Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А.




Скачать 16,91 Kb.
НазваниеУчебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А.
страница4/6
Дата04.02.2016
Размер16,91 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие
1   2   3   4   5   6

Тогда передаточная функция формирующего фильтра будет

(4.2)

Составим из данной передаточной функции операторное уравнение


(4.3)

Перейдем от операторного уравнения к дифференциальному

(4.4)

Здесь - Гауссовский белый шум единичной спектральной плотности с характеристиками: М=0,

Решением дифференциального уравнения является искомый случайный процесс. Используя нормированный белый шум, получим

(4.5)

Здесь 0 – нормированный белый шум (М=0, =1).

Представив уравнение в правильной форме Коши и применив метод Эйлера, получим рекуррентную формулу

. (4.6)

Для оценки статистических характеристик вычисляются выборочное среднее

, (4.7)

выборочная дисперсия

, (4.8)

оценочное значение корреляционной функции

. (4.9)

Здесь N – объем выборки;

mаргумент корреляционной функции (отставание значений случайного процесса, выраженное в количестве шагов).

При переходе от непрерывного временного аргумента к дискретному аргументу m следует иметь в виду, что = mt.

Интервал корреляции случайного процесса (т.е. значение , при котором корреляционная функция обращается в ноль) составляет к 3/. Таким образом, при вычислении корреляционной функции следует выбирать аргумент m в пределах (0…3/(t)).

Закон распределения случайной величины оценивается в соответствии с критерием Пирсона 2 (критерий хи-квадрат).

Первоначально выдвигается гипотеза о форме закона распределения и подбирается аналитическая кривая, описывающая этот закон (будем называть его теоретическим). Затем осуществляется проверка гипотезы с помощью критерия Пирсона. Методика оценки следующая:

1). Выбирается гипотеза о форме эмпирического распределения.

2). Область распределения случайной величины разбивается на k интервалов.

3). Рассчитывается количество (частота) попаданий величины х в заданный интервал mi = [1,k].

4). Рассчитывается вероятность попадания теоретического закона в i-й интервал.



5). Рассчитывается мера расхождения между эмпирическими частотами и теоретической вероятностью



n - объем выборки;

6). По таблицам распределения Пирсона определяется степень достоверности принятой гипотезы . Если степень достоверности выше заданной, то гипотеза о выбранном законе распределения принимается, если меньше – отвергается. В случае отвержения гипотезы выбирается другой закон распределения.

Вероятность попадания случайной величины x в i-й интервал определяется через функцию распределения величины x на границах интервала

Pi=F(xi+1)-F(xi).

Для нормального закона распределения вероятность определяется через интеграл вероятностей

.

С математической точки зрения величина 2 является квантилем распределения Пирсона порядка =1- , т.е. функция распределения F(2, )=.

Здесь F(2, ) – функция распределения Пирсона. Данная функция представляет собой двухпараметрический закон распределения, где = К-1 – число степеней свободы критерия.


Методические рекомендации


В процессе выполнения работы моделируется случайный процесс по заданной характеристике (для первой подгруппы – по заданной корреляционной функции, для второй – по заданной спектральной плотности). Исходные данные для моделирования определяются табл. 4.1, в которой задаются дисперсия D и параметр .

Для проведения моделирования следует выбрать шаг моделирования dt и время моделирования tm. Шаг моделирования должен быть на порядок меньше величины (1/), т.е dt1/(10). Время моделирования выбирается из условия генерации по крайней мере 104 значений случайного процесса. Таким образом, tm=104 dt.

Для моделирования случайного процесса следует сформировать Гауссовскую последовательность случайных чисел с помощью процедуры gaus.

Procedure gaus(m,si:real;var g:real);

var i:integer;

begin

g:= 0;

for i=1 to 12 do g:=g+random;

g:=(g-6)*si+m;

end;

Для вычисления статистических характеристик на каждом шаге интегрирования накапливаются частичные суммы S1, S2, S3, S4, а также подсчитывается количество циклов N, которое будет равно объему выборки.

В частичной сумме S1 накапливаются текущие значения случайного процесса;

В частичной сумме S2 накапливаются квадраты текущих значений случайного процесса, необходимые для вычисления дисперсии.

Для вычисления корреляционной функции (для первой подгруппы) следует организовать буферный массив к, в который будут записываться задержанные значения случайной величины. Для заполнения массива необходимо на каждом шаге моделирования осуществлять его «прокрутку», т.е. сдвиг всех значений на один шаг вправо, а нулевому элементу присваивать текущее значение случайной величины. Тогда номер элемента массива будет соответствовать задержке относительно текущего значения. Размер массива bm определяется соотношением длительности корреляционной функции и шага моделирования bm:=round(tr/dt); где tr=3/ - длительность корреляционной функции.

Выберем количество точек для построения корреляционной функции к=10. Тогда частичные суммы S3, S4 являются одномерными массивами размерностью 10, в которых накапливаются соответственно сдвинутые на определенное количество шагов значения случайного процесса (S3) и произведения текущего значения на сдвинутое (S4). С помощью частичных сумм S3, S4 после завершения цикла вычисляется корреляционная функция случайного процесса по формуле

re[i]:=(s4[i]-s1*s3[i]/(n-m[i]))/(n-m[i]-1)

Тогда задержанное на m[i] шагов значение случайной величины будет храниться в элементе массива k[m[i]], где m[i]=i*dm, где i=1…k – номер расчетной точки. Величина dm характеризует шаг вычисления эмпирической корреляционной функции и определяется целочисленным делением длительности корреляционной функции в шагах на количество исследуемых точек dm:=bm div 10. Следовательно, частичные суммы S3, S4 будут накапливаться следующим образом:

For i:= 1 to 10 do begin

q:=i*r div 10;

S3[i]:=S3[i]+y;

S4[i]:=S4[i]+y*k[m[i]];

end;

Ниже приведен фрагмент главного модуля программы для моделирования случайного процесса по заданной корреляционной функции и вычисления статистических характеристик (для первой подгруппы).

y:=0;t:=0;

s1:=0; s2:=0;

tr:=3/al;

bm:=round(tr/dt);

dm:=bm div 10;

for i:=0 to 10 do begin s3[i]:=0; s4[i]:=0;

tau[i]:=i*tr/10;m[i]:=i*dm end;

for i:=0 to bm do k[i]:=0;

repeat

gaus(0,1,g);

y:=a*y+b*g;

t:=t+dt; n:=n+1;

for i:=bm downto 1 do k[i]:=k[i-1];

k[0]:=y;

x:=10+round(620/tm*t); z:=50-round(10/sqrt(d)*y);

lineto(x,z);

s1:=s1+y;

s2:=s2+y*y;

for i:=0 to 10 do begin

s3[i]:=s3[i]+k[m[i]]; s4[i]:=s4[i]+y*k[m[i]]; end;

until t>tm;

mop:=s1/n; dp:=(s2-s1*s1/n)/(n-1);

writeln('mo= ',mop,' d= ',dp);

moveto(10,470);

for i:=0 to 10 do begin

r[i]:=d*exp(-al*tau[i]);

re[i]:=(s4[i]-s1*s3[i]/(n-m[i]))/(n-m[i]-1);

x:=10+round(620/tau[10]*tau[i]);

z:=470-round(200/d*r[i]);

lineto(x,z) end;

setlinestyle(3,0,1);moveto(10,470);

for i:=0 to 10 do begin

x:=10+round(620/bm*m[i]);

z:=470-round(200/d*re[i]);

lineto(x,z); end;

readln

Для оценки закона распределения случайного процесса (для второй подгруппы) целесообразно ввести вспомогательные процедуры: для построения гистограммы (процедура graphics), вычисления интеграла вероятностей (процедура erf) и оценки достоверности гипотезы (процедура xi2), функция вычисления кривой Гаусса (функция gt).

Procedure GRAPHICS(k:integer;l:vec1;m:vec2);

const ln:integer=470;

var

i,dx,x,y,x2:integer;

ay,d,g:real;

BEGIN {GRAPHICS}

dx:=600 div k;

ay:=400/m[k div 2];

x2:=k div 2;

line(0,ln,640,ln);

for i:=0 to k-1 do begin

x:=310-dx*(x2-i);

y:=ln-round(ay*m[i+1]);

line(x,ln,x,y);line(x,y,x+dx,y);

line(x+dx,y,x+dx,ln);

end;

ay:=400*si*sqrt(2*pi);

x:=310-dx*x2;y:=ln-round(ay*gt(l[0]));

moveto(x,y);

for i:= 1 to k do begin

x:=310-dx*(x2-i);y:=ln-round(ay*gt(l[i]));

lineto(x,y);

end;

END; {GRAPHICS}

Здесь к – число интервалов разбиения интервала изменения случайной величины; l – границы интервалов; m – количество (частота) попадания случайной величины в каждый интервал. Величины l и m являются одномерными массивами размерностью к. В разделе описаний главного модуля их следует определить

type

vec1=array[0..20] of real;

vec2=array[1..20] of integer;

var

l:vec1;

m:vec2;

Процедура вычисления интеграла вероятностей:

Procedure erf(mo,si,x:real;var p:real);

var

r,s,w,xk:real;

k,nk:integer;

const eps:real=1e-6;

begin

x:=(x-mo)/si/sqrt(2);

r:=1; s:=x; nk:=0;

repeat

nk:=nk+1; k:=2*nk+1; r:=-r/nk; w:=s;

if x>0 then xk:=exp(k*ln(x)) else if x=0 then xk:=0

else xk:=-exp(k*ln(-x));

s:=s+xk*r/k;

until abs(w-s)

p:=0.5+s/sqrt(pi);

end {erf};

Здесь х – текущее значение границы интервала, в которой определяется функция; mo,si мат. ожидание и СКО случайной величины, определяемые заданием. Величина mo=0 для всех вариантов.

Процедура оценки достоверности гипотезы может быть представлена в следующем виде

procedure xi2(x:real;v:integer;var q:real);

var a,b,g,s,w,z,f:real;

i,k:integer;

const eps:real=1e-3;

begin

a:=v/2;

if v=1 then g:=sqrt(pi) else if odd(v) then begin

g:=sqrt(pi)*0.5;if v>3 then for i:=1 to trunc(a)-1 do g:=g*(a-i) end

else begin g:=1;if v>4 then for i:=1 to trunc(a)-1 do g:=g*(a-i) end;

if x<>0 then f:=exp((a-1)*ln(x))/exp(a*ln(2))/g/exp(x/2) else f:=0;

s:=1;k:=1;z:=1;

repeat

w:=s;

z:=z*x/(v+2*k);

s:=s+z;

k:=k+1;

until abs(s-w)

q:=1-2*x*f*s/v;

end;

Здесь х – значение вычисленного параметра xi; v = k-1 – количество степеней свободы критерия; q – значение достоверности.

Функция вычисления кривой Гаусса

function gt(x:real):real;

begin

gt:=exp(-sqr(x-mo)/2/si/si)/si/sqrt(2*pi);

end;

Ниже приведен главный модуль программы (для второй подгруппы).

BEGIN

driver:=detect;

initgraph(driver,mode,' ');

line(10,10,10,100); line(10,50,630,50);

moveto(10,50);

y:=0;t:=0;

s1:=0; s2:=0;

a:=sqrt(2*d*al/dt);

si:=sqrt(d);

for i:=1 to k do m[i]:=0;

for i:=0 to k do l[i]:=-6*sqrt(d)/k*(k/2-i);

repeat

gaus(0,1,ksi);

y:=y+dt*(ksi*a-al*y);

t:=t+dt; x:=10+round(620/tm*t);

z:=50-round(10/sqrt(d)*y);

lineto(x,z);

n:=n+1;

s1:=s1+y;

s2:=s2+y*y;

for i:=1 to k do if(y>l[i-1])and(y<=l[i]) then m[i]:=m[i]+1;

until t>tm;

mop:=s1/n; dp:=(s2-s1*s1/n)/(n-1);

GRAPHICS(k,l,m);

xi:=0;

for i:= 1 to k do begin

erf(mo,si,l[i-1],f1);

erf(mo,si,l[i],f2);

p:=f2-f1;

xi:=xi+sqr(m[i]-n*p)/n/p;

end;

v:=k-1;

xi2(xi,v,q);

writeln('mo= ',mop:6:4,' d= ',dp:6:2,' xi2=',xi:6:2,' q=',q:6:2);

readln

END.


Порядок выполнения работы


  1. По заданным исходным данным рассчитать шаг и время моделирования.

  2. Составить моделирующую программу в соответствии с заданием.

  3. Вычислить заданные характеристики случайных процессов (мат.ожидание и дисперсию – для всех; корреляционную функцию – для первой подгруппы; оценку закона распределения – для второй подгруппы);

  4. Составить отчет о выполненной работе.

Исходные данные принять в соответствии с табл. 4.1.

Табл. 4.1.



1

2

3

4

5

6

7

8

D

1

1.44

22,5

4

6,25

9

12,25

16



100

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500






9

10

11

12

13

14

15

D

20,25

25

1

1.44

22,5

4

6,25



4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000






16

17

18

19

20

D

9

12,25

16

20,25

25



7500

8000

8500

9000

10000


Требования к отчету


Отчет по лабораторной работе должен содержать:

- титульный лист, содержащий название предмета, номер и название работы, фамилии студента и преподавателя;

- цель работы;

- основные теоретические сведения о методе моделирования;

- математическую модель исследуемого процесса;

- исходные данные;

- программу моделирования;

- результаты моделирования.


Контрольные вопросы


1. Моделирование Гауссовского белого шума;

2. Моделирование случайного процесса по заданной корреляционной функции;

3. Моделирование случайного процесса по заданной спектральной плотности;

4. Выбор шага и времени моделирования;

5. Вычисление математического ожидания и дисперсии случайного процесса;

6. Вычисление корреляционной функции случайного процесса;

7. Оценка закона распределения случайной величины. Критерий Пирсона;

8. Определение вероятности попадания Гауссовской случайной величины в заданный интервал;

9. Нормальное распределение и его характеристики.


1   2   3   4   5   6

Похожие:

Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconРоссийской Федерации Московский Авиационный Институт (государственный технический университет) Г. А. Звонарева, А. В. Корнеенкова
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям, связанным с разработкой и применением вычислительных...
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconМосковский авиационный институт (государственный технический университет)
Перечень подлежащих разработке в дипломном проекте вопросов или краткое содержание дипломной работы
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconСистематический курс учебное пособие Часть II. Социальная философия Кемерово 2008 удк 101 (075)
В. И. Красиков, доктор философских наук, профессор (Кемеровский государственный университет)
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconА. В. Репин Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа
Уфимский государственный авиационный технический университет в лице информационно-технического центра "Компьютеры и телекоммуникации"...
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconМедицинская социология учебное пособие Сумы Сумский государственный университет 2013 удк 316(075. 8)
Пирен М. И. доктор социологических наук, професор института психологии им. Г. С. Костюка апн украины
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconПсихолого-педагогических научных исследований учебное пособие Павлодар удк 37: 001. 89 (075. 8)
Учебное пособие предназначено для учащихся колледжей, студентов педагогических специальностей вузов, магистрантов, аспирантов, соискателей...
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconМосковский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Тема ( …ч, срс … ч)
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconУчебно-методическое пособие Красноярск сфу 2012 удк 504. 004. 4 (07) ббк 28. 0я73
Экологическая информатика: учебно-методическое пособие [Текст] / сост. М. А. Субботин. – Красноярск: Сиб федер ун-т, 2012. – 9 с
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconУчебно-методическое пособие по выполнению и защите дипломной работы для студентов специальности 030501 «Юриспруденция»
Учебно-методическое пособие по выполнению и защите дипломной работы для студентов специальности 030501 «Юриспруденция». Иркутск:...
Учебно-методическое пособие г. Ахтубинск 2008 б- удк 621. 396 001. 24 (075) московский авиационный институт (государственный технический университет) Быков А. iconСаратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А. Магистерская программа
Магистерская программа «Промышленная экология» (со специализацией для Волго-Каспийского региона). Описание курсов, учебный план:...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница