1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности




Скачать 29,26 Kb.
Название1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности
Дата04.02.2016
Размер29,26 Kb.
ТипДокументы

1. Нахождение седловой точки игры




Нижняя цена игры:

.

Верхняя цена игры:

.

Эти значения равны, т.е. α=β, и достигаются в одной и той же паре стратегий (А1В3). Следовательно, игра имеет седловую точку (А1В3) и цена игры равна ν=7.


1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности

а. Определение Парето-оптимальных решений (графическая иллюстрация)



Модель многокритериальной задачи задается в виде



где D – множество допустимых решений, F(x) – векторная функция векторного аргумента х. Элементами вектора F(x) являются функции fi(x) – математические выражения критериев оптимальности. Сущность задачи – нахождение допустимого решения {xD}, которое максимизирует или минимизирует значения всех целевых функций fi(x). Решение x*D называется эффективным, если не существует более предпочтительных решений. Субоптимальное решение по критерию fi(x) – оптимальное решение, найденное по i критерию без учета остальных. Множество эффективных решений называется множеством Парето P(D). Вектор значений критериев F(x*) называется эффективной оценкой, образ множества Парето в пространстве эффективных критериев называется множеством эффективных оценок F(P). Принцип Парето состоит в том, что оптимальное решение следует искать только среди элементов множества Парето.

С помощью графического метода можно найти субоптимальные решения:

П



В(0;10,625)

С(10,535;4,04)

D(7,0)

E(2,0)
о критерию z(x1,x2) оптимальная точка (субоптимальная) С(10.535;4,04), z(C)= 184.5683. По критерию t(x1,x2) оптимальная точка (субоптимальная) В(0;10,625), t(B)= -116.875.

b. Метод уступок

Предполагается, что второй критерий (t) более значим, чем первый (z). Тогда решается однокритериальная задача для поиска субоптимального решения по второму критерию (при этом все критерии должны быть приведены к одному типу, т.е. знак целевой функции можно изменить на противоположный):




->min



->max



















Пусть ЛПР согласно на уступку 30% от наилучшего значения второго критерия, т.е. tt=0.3tt*. Тогда значение второго критерия должно быть не меньше tt* - 0.3tt*. C учетом этого нового ограничения должно быть найдено субоптимальное решение по первому критерию:

























Относительные потери для найденного решения можно найти по значениям нормализованных критериев в точке (1,469;9,707):






Относительные потери по второму критерию намного больше, что соответствует предположению о его большей значимости.

















Найденное решение принадлежит множеству Парето, решение эффективное.

с. Метод свертки



Метод свертки заключается в построении на основе имеющихся целевых функций единой целевой функции:



Здесь iкоэффициенты предпочтения (1=0.3, 2=0.7). Решение можно проводить в пространстве нормализованных критериев.


































Найденная точка (0; 10,625) является крайней точкой выпуклого многогранника D (множества допустимых решений исходной задачи). Решение эффективное, т.к. точка с координатами (0;10.625) принадлежит множеству Парето. Этому решению соответствует точка B на отрезке BC. Данное решение является лучшим по одному из критериев (более предпочтительному), т.е. по t.

1. Критерий Вальда

Согласно этому критерию в качестве оптимальной выбирается та стратегия игрока, при которой минимальный выигрыш максимален, т.е. стратегия, гарантирующая при любых условиях выигрыш не меньший, чем максимальный:



- оптимальная стратегия А3.

2. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица


Этот критерий рекомендует в условиях неопределенности при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом (всегда рассчитывай на худшее – критерий Вальда), ни крайним оптимизмом (все обойдется наилучшим образом). Критерий имеет вид:

,

где Н – коэффициент, выбираемый между 0 и 1, причем чем опаснее ситуация, чем больше мы хотим в ней подстраховаться, тем ближе к 1 выбирается Н (возьмем Н=0,6).

Записываем в правых трех столбцах матрицы «пессимистическую» оценку выигрыша i, «оптимистическую» i и их среднее взвешенное по формуле hi=0.6i+0.4i:



h1=0.63+0.49=5.4; h2=0.63+0.413=7; h3=0.64+0.411=6.8; h4=0.62+0.48=4.4

H=max{5.4;7;6.8;4.4}=7

Оптимальная стратегия А2.

3. Критерий минимального риска Сэвиджа


Этот критерий в условиях неопределенности рекомендует выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален): ,

где , j – максимум в столбце.

Строим матрицу рисков и помещаем в правом добавочном столбце максимальный риск в каждой строке rij:

- оптимальная стратегия А3.

4. Критерий Лапласа – принцип недостаточного основания

Критерий Лапласа состоит в том, что следует считать состояния природы равновесными, т.е. . Для принятия решения находим математическое ожидание выигрыша:



- оптимальная стратегия А3.


5. Критерий максимизации среднего выигрыша



По условию задачи вероятности Qi равны 0,2; 0,5; 0,1; 0,2:



- это взвешенное среднее выигрышей , соответствующих чистым стратегиям:



- выигрышная стратегия А3.



Метод Люстерника



Метод случайного поиска


Задачи линейного программирования были первыми, подробно изученными задачами поиска экстремума функций при наличии ограничений типа неравенств. В 1820 г. Ж. Фурье и затем в 1947 г. Дж. Данциг предложил метод направленного перебора смежных вершин в направлении возрастания целевой функции — симплекс-метод, ставший основным при решении задач линейного программирования.

Присутствие в названии дисциплины термина «программирование» объясняется тем, что первые исследования и первые приложения линейных оптимизационных задач были в сфере экономики, так как в английском языке слово «programming» означает планирование, составление планов или программ. Вполне естественно, что терминология отражает тесную связь, существующую между математической постановкой задачи и её экономической интерпретацией (изучение оптимальной экономической программы). Термин «линейное программирование» был предложен Дж. Данцигом в 1949 г. для изучения теоретических и алгоритмических задач, связанных с оптимизацией линейных функций при линейных ограничениях. Поэтому наименование «Математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор оптимальной программы действий.

Выделение класса экстремальных задач, определяемых линейным функционалом на множестве, задаваемом линейными ограничениями, следует отнести к 30-м годам ХХ столетия. Одними из первых, исследовавшими в общей форме задачи линейного программирования, были: Джон фон Нейман, знаменитый математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх и изучивший экономическую модель, носящую его имя; советский академик, лауреат Нобелевской премии (1975 г.) Л. В. Канторович, сформулировавший ряд задач линейного программирования и предложивший (1939 г.) метод их решения (метод разрешающих множителей), незначительно отличающийся от симплекс-метода.

В 1931 г. венгерский математик Б. Эгервари рассмотрел математическую постановку и решил задачу линейного программирования, имеющую название «проблема выбора», метод решения получил название «венгерского метода».

Л. В. Канторовичем совместно с М. К. Гавуриным в 1949 г разработан метод потенциалов, который применяется при решении транспортных задач. В последующих работах Л. В. Канторовича, В. С. Немчинова, В. В. Новожилова, А. Л. Лурье, А. Брудно, А. Г. Аганбегяна, Д. Б. Юдина, Е. Г. Гольштейна и других математиков и экономистов получили дальнейшее развитие как математическая теория линейного и нелинейного программирования, так и приложение её методов к исследованию различных экономических проблем. Методам линейного программирования посвящено много работ зарубежных ученых. В 1941 г. Ф. Л. Хитчкок поставил транспортную задачу. Основной метод решения задач линейного программирования — симплекс-метод — был опубликован в 1949 г Дж. Данцигом. Дальнейшее развитие методы линейного и нелинейного программирования получили в работах Г. Куна (англ.), А. Таккера (англ.), Гасса (Gass S. I.), Чарнеса (Charnes A.), Била (Beale E. M.) и др.

Одновременно с развитием линейного программирования большое внимание уделялось задачам нелинейного программирования, в которых либо целевая функция, либо ограничения, либо то и другое нелинейны. В 1951 г была опубликована работа Куна и Таккера, в которой приведены необходимые и достаточные условия оптимальности для решения задач нелинейного программирования. Эта работа послужила основой для последующих исследований в этой области.

Начиная с 1955 г опубликовано много работ, посвященных квадратическому программированию (работы Била, Э. Баранкина (Barankin E.) и Дорфмана (Dorfman R.), Франка (Frank M.) и Вольфа (Wolfe P.), Г. Марковица и др.). В работах Денниса (Dennis J. B.), Розена (Rosen J. B.) и Зонтендейка (Zontendijk G.) разработаны градиентные методы решения задач нелинейного программирования.

В настоящее время для эффективного применения методов математического программирования и решения задач на компьютерах разработаны алгебраические языки моделирования, представителями которыми являются AMPL и LINGO.

Метод Нелдера-Мида


Начальный этап

Выбрать точки , образующие симплекс в , коэффициент растяжения , коэффициент сжатия и коэффициент отражения . Перейти к основному этапу.

Основной этап

Шаг 1. Положить такими, что




Положить и перейти к шагу 2.

Шаг 2. Положить . Если , то положить и перейти к шагу 3. В противном случае перейти к шагу 4.

Шаг 3. Точку заменить на , если , и на , если , что дает новое множество из точек. Перейти к шагу 1.

Шаг 4. Если , то заменить на , получить новое множество из точек и перейти к шагу 5.

Шаг 5. Взять , для которого , и положить . Если , то заменить на для и перейти к шагу 1. Если , то заменить на , получить новое множество из точек и перейти к шагу 1.

Метод статистического градиента

Покоординатный спуск

Похожие:

1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности iconПравительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400. 68 «Прикладная...
1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности iconПрограмма дисциплины «Когнитивная психология и принятие решений на финансовых рынках»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов 2 курса направления 080100....
1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности icon"Математические методы принятия решений в условиях неопределенности"
Постановка задачи принятия решений; альтернативы, критерии, оценки; неопределенность первого и второго рода
1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности iconРазработка и принятие инвестиционных решений в организации Содержание
Теоретические основы разработки и принятия инвестиционных решений в организации 5
1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности iconКурсовая работа По дисциплине: теория и принятие стратегических решений в управлении. На тему: «Контроль и оценка эффективности управленческих решений»
Каждый менеджер знает, что, прежде чем начинать какое- либо дело, необходимо определить цель своих действий: стратегическую (на долговременную...
1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности iconВопросы к государственному экзамену по специальности 080502
Принятие проектных решений: применение теории графов для проектирования технологических процессов
1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности iconМетодологические и теоретические проблемы психологии
Рациональное принятие решений в деловых организациях Нобелевская мемориальная лекция, прочитанная 8 декабря 1977 г
1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности iconМетодологические и теоретические проблемы психологии
Рациональное принятие решений в деловых организациях Нобелевская мемориальная лекция, прочитанная 8 декабря 1977 г
1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности iconКонкурс «директор школы 2010»
Принятие управленческих решений в организации профильного обучения в малой сельской школе по модели «школа – вуз»
1. Принятие решений при векторном критерии оптимальности iconПрограмма дисциплины «Принятие политических решений»  для направления 030200. 68 «Политология»
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница