (1-я пол. XIX в.). "По определению Лейвелс, аналитическая машина представляет собой воплощение науки об операциях и сконструирована специально для выполнения действий над абстрактными числами как объектами этих операций." [1, с. 199]. Определение Лавлейс использует абстрактное представление об отображении-операции, она писала ("Примечания переводчика"):

"Под словом операция мы понимаем любой процесс, который изменяет отношение двух или более вещей, какого рода эти отношения ни были бы. Это наиболее общее определение, охватывающее все предметы во вселенной…" [1, с. 199]

Это представление аналогично далее используемому определению бинарной (n-арной) операции, или определению вывода в формальной системе.

Исследования оснований геометрии, возобновлённые при анализе систем аксиом, подтолкнули к формулировке понятия системы аксиом, а затем и формальной системы. Дискретная математика развивалась на этом этапе большей частью в рамках аксиоматизации и получении следствий из аксиом. Теоремы о свойствах формальных систем, носящих ограничительный характер, появились позже — это теоремы Гёделя о неполноте (1930 е гг.), теорема Тарского о неопределимости понятия истины средствами формальной системы (1950-е гг.). Однако эти ограничения касались в основном предикативных формальных систем6.

Рядом с этими ограничениями стоят теоремы об алгоритмической неразрешимости некоторых проблем, например теорема о неразрешимости проблемы тождества слов в полугруппах с двумя и более образующими соотношениями (Мальцев, 1940-е гг.; Адян, 1960-е гг.), интерпретируемая как невозможность построить для управления некоторой системой по начальным и граничным условиям конечный автомат7.

В теории категорий (1950-е гг.), которую прочили на роль новых (вместо теории множеств) оснований математики, также действовали ограничения предикативности (несамоссылочности) — невозможно было построить категорию всех категорий.

Оттачивание тонкостей непредикативного формализма, с одной стороны, дало теорию вычислимых функций (лямбда-исчисление, которое стало основой семантики языков программирования высокого уровня и получило широкие приложения); с другой стороны, несколько отвлекло некоторые разделы математики от реальности, погружая их в область дополнительных гипотез и искусственных предположений.


6. С третьей стороны, непредикативность, самоприменимость деятельности человека вынуждала искать формализованное выражение этого свойства действительности. Ещё в начале XX в. Пуанкаре в "Геттингенских лекциях" (доклад 5-й "О трансфинитных числах") отмечал, что "Цермело высказал возражение против отказа от непредикативных определений, ссылаясь на то, что в таком случае пришлось бы отказаться от большей части математики, например, от доказательства существования корня алгебраического уравнения. <…> Я <Пуанкаре> могу говорить на эту тему ещё несколько часов, но не в силах решить проблему" [29, с. 192–193].

Одной из первых формализаций непредикативных структур было введение русским математиком Миримановым самопринадлежащих множеств (в 1-й четв. XX в.), впоследствии эта теория, получившая приложения для описания и непредикативных явлений реальности, развита в работах советско-рос­сий­ской математической школы, типичные области приложения этих результатов — математическая экономика (содержащая и самого управляющего субъекта) и теория управления.

Ограничительные результаты предыдущего уровня (теоремы Гёделя и проч.) при использовании в доказательствах непредикативных рассуждений получаются гораздо более коротким путём.

Шестой уровень в гносеологической схеме отражения соответствует непредикативным конструкциям.

Таким образом, наиболее общая схема этапов появления новых, не сводимых к предыдущим математических понятий прослежена; некоторые ответвления от неё описаны ниже.
  1   2   3

Похожие:

Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий iconЭкономические 2-мерные модели верхних уровней управления
Ключевые слова: метод пространства состояний, иерархия уровней управления, задачи 5-6-го уровней, минимизация издержек
Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий iconЛекция №1. Введение Архитектура ЭВМ
Архитектура ЭВМ – это многоуровневая иерархия аппаратно-программных средств, из которых строится ЭВМ. Каждый из уровней допускает...
Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий iconСварка металлов термины и определения основных понятий гост 2601-84
Настоящий стандарт устанавливает применяемые о науке, технике и производстве термины и определения основных понятий в области сварки...
Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий iconКак видно из схемы, число двоичных разрядов, используемых в процессе преобразования, определяет число дискретных уровней, с помощью которых можно представлять
Линейный n-разрядный преобразователь имеет 2^n уровней и позволяет преобразовывать сигналы амплитудой до 2^n-1 уровней. Максимальная...
Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий iconУстойчивое развитие человечества учебно
Целью изучения дисциплины является формирование у студентов знаний и понятий о становлении основных предпосылок и идей устойчивого...
Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий iconЭкстремальность окружающего нас мира
Их дополняют разовые мероприятия, проводимые как в школе, так и вне школы(математические конкурсы, занятия в физико-математических...
Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий iconПсихологические особенности детей дошкольного возраста
Уточнение основных понятий и терминов, связанных с возрастными характеристиками ребенка, выявление особенностей, присущих различным...
Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий iconДубровина Лариса Анатольевна, к психолог н
На очередном витке развития психологии центром изучения вновь становятся сознательные процессы, в качестве одного из основных понятий...
Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий iconВнеклассная работа – неотъемлемая часть всего педагогического процесса
В каждом классе имеются учащиеся, которые хотели бы узнать больше того, что они обычно получают на уроке. Одних учащихся интересуют...
Иерархия 6-ти уровней основных математических понятий iconОсновы биологической продуктивности учебно
Целью изучения дисциплины является формирование у студентов знаний и понятий об основных закономерностях образования и трансформации...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница