Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета




НазваниеПономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета
Дата04.02.2016
Размер5,9 Kb.
ТипРешение
Пономарёва О.Ф.

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА

НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ, ОБРАТНОЙ ТЕОРЕМЕ ВИЕТА

МКОУ Кумылженская СОШ № 1 имени Знаменского А.Д.


В данной работе рассматривается метод быстрого решения квадратных уравнений общего вида. Дан алгоритм решения и краткости рассуждений.

Ключевые слова: квадратное уравнение общего вида, вспомогательное уравнение, теорема, обратная теореме Виета.

Практическое значение имеет умение быстро находить корни квадратного уравнения общего вида ах2 + вх + с = 0, где а ≠ 0 особенно когда квадратные уравнения возникают как вспомогательные при решении значительно более сложных задач и где особенно важно, чтобы учащиеся максимально быстро справлялись с решением этих квадратных уравнений.

Решая приведённые квадратные уравнения х2 + pх + q = 0, корни без особого труда находятся подбором, основанным на теореме, обратной теореме Виета, х1 + х2 = — p; х1 • х2 = q. В своей практике считаю весьма важным и даже необходимым добиваться от учащихся именно такого способа решения приведённых квадратных уравнений.

Но данный способ становится неприменимым, если уравнение общего вида ах2 + вх +с = 0, где а ≠ 0 и не так просто подобрать два числа, сумма которых равна — в/а, а произведение с/а. Для преодоления трудностей использую метод нахождения целых корней вспомогательного уравнения. Разберём данный метод.

Пусть нам нужно решить уравнение вида ах2 + вх + с = 0, где а ≠ 0 умножив все части данного уравнения на а, придём к виду (ах)2 + в(ах) + ас = 0. В полученном уравнении обозначим ах = у, тогда уравнение примет вид у2 + ву + ас = 0 и по теореме, обратной теореме Виета, у1 + у2 = — в, то есть у1 + у2 = (х1 + х2)а; у1 • у2 = ас, то есть у1 • у2 = (х1 • х22. Видно, что для решения исходного уравнения ах2 + вх + с = 0 достаточно решить вспомогательное квадратное уравнение у2 + ву + ас = 0 и его корни разделить на а.

Для практического применения этого метода формулируем алгоритм:

  1. «Перебросить» коэффициент а в свободный член;

  2. Найти корни нового уравнения;

  3. Разделить корни нового уравнения на а.

Рассмотрим примеры нахождения корней квадратных уравнений общего вида ах2 + вх + с = 0, где а ≠ 0.

Задание 1. Решить уравнение 6 х2 + х — 15 = 0.

Решение.

6 х2 + х — 15 = 0, 62 х2 + 6 х — 90 = 0,

записываем вспомогательное уравнение, обозначив у = 6 х,

у2 + у — 90 = 0, у1 + у2 = — 1, у1 • у2 = — 90,

у1 = — 10, у2 = 9.

Следовательно исходное уравнение имеет корни: х1 = — 10/6 = — 5/3;

х2 = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Ответ: х1 = — 5/3; х2 = 1,5.

Задание 2. Решить уравнение 12 х2 + 13 х + 3 = 0.

Решение.

12 х2 + 13 х + 3 = 0,

записываем вспомогательное уравнение, обозначив у = 12 х,

у2 + 13 у + 36 = 0, у1 + у2 = — 13, у1 • у2 = 36,

у1 = — 9,

у2 = — 4.

Следовательно исходное уравнение имеет корни: х1 = — 9/12 = — 3/4;

х2 = — 4/12 = — 1/3.

Ответ: х1 = — 3/4; х2 = — 1/3.

В дальнейшем, по мере накопления учащимися опыта в применении указанного метода можно отказаться от явного выписывания вспомогательного уравнения и предложить им проводить следующие рассуждения:

  1. Чтобы решить уравнение 3 х2 — 11 х + 6 = 0, нужно подобрать два числа,

  2. Сумма двух чисел равнялась 11, а произведение 18,

  3. Это числа 2 и 9,

  4. Значит, корни данного уравнения х1 = 2/3, х2 = 3.

Применяя данный метод решения квадратных уравнений общего вида ах2 + вх + с = 0, где а ≠ 0 от учащихся не нужно требовать подробной записи, после условия исходного уравнения можно сразу записывать найденные корни уравнения.


Литература:

  1. Теоретические основы подготовки и проведения уроков математики в средней школе: Учебно-методическое пособие / Сост. В.И. Седакова. – Сургут: РИО СурГПИ, 2003. – 82 с.

  2. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.

Похожие:

Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета iconРешение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета
Виета как ещё один способ решения квадратных уравнений, для раскрытия которой следует поставить следующие задачи: 1 рассмотреть личность...
Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета iconРешение простейших систем, содержащих уравнение второй степени
ОЦ: обеспечить усвоение умения решать простейшие системы, содержащие уравнения второй степени с применением теоремы, обратной теореме...
Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета iconКонспект урока алгебры в 8 классе по теме: «Решение квадратных уравнений»
Квадратное уравнение — это уравнение вида где переменная, — некоторые числа, причем
Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета iconУрок «Решение квадратных уравнений и редактор формул в текстовом редакторе word»
Бинарный урок «Решение квадратных уравнений и редактор формул в текстовом редакторе word»
Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета iconПредварительный вариант программы к экзамену по курсу «Математические вопросы механики сплошной среды»
Размерности физических величин. Пи-теорема. Применение пи-теоремы: нахождение явного вида решений уравнений в частных производных...
Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета iconРешение квадратных уравнений по формуле
Умение заинтересовать математикой – дело непростое. Многое зависит от того, как поставить даже очевидный вопрос, и от того, как вовлечь...
Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета icon«Решение квадратных уравнений в школьном курсе математики»
В условиях стремительного развития и расширения доступности открытых информационных сетей передача «готовых знаний» перестает быть...
Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета icon«Способы решения квадратного уравнения»
Одной из таких форм является урок – обобщения и систематизации знаний, на котором школьники сами находят способы решения квадратных...
Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета iconМеждународная конференция «Первые шаги в науку» Формирование общего способа исследования в классе иррациональных уравнений
Методическая система формирования общих способов исследования иррациональных уравнений стандартного вида типа I и типа II
Пономарёва О. Ф. Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме виета icon«Решение систем уравнений второй степени»
Оборудование и материалы: 1 презентация «Решение систем уравнений второй степени»; 2 мультимедийная доска
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница