Методические указания к курсу




Скачать 25,07 Kb.
НазваниеМетодические указания к курсу
страница1/5
Дата04.02.2016
Размер25,07 Kb.
ТипМетодические указания
  1   2   3   4   5

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования


«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к курсу

газовая динамика

Раздел 1. Введение в теорию ударных волн

для студентов дневного отделения

механико-математического факультета


г. Ростов – на – Дону

2005


Методические указания разработаны доктором технических наук, заведующим кафедрой теоретической гидроаэромеханики, профессором
А.И. Сноповым и доктором физико-математических наук, профессором
М.А. Сумбатяном.


Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической гидро­аэромеханики механико-математического факультета РГУ, протокол № _____
от _____________ 2005 г.


1.1 Основные допущения, понятия и
уравнения газовой динамики

Основные допущения газовой динамики


Состояние и состав газов весьма разнообразен. Их движение может происходить и при весьма низких температурах, близких к абсолютному нулю, и при сверхвысоких температурах, значительно превышающих температуру поверхности Солнца, при давлениях близких к нулю и при превышающих в тысячи раз атмосферное давление, могут сопровождаться различными химическими и физическими процессами (реакции соединения и разложения, фазовые переходы, ионизация, ядерные реакции и пр.). В широком смысле слова все это является предметом исследований современной газовой динамики. Однако в узком смысле под газовой динамикой будем понимать раздел науки о движении газа, использующий наиболее простую модель газа, которая не учитывает физико-химические процессы, происходящие в газах, а сам газ рассматривает как сплошную среду, обладающую свойством сжи­маемости и подчиняющуюся феноменологическим законам равновесной термодинамики, основанной на эмпирических представлениях о температуре, внутренней энергии, плотности, давлении и энтропии и постулате о том, что при сохранении внешних условий неизменными неограниченное время термодинамические параметры системы принимают постоянные значения (система приходит в термодинамическое равновесное состояние). Исходя из этого постулата, равновесная термодинамика допускает, что исследуемые на ее основе термодинамические процессы настолько медленно проходят, что в каждый момент времени систему можно рассматривать как систему, находящуюся в термодинамическом равновесии, если время прихода системы в равновесное состояние - время релаксации пренебрежимо мало по сравнению со временем протекания процесса. К тому же, в основном, газ рассматривается как идеальная жидкость, не обладающая внутренним трением, свойства которой определены только двумя параметрами (двухпараметрический газ). Не учитываются массовые силы, так как газовая динамика исследует, в основном, такие потоки, в которых наиболее существенно проявляются эффекты сжимаемости газа и на которые массовые силы практически не влияют.

Исходные уравнения газовой динамики

Основными уравнениями газовой динамики являются три уравнения движения (уравнения Эйлера), уравнение неразрывности и уравнение энергии (первый закон термодинамики), которые выведены в курсе гидроаэромеханики [7]



(1.1)



Здесь v – вектор скорости а в последнем уравнении тепловой приток радиационной (лучистой) энергии в единицу времени представлен, для удобства, в виде

Эта система пяти скалярных уравнений содержит шесть неизвестных (плотность , давление p, три компоненты вектора скорости v и внутреннюю энергию E) и поэтому является незамкнутой. Для замыкания системы требуется ввести дополнительные соотношения, моделирующие термодинамические свойства газа.

Предварительно преобразуем уравнение энергии. Так как согласно уравнению неразрывности



то уравнение энергии можно записать в таком виде



Используем понятие удельного объема . Уравнение энергии при этом может быть записано так



Отсюда следует, что за промежуток времени dt поступившая в частицу газа энергия dq идет на приращение её внутренней энергии dE и на работу внутренних сил давления по изменению её объема pdV :

dq = dE+ pdV (1.2)

Это другая форма записи первого начала термодинамики.

Энтропия. Второе начало термодинамики

Вторым началом термодинамики вводится понятие энтропии s, определяемой по приращению энергии системы dq в обратимом термодинамическом процессе по формуле

ds = dq/T , (T ds = dq ), (1.3)

где T – температура газа.

Для обратимых и необратимых процессов в термодинамически замкнутых (изолированных от притока тепла извне) материальных системах энтропия должна являться функцией неубывающей (ds>= 0, а для обратимых процессов ds = 0) и удовлетворять уравнению

T ds = dq + dq1 (1.4)

где обязательно dq1>= 0 (dq1 – некомпенсированное тепло), В этом заключен смысл второго начала термодинамики применительно к моделям газа, используемым в газовой динамике.

Энтальпия (теплосодержание)

В газовой динамике широко используется понятие теплосодержания (энтальпии) h, вводимое равенством

h = E + pV, (1.5)

или

h = E + p/

Другие формы записи начал термодинамики

Если учесть, что

E = h – pV, dE = dh – Vdp – pdV,

то первый закон термодинамики может быть записан в таком виде

dq = dh – Vdp (1.6)

или



Для обратимых процессов в теплоизолированных системах dq = Tds и можно записать уравнение для энтропии в обратимом процессе в таком виде

(1.7)

Все эти уравнения являются следствиями первого и второго начал термодинамики.

1.2 Модель совершенного (двухпараметрического) газа

В газовой динамике используется модель совершенного газа, как одна из наиболее простых моделей реальных газов, учитывающая не только механи­ческие, но и основные термодинамические свойства реальных газов.

Термодинамическое состояние газов определяется следующими термодинамическими параметрами: T, p, , V, E, h, s. Не все эти параметры являются независимыми. Например, V = 1/. Если для газа все параметры указанного списка можно выразить только через любые два из них (исключая пару V и ), то такой газ называют двухпараметрическим или совершенным.

Ограничения, накладываемые началами термодинамики на газодинамические функции

а) Пусть Т и V – независимые термодинамические параметры системы.

Выясним, при каких условиях возможны равенства

p = p(Т, V), s = s(Т, V ), E = E(Т, V ), h = h(Т, V ), (1.8)

которые называют уравнениями состояния газа, и определим их конкретный вид. Для этого учтем те ограничения, которые накладываются на термодинами­ческие параметры первым и вторым началами термодинамики.

В обратимых процессах энтропия согласно (1.2) – (1.3) удовлетворяет равенству

ds = dE/T + pdV/T (1.9)

причем, согласно принятому представлению энтропии, ds является полным дифференциалом этой функции как функции двух переменных Т и V. Учитывая, что согласно (1.8)



выражение для ds можно записать так

(1.10)

Условием того, чтобы правая часть этого выражения была полным дифферен­циалом функции двух переменных, является равенство



После упрощений получаем

(1.11)

Это дифференциальная связь между давлением и внутренней энергии, которая должна выполняться, чтобы газ был двухпараметрическим

Установление вида уравнений состояния совершенного газа

Обращаясь к опытным данным, можем принять, что внутренняя энергия газа зависит только от его температуры

E = E(T) (1.12)

В этом случае условие (1.11) того, чтобы газ был двухпараметрическим, приводит к дифференциальному уравнению для определения вида функции p(T,V)



которое легко интегрируется путем разделения переменных. Его решение имеет вид (принимая p = 0 при Т = 0)



или, учитывая, что V = 1/,



Вид произвольных функций или устанавливается на основе опытных данных.

Вдали от критических точек, отвечающих условиям, при которых газ может сжижаться или отвердевать, с большой степенью точности можно принять



где R – газовая постоянная, зависящая только от состава газа и выражающаяся через универсальную газовую постоянную Ro = 8314 м/(сград) по формуле

R = Ro/, где - молекулярный вес газа (безразмерное число).

В этом случае уравнение состояния совершенного газа принимает вид (формула Менделеева-Клапейрона)

(1.13)

которое дополняет систему уравнений газовой динамики.

Так как при этом p/ = RT, то для энтальпии совершенного газа можно дать такое представление

h = E(T) +RT, (1.14)

что свидетельствует, что энтальпия совершенного газа зависит только от температуры.

б) Примем теперь в качестве независимых параметров V и s. Будем рассматривать остальные параметры газового потока как функции этих параметров

E = E(V, s), p =p(V, s). (1.15)

Отсюда следует, что



В тоже время из уравнения (1.9) следует, что

dE = Tds –pdV

Сравнивая последние два равенства, находим

(1.16)



В этом случае энтальпия (1.5) выражается через энергию так



Коэффициенты удельной теплоемкости газа

в) Если в качестве независимых термодинамических параметров принять T и p, то надо будет принять, что

E = E(T,p), h = h(T,p), (1.17)



При этом формула (1.6) преобразуется к такому виду



Так как T и p выбраны в качестве независимых параметров, то мы можем ими распорядиться по своему усмотрению. Сперва рассмотрим такой термо­динамический процесс, при котором давление остается неизменным p = const (dp = 0). В этом случае можно записать



Здесь коэффициент при dT обычно обозначают символом Сp и называют коэффициентом удельной теплоемкости газа при постоянном давлении, а формулу записывают так

dq = СpdT, (1.18)

где

Сp = (1.19)

Если возвратиться к случаю а), когда в качестве независимых параметров были приняты T и V, и воспользоваться тем, что в этом случае

(1.20)

то для dq в соответствии с формулой (1.2) получим выражение



Рассматривая теперь термодинамический процесс в условиях объема частицы газа, когда dV = 0, находим



Коэффициент при dT, стоящий в этой формуле, обозначают символом СV и называют коэффициентом удельной теплоемкости газа при постоянном объеме. Следовательно удельный приток тепла к частице газа при сохранении ее объема может быть записан так

dq = CVdT

где

(1.21)

Используя формулы (1.19) и (1.21), можем записать

h = , E = (1.22)

Коэффициенты удельных теплоемкостей газа при умеренных температурах можно принимать постоянными (Сp= const, CV = const). В этом случае

h = CpT, E =CVT (1.23)

Связь между коэффициентами удельной теплоемкости газа

Обратимся к равенству (1.14). Из него получаем

dh = dE + RdT (1.24)

Так как внутренняя энергия двухпараметрического газа является функцией только температуры, то согласно этой формуле энтальпия для такого газа является также функцией только температуры..

Из равенств (1.22) следует, что

dh = Cp dT, dE = CVdT

При этом равенство (1.24) принимает вид

CpdT = CVdT + RdT

Oтcюда следует связь между коэффициентами удельной теплоемкости газа и газовой постоянной

Cp - CV = R (1.25)

Энтропия совершенного газа

Уравнение (1.9) позволяет определить вид функции энтропии s для совершенного газа, учитывая, что вид остальных уравнений состояния газа установлен. Имеем

ds = dE/T+pdV/T.

Так как в соответствии с (1.24)

dE = CdТ, dV = - / и pdV/T = - R/,

то



Интегрируя это уравнение в полных дифференциалах, находим с точностью до постоянной интегрирования

s =CVdT/T – Rln + const (1.26)

В случае постоянства коэффициента CV выражение для энтропии совершенного газа принимает вид

s = CV nT - R ln + const

Учитывая теперь, что T = p/(R), это соотношение записываем так

s = CV ln p – (CV + R) ln +const

Отсюда находим выражение для энтропии совершенного газа (с точностью до произвольной постоянной)

s = CV ln(p/), (1.27)

где = Сp/CV.

Для обратимых процессов s = const. Поэтому обратимые процессы явля­ются изоэнтропическими. При этом условием изэнтропичности обратимых процессов является, очевидно, выполнение равенства

p/ = C, (1.28)

где С = - некоторая положительная постоянная, определяемая по параметрам газа в той точке, где скорость потока равна нулю (параметрам торможения).

В соответствии с формулой (1.27) второй закон термодинамики (ds 0) влечет требование, чтобы при постоянных Сp и CV. выполнялось условие

d(p/) 0. (1.29)


1.3 Прямой скачок уплотнения

Основные соотношения для прямого скачка уплотнений

Как было выяснено, в сверхзвуковом потоке газа возможны разрывные течения. Наиболее простым примером разрывного течения является прямой скачок уплотнения в одномерном прямолинейном сверхзвуковом потоке газа, когда поверхность разрыва ортогональна потоку (рисунок 1.1).


y













O x
  1   2   3   4   5

Похожие:

Методические указания к курсу iconМетодические указания к курсу «История теоретической социологии»
Планы семинарских занятий и методические указания к курсу «История теоретической социологии» / Сост. Н. В. Досина; Яросл гос ун-т,...
Методические указания к курсу iconМетодические указания по выполнению контрольных работ по дисциплине «Мировая экономика»
Вам предлагаются методические указания по выполнению контрольной работы по курсу «Мировая экономика». Методические указания составлены...
Методические указания к курсу iconМетодические указания и задания по курсу «методы оптимальных решений»
Методические указания и контрольные задания по курсу “Методы оптимальных решений” для студентов заочного факультетов. – Спб: Изд-во...
Методические указания к курсу iconМетодические указания для выполнения контрольных работ по курсу «Философия»
Методические указания для выполнения контрольных работ по курсу «Философия» (для студентов 2-3 курсов заочной формы обучения всех...
Методические указания к курсу iconМетодические указания к выполнению самостоятельной работы и план семинарских занятий по дисциплине «философия»
Методические указания составлены в соответствии с действующими государственными образовательными стандартами и типовой программой...
Методические указания к курсу iconМетодические указания к выполнению контрольных работ по курсу
Рабочая программа и методические указания по выполнению контрольных работ по курсу “Социология”
Методические указания к курсу iconМетодические указания к практическим занятиям Пенза Издательство Пензенского государственного университета 2008 ббк 67 Г75 Приведены темы 8 практических занятий по курсу «Гражданское право»
Приведены темы 8 практических занятий по курсу «Гражданское право», на которых рассматриваются вопросы, касающиеся договоров, направленных...
Методические указания к курсу iconУчебно-методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине «Процессы и аппараты нефтегазопереработки и нефтехимии»
Настоящие методические указания к курсовому проекту по курсу " Процессы и аппараты химической технологии " рекомендуются для студентов,...
Методические указания к курсу iconМетодические указания к их выполнению по дисциплине «Пищевая химия»
Методические указания предназначены для студентов всех форм специальности 050501 Профессиональное обучение (производство продовольственных...
Методические указания к курсу iconМетодические указания к самостоятельной работе студентов по курсу «Методы и модели в экономике»
Математическое моделирование экономических процессов [Текст] : метод указания к самостоятельной работе студентов по курсу «Методы...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница