Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А.




Скачать 16,91 Kb.
НазваниеУчебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А.
страница2/6
Дата04.02.2016
Размер16,91 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие
1   2   3   4   5   6

Требования к отчету


Отчет по лабораторной работе должен содержать:

- титульный лист, содержащий название предмета, номер и название работы, фамилии студента и преподавателя;

- цель работы;

- основные теоретические сведения о методе моделирования;

- математическую модель исследуемого процесса;

- исходные данные;

- программу моделирования;

- результаты моделирования.


Контрольные вопросы


  1. Понятие о временных методах моделирования;

  2. Формы записи интеграла Дюамеля;

  3. Выбор пределов интегрирования;

  4. Метод Эйлера вычисления интеграла;

  5. Математическая модель исследуемого звена;

  6. Математическая модель входного сигнала

  7. Правила выбора шага и времени моделирования;

  8. Структура моделирующей программы;

  9. Правила вывода графической информации;

  10. Правила фиксации машинного времени;



Лабораторная работа № 2


Исследование динамических звеньев методом дифференциальных уравнений


Цель работы:

Исследование свойств динамических звеньев второго порядка путем моделирования на основе дифференциальных уравнений.

Задачи исследований:

  1. Составить математическую модель звена в соответствии с исходными данными.

  2. Составить программу моделирования в соответствии с математической моделью.

  3. Зафиксировать основные характеристики звена.


Основные теоретические сведения


Динамическое звено описывается дифференциальным уравнением. При этом порядок дифференциального уравнения характеризует порядок звена. Вид уравнения характеризует вид звена. Линейные динамические звенья описываются линейными дифференциальными уравнениями, нелинейные - нелинейными.





В лабораторной работе предлагается исследовать линейное динамическое звено второго порядка в виде колебательного контура (для первой подгруппы) и нелинейное звено второго порядка в виде генератора с самовозбуждением (для второй подгруппы).

Типичным представителем динамического звена второго порядка в радиотехнике является колебательный контур, представленный математической моделью в соответствии со схемой рис.2.1.

Здесь y – фазовая переменная, соответствующая контурному току;

Динамическое звено второго порядка может быть колебательным или апериодическим в зависимости от коэффициента затухания = R/(2L)=RC/2. При <1 звено является колебательным, при >1 – апериодическим. Таким образом, существует критическое значение R, соответствующее переходу из колебательного режима в апериодический

Rкр = 2/(C) = 2L = , где = 1/ (2.1)

Для решения уравнения численным методом его необходимо представить в правильной форме Коши, то есть разделить на два уравнения первого порядка, имеющие производные только в левой части.

Таким образом, модель колебательного конура можно выразить системой дифференциальных уравнений:



y1 выходная переменная, соответствующая фазовой переменной y исходного уравнения;

y2вспомогательная переменная.

Генератор с самовозбуждением с точки зрения математического описания представляет собой динамическое звено второго порядка с отрицательным коэффициентом затухания, образуемым за счет действия положительной обратной связи.

Рассмотрим моделирование генератора методом несущей на уровне принципиальной схемы рис.2.2.




Активным элементом здесь служит транзистор VT1, характеризующийся коэффициентом передачи тока . Выходной сигнал формируется в коллекторном контуре L, C. Положительная обратная связь осуществляется посредством взаимной индуктивности М. Резистор RК служит для ограничения тока коллектора. Резисторы R1, R2 задают режим транзистора по постоянному току. В коллекторную цепь включим генератор шумового тока Iш, имеющий принципиальное значение для запуска генератора. Е - напряжение источника питания.

Составим уравнения, описывающие работу генератора, исходя из равенства суммы токов в коллекторной цепи:

ic + iL = ik + iш;

где ic - ток через емкость С;

iL - ток через индуктивность L;

ik - коллекторный ток без учета шума;

iш - шумовой ток.

Учитывая, что uc = LdiL /dt + iL r, получим

ic = Cduc/dt = CLd2iL /dt2 + CrdiL/dt;

где C, L, r - номиналы элементов выходного контура .

ik = iб;

Базовый ток выразим через нелинейную функцию G(uб):

iб = G(Eб + MdiL /dt), где Еб - смещение базы.

Eб = ER1/(R1 + R2).

Функцию G(u) выразим в соответствии с моделью Эберса-Молла

G(u) = I0(exp(u/(mt))-1), где u = Eб + MdiL /dt;

Здесь

I0тепловой ток;

tтемпературный потенциал;

m – эмпирический коэффициент.

Шумовой ток iш представим в виде равномерно распределенного белого шума  с СКО, соответствующим справочным данным транзистора.

Тогда получим уравнение

CLd2 iL /dt2 +CrdiL /dt + iL - G(Eб + MdiL /dt) -  = 0;

или .

- функция, имеющая математический смысл отрицательного вносимого сопротивления в результате действия положительной обратной связи, в результате действия которого под воздействием внешнего сигнала происходит нарастание колебаний контура. В физическом смысле это значение коллекторного тока транзистора. Внешним сигналом в данном случае является шумовой ток iш. Разложим данное уравнение на два уравнения первого порядка и представим их в правильной форме Коши

;

где .

Для формирования установившегося режима работы ограничим ток коллектора iк < =E/R1.

Рекомендуются общие исходные данные:

Сопротивление R1=100 Ом;

Сопротивление R2= 10 кОм;

Сопротивление Rк=120 Ом;

Сопротивление контура r=0,1 Ом;

Напряжение Е=12 В.

Параметры модели перехода база-эмиттер транзистора:

Тепловой ток I0=10-4 A;

Температурный потенциал t=0,025 В;

Эмпирический коэффициент m=10.

Остальные исходные данные (L, C, M) выбираются в соответствии с табл. 2.1.

Вывод результатов осуществляется в графическом режиме.

Считывание результатов осуществляется с помощью меток, наносимых на экран в процессе моделирования.


Методические рекомендации


Задача численного решения дифференциальных уравнений состоит в нахождении приближенного решения в виде



где - вектор производных;

y- вектор вычисляемых функций;

t - независимая переменная.

В общем случае дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Единственность решения достигается введением дополнительных условий. Будем рассматривать задачу Коши, при которой дополнительными условиями являются начальные значения искомых функций.

Для решения уравнений должен быть задан диапазон изменения независимой переменной t [t0, tmax] и начальные условия

y(t0) = y0 = (y01, y02, y03, ..., y0n)T.

Таким образом, решение каждого дифференциального уравнения системы будет



Уравнения необходимо привести к правильной форме Коши. Это означает, что все уравнения должны быть первого порядка, причем в левой части должна стоять производная, а в правой - все остальные члены.

Если имеется уравнение высокого порядка, его надо привести к системе уравнений первого порядка.

Наиболее распространены конечно-разностные методы решения систем дифференциальных уравнений. При этом задача вычисления интеграла сводится к вычислению интеграла на каждом шаге

,

Для ее решения необходимо заменить интеграл функцией, в соответствии с выбранным методом.

В данной работе система дифференциальных уравнений решается методом Рунге-Кутта 4 порядка.

Метод Рунге-Кутта 4 порядка позволяет производить вычисления с ошибкой пятого порядка малости. Это oдин из наиболее часто встречающихся на практике методов. Вычисления функции на каждом шаге проводится в 4 этапа. Значение функции вычисляется по рекуррентной формуле

yn+1= yn+ (k1+ 2k2+ 2k3+ k4)/6;

где k1= h f(tn, yn);

k2= h f(yn+ 0,5k1) ;

k3= h f( yn+ 0,5k2) ;

k4= h f(yn+ k3) .

Таким образом, на каждом шаге интегрирования вычисляются четыре коэффициента К1…К4 для каждого уравнения, из которых формируется итоговое значение функции.

Графическая интерпретация метода представлена на рис. 2.3.


Метод реализуется с помощью универсальной процедуры RK4, инвариантной к количеству уравнений и их виду. Такая процедура может обслуживать несколько систем уравнений, решаемых в модели.

procedure RK4(n:integer; ier:boolean; h:real; fct:proc1; out:proc2; var y, dy:vec);

var c:vec; k:matr; i, j:integer;

begin {RK4}

repeat

c:=y;

for i:=1 to 4 do begin

FCT(n, y, dy);

for j:=1 to n do begin

k[i, j]:=dy[j]*h;

case i of

3: y[j]: = c[j]+ k[i, j];

4: y[j]: = c[j]+ (k[1, j]+2*k[2, j]+2*k[3, j]+k[4, j])/6

else y[j]:= c[j]+ 0.5*k[i, j];

end; end; end;

OUT(n,h,y,dy,ier);

until ier;

end;

Здесь

n - количество уравнений;

ier - ключ выхода из интегрирования;

h - шаг интегрирования;

fct, out - процедуры-параметры;

y - массив искомых величин;

dy - массив производных.

Для привязки процедуры к конкретной системе вводится вспомогательная процедура fct, описывающая ту или иную систему дифференциальных уравнений. Вторая вспомогательная процедура out предназначена для вывода результатов вычислений и определения окончания счета.

Рассмотрим формирование программы на примере метода Рунге-Кутта. Структура программы представлена на рис.2.4.

RK4 - процедура метода Рунге-Кутта четвертого порядка;

FCT - процедура вычисления правых частей уравнений;

OUT - процедура завершения счета и вывода результатов.

Процедура rk4 вызывается из главного модуля и берет на себя управление процессом вычислений от его начала до завершения. Интегрирование ведется по времени от t=0 до t=tm. Признаком окончания счета является переменная ier логического типа, вырабатываемая в процедуре out при достижении заданного времени моделирования.





Процедуры fct, out вызываются процедурой rk4. При этом они входят в нее в качестве формальных параметров, поэтому данные процедуры типизируются типами соответственно proc1, proc2. В их описание добавляется приставка far, дающая директиву компилятору на включение данных процедур в качестве формальных параметров. Данный прием использован для того, чтобы создать универсальность процедуры интегрирования и сделать ее независимой от фактических имен вспомогательных процедур. Примеры вспомогательных процедур приведены ниже.

Пример процедуры fct для исследования колебательного контура:

procedure FCT(n:integer; var y,dy:vec); far;

begin {fct}

dy[1]:=y[2];

dy[2]:=-(r*c*y[2]+y[1]-x)/L/c;

end;{fct}

Пример процедуры fct для исследования генератора:

procedure FCT(n:integer; var y,dy:vec); far;

begin {fct}

dy[1]:=y[2];

dy[2]:=-(ksi+y[1]+r*c*y[2]-g(y[2]))/l/c;

end;{fct}

При моделировании генератора следует ввести процедуру-функцию, моделирующую коллекторный ток транзистора

function g(x:real):real;

var u,a:real;

begin

u:=eb+m*x;

a:=bt*i0*exp(u/(md*fit)-1);

if a>inas then a:=inas;

g:=a;

end;

Пример процедуры OUT для колебательного контура

procedure OUT(n:integer;dt:real; var y,dif:vec; var ier:boolean); far;

var ak:real;

begin {OUT}

t:=t+dt;ak:=0.01;

x:=0;

if t>tm then ier:=true;

x:=10+round(620/tm*t);

z:=240-round(ak*y[1]);

lineto(x,z);

end; {out}

Пример процедуры OUT для генератора

procedure OUT(n:integer;dt:real; var y,dy:vec; var ier:boolean); far;

var

x,z:integer;ak:real;

begin {OUT}

t:=t+dt; ak:=100;

ksi:=ish*(random-0.5);

if t>tm then ier:=true;

x:=10+round(620/tm*t);

z:=240-round(ak*y[1]);

lineto(x,z); end; {out}

Необходимо также типизировать массивы, передаваемые из процедуры в процедуру. Для работы процедуры rk4 должны быть введены обязательные имена массивов vec, matr. Массивы типа vec предназначены для хранения переменных y и их производных dy. Массив типа matr предназначен для хранения коэффициентов k метода Рунге-Кутта для каждого уравнения. Следует отметить, что в главном модуле имена всех передаваемых параметров могут быть произвольными, в том числе и имена процедур –параметров fct, out. Важно, чтобы данные процедуры были типизированы соответственно как proc1, proc2, а переменные y, dy были заданы типом vec. (vec - массив вещественных чисел размерностью n). Кроме того, в главном модуле должен быть задан двумерный массив вещественных чисел размерностью [4,n], типизированный как matr.

Типизация производится в разделе описаний программы. Описание типов должно быть следующее:

Type

vec=array[1..2] of real;

matr=array[1..4,1..2] of real;

proc1=procedure(n:integer;var y,dy:vec);

proc2=procedure(n:integer;dt:real;var y,dy:vec;var ier:boolean);

Для определения временных характеристик процесса расставляются временные метки ti. Период меток должен выбираться таким, чтобы было удобно производить подсчет в пределах периода колебаний. Желательно, чтобы в периоде колебаний умещалось 2-3 метки, кратные tm/10. Между метками ti расставляются децимальные метки меньшего размера. Расстановка меток осуществляется до или после завершения цикла, например, после выхода из процедуры RK4. Расстановка меток демонстрируется фрагментом:

for i:=0 to 10 do begin

x:=10+i*round(620/tm*ti);

line(x,(240-10),x,(240+10));

for j:=1 to 9 do begin

line(x+round(620/tm*ti*0.1*j),(240-5), x+round(620/tm*ti*0.1*j),(240+5));end;

end;

При значительном изменении периода и амплитуды колебаний следует изменять величины tm и ak для удобства измерений.

Важным моментом при проведении вычислений является выбор шага интегрирования dt и времени моделирования tm. Шаг интегрирования должен быть на порядок меньше периода собственных колебаний исследуемого устройства.

Время моделирования должно быть таким, чтобы на экране отразилась картина, дающая представление о работе устройства. Для исследования колебательного контура (1 подгруппа) этот параметр должен выбираться из условия обзора полного затухания колебаний. Для исследования генератора время моделирования должно выбираться из условия наблюдения выхода генератора на установившийся режим работы.

1   2   3   4   5   6

Похожие:

Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconРоссийской Федерации Московский Авиационный Институт (государственный технический университет) Г. А. Звонарева, А. В. Корнеенкова
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям, связанным с разработкой и применением вычислительных...
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconМосковский авиационный институт (государственный технический университет)
Перечень подлежащих разработке в дипломном проекте вопросов или краткое содержание дипломной работы
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconСистематический курс учебное пособие Часть II. Социальная философия Кемерово 2008 удк 101 (075)
В. И. Красиков, доктор философских наук, профессор (Кемеровский государственный университет)
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconА. В. Репин Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа
Уфимский государственный авиационный технический университет в лице информационно-технического центра "Компьютеры и телекоммуникации"...
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconМедицинская социология учебное пособие Сумы Сумский государственный университет 2013 удк 316(075. 8)
Пирен М. И. доктор социологических наук, професор института психологии им. Г. С. Костюка апн украины
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconПсихолого-педагогических научных исследований учебное пособие Павлодар удк 37: 001. 89 (075. 8)
Учебное пособие предназначено для учащихся колледжей, студентов педагогических специальностей вузов, магистрантов, аспирантов, соискателей...
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconМосковский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Тема ( …ч, срс … ч)
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconУчебно-методическое пособие Красноярск сфу 2012 удк 504. 004. 4 (07) ббк 28. 0я73
Экологическая информатика: учебно-методическое пособие [Текст] / сост. М. А. Субботин. – Красноярск: Сиб федер ун-т, 2012. – 9 с
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconУчебно-методическое пособие по выполнению и защите дипломной работы для студентов специальности 030501 «Юриспруденция»
Учебно-методическое пособие по выполнению и защите дипломной работы для студентов специальности 030501 «Юриспруденция». Иркутск:...
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconСаратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А. Магистерская программа
Магистерская программа «Промышленная экология» (со специализацией для Волго-Каспийского региона). Описание курсов, учебный план:...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница