Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми




НазваниеОб одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми
Дата03.02.2016
Размер6.89 Kb.
ТипДокументы
А.П.Мустафаев

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми


Уравнениями смешанного типа называются уравнения, которые в одной части рассматриваемой области принадлежит эллиптическому типу, а в другой – гиперболическому: эти части разделены линией (или поверхностью) перехода, на которой уравнения либо вырождается в параболическое, либо не определено Теория уравнений смешанного типа имеет сравнительно на долгую историю.

Первыми глубокими исследованиями в этой области являлись работы Ф.Трикоми опубликованные в двадцатых годах прошлого столетия.

Для уравнения

, (1)

которые сейчас называют уравнением Трикоми, он изучал краевую задачу (задачу Трикоми) и доказал существование единственность решения этой задачи.

Уравнения смешанного типа стали объектами систематических исследований с конца сороковых годов прошлого столетия. Возникшие в приложениях проблемы в частности проблемы околовузовского течения сжимаемой среды в плоской постановке и безмоментной теории оболочек описывается уравнениями смешанного типа второго порядка с двумя независимыми переменными.

Наряду с общими методами, применяемыми при решений уравнений смешанного типа существует для различного вида уравнений и некоторые специфические методы.

В этой работе мы ограничимся рассмотрением простого травила позволяющего получить вид общего решения через вполне определенные функции, а неизвестными являются только параметры и (в некоторых приложениях это оказывается достаточным).

1-задание. Найти решение уравнения (1) при . Вводя в место , новую переменную зависящая от характеристик

, (2)

уравнение (1) приводится к дифференциальному уравнению вида

. (3)

Решая полученное уравнение и переходя к старым переменным получим частный вид общего решения уравнения (1) зависящее от произвольных постоянных и т.е.

. (4)

2-задание. Найти решение уравнения

(5)

при и .

Аналогично с помощью замены

(6)

уравнение (5), приводится к дифференциальному уравнению вида (3), отсюда

. (7)

С другой стороны уравнение (5) есть канонический вид уравнение (1) только зависящие от переменных , где

.

Отсюда видно, что решение (4) и (7) эквивалентны.

3-задание. Найти решение уравнения (1) при .

Тогда характеристики уравнения (1) имеет вид

и .

С помощью замены

(8)

Уравнение (1) также приводится к дифференциальному уравнению вида (3).

Отсюда

. (9)

4-задание. Найти решение уравнения

(10)

характеристиками этого уравнения являются кривые

и . (11)

С помощью замены

(12)

уравнение (10) приводится к дифференциальному уравнению вида (3), решив полученные уравнения и переходя к старым переменным получим

. (13)

Уравнение (10) также является каноническим видом уравнение (1) при , отсюда видно решение (9) и (13) также эквивалентны.

Тогда частный вид общего решения уравнения (1) для любого можно записать в виде

. (14)

На линии параболического вырождения для найденного решения выполняются условия следования т.е.

(15)

Полученное решение позволяют легко найти частное решение некоторых краевых задач для уравнения Трикоми.


Литература


  1. Ф.Трикоми Лекции по уравнениям в частных производных издательство иностранной литературы. Москва, 1957.

  2. М.М.Смирнов Уравнения смешанного типа М., «Наука» 1970 г. – 295 с.

  3. А.В.Бицадзе Некоторые классы уравнения в частных производных. М., «Наука» 1981 г.

  4. А.П.Мустафаев Частный вид общего решения уравнения смешанного типа второго порядка

Похожие:

Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми iconУчебник по теме «квадратные уравнения»
Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность,...
Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми iconО методе огибания в теории зацепления
Если обозначить через радиус-вектор точки, то уравнения 3 можно записать в векторной форме
Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми iconОб одном проекционно-разностном методе для параболических уравнений в области с меняющейся границей
Винберг Э. Б. Геометрия М.: Винити, 1988. Современные проблемы ма­тематики. (Итоги науки и техники)
Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми icon"Квадратные уравнения (методы решения)"
...
Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми icon«Способы решения квадратного уравнения»
Одной из таких форм является урок – обобщения и систематизации знаний, на котором школьники сами находят способы решения квадратных...
Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми icon"Оргонная" терапия Вильгельма Райха и устройство для ее осуществления
Тем не менее, сейчас я хочу рассказать еще об одном оригинальном методе, о котором до недавнего времени в нашей стране вряд ли кто...
Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми iconТема 1 Алгебраические уравнения
«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему гораздо важнее. Политика существует только...
Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми icon«Моногибридное скрещивание. I и II законы Менделя»
Формирование у учащихся знаний о гибридологическом методе как основном методе изучения наследственности, моногибридном скрещивании,...
Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми iconВопросы к экзамену по курсу лекций “Обратные задачи”
Задача для уравнения теплопроводности с обратным временем; единственность решения
Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми iconТема «Тригонометрические уравнения»
Образовательные 1 разобрать два основных метода решения тригонометрических уравнений: метод введения новой переменной
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница