Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования




Скачать 30.37 Kb.
НазваниеПравительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Дата03.02.2016
Размер30.37 Kb.
ТипТематический план
Правительство Российской Федерации


Государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования


«Государственный университет - Высшая школа экономики»



Факультет экономики


Программа дисциплины

Теория вероятностей и математическая статистика

для направления 080700.62 – Бизнес-информатика подготовки бакалавра

Автор Шведов А.С.


Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры

«Математические и статистические методы Математической экономики и в экономике» эконометрики


Председатель Зав. кафедрой

Поспелов И.Г. Канторович Г.Г.


«_____» __________________ 20 г. «____»_________________20 г.


Утверждена УС факультета

экономики


Ученый секретарь

_________________________________

« ____» ___________________20 г.

Москва


Тематический план учебной дисциплины

Название темы

Всего часов по

дисциплине

Аудиторные часы

Самостоя-

тельная

работа

Лекции

Семинары

1


Основные понятия. Независимость

7

2

2

3

2

Функции распределения

8

2

3

3

3

Числовые характеристики случайных величин

7

2

2

3

4

Условные вероятности

6

1

2

3

5

Биномиальное и нормальное распределения вероятностей

9

2

3

4

6

Распределение Пуассона и некоторые другие распространенные распределения вероятностей

8

2

2

4

7

Применение вероятностного аппарата к статистической информации. Исследование выборками

4

2

0

2

8

Статистические оценки. Их свойства и методы построения

13

3

4

6

9

Доверительные интервалы

9

2

3

4

10

Проверка гипотез

16

4

4

8

11

Дисперсионный анализ

5

2

1

2

12

Примеры многомерных распределений, многомерное нормальное распределение. Моменты, ковариационная матрица

5

2

1

2

13

Информация Фишера. Свойства оценок максимального правдоподобия

5

1

1

3

14

Порядковые статистики

2

1

0

1

104

28

28

48




Базовые учебники

1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. 2-е изд. М.: Изд-во ГУ-ВШЭ, 2005.

2. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика – 2 (промежуточный уровень). М.: Изд-во ГУ-ВШЭ, 2007.


Формы контроля


Итоговая оценка по учебной дисциплине складывается из оценки за контрольную работу (15%), оценки за домашнее задание (15%) и оценки за экзамен (70%).

Содержание программы


Материал курса «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначен для использования во многих последующих курсах. Сюда включаются, например, эконометрика, анализ временных рядов, финансовая математика, теория случайных процессов, методы принятия решений, курсы продвинутого уровня по статистике.

По мере изучения новых понятий и методов в курсе сразу же даются примеры их использования для решения задач экономики и управления, а также задач инженерного характера. Рассматриваются такие применения, как статистический контроль качества производимой продукции, анализ полезности и анализ риска, страхование, портфельная теория и другие. С одной стороны, в курс входит материал по теории вероятностей и математической статистике, который обычно включается в западные курсы бизнес-статистики. Здесь присутствует большое число задач-ситуаций из различных прикладных областей, где, иногда, самое трудное – это увидеть, какой из статистических методов следует применить для решения данной задачи. Но также в курс входит и материал, традиционно включаемый в программы российских технических и физических вузов с повышенной математической подготовкой.


Тема 1. Области практической деятельности и науки, где используются методы теории вероятностей и математической статистики. Основные понятия теории вероятностей и их соотнесение с соответствующими понятиями теории множеств. Вероятностное пространство, событие, случайная величина. Независимость событий. Независимость случайных величин. (Шведов (2005), Гл. 1.)


Тема 2. Функции распределения случайных величин, свойства функций распределения. Непрерывные случайные величины. Функции плотности и их свойства. Квантили и мода. Равномерное распределение. Совместная функция распределения системы случайных величин. Маргинальные распределения. Условные распределения. (Шведов (2005), Гл. 1; Шведов (2007), Гл. 1.)


Тема 3. Числовые характеристики случайных величин в случае, когда вероятностное пространство конечно, и для непрерывных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, ковариация, корреляция. Их основные свойства. Моменты случайных величин. (Пугачев (2002), Разд. 3.1, 3.2; Шведов (2005), Гл. 1.)


Тема 4. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. (Шведов (2005), Гл. 1.)


Тема 5. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение. Приближенные формулы Муавра – Лапласа. Нормальное распределение и его основные свойства. Формулировка центральной предельной теоремы, примеры и пояснения к ней. (Шведов (2005), Гл. 2, 3.)


Тема 6. Распределение Пуассона. Пуассоновский поток событий. Экспоненциальное распределение и его связь с пуассоновским потоком событий. Связь распределения Пуассона с испытаниями Бернулли. Пуассоновская аппроксимация нормального распределения. Бета-распределение, гамма-распределение, логарифмически нормальное распределение, гипергеометрическое распределение, отрицательное биномиальное распределение, другие примеры распределений (Пугачев (2002), Разд. 5.2; Шведов (2005), Гл. 8; Шведов (2007), Гл. 1)


Тема 7. Прием, применяемый в математической статистике: набору из n наблюдений ставится в соответствие набор из n случайных величин. Некоторые широко используемые в математической статистике распределения вероятностей: -распределение, t-распределение, F-распределение. Точность результатов при проведении выборочных исследований. Генеральная совокупность, выборка. Простая случайная выборка. Выборочное среднее, его математическое ожидание и дисперсия (с учетом поправки на конечный размер генеральной совокупности). Простая случайная выборка. Выборочная дисперсия и ее математическое ожидание. Смещенная и несмещенная оценки для дисперсии по генеральной совокупности. Стратифицированная случайная выборка. (Шведов (2005), Разд. 3.2, 5.1, 6.1, 7.1, Шведов (2007), Гл. 5)


Тема 8. Точечные оценки. Сопоставление исследований выборками и оценок параметров распределений. Свойства оценок, несмещенность, состоятельность, эффективность. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Методы построения оценок, метод моментов и метод максимального правдоподобия. Оценка параметров биномиального, нормального, пуассоновского и равномерного распределений. (Пугачев (2002), Разд. 7.2; Бородин (1999), Разд. 25.; Шведов (2005), Гл. 4, Шведов (2007), Гл. 2)


Тема 9. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для среднего при известной и неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для пропорции. Доверительные интервалы для разности двух средних. Доверительные интервалы для дисперсии. Доверительное множество для векторного параметра. (Шведов (2005), Гл. 3; Шведов (2007), Гл. 3)


Тема 10. Проверка гипотез. Простые и сложные гипотезы. Критерий выбора между основной и альтернативной гипотезами. Уровень значимости. Мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. Двойственность проверки гипотез и построения доверительных интервалов. Тесты на нормальность и тесты Колмогорова – Смирнова. Ранговые критерии. Проверка гипотез о соответствии наблюдений предполагаемому распределению вероятностей. Таблицы сопряженности признаков. Проверка гипотез о независимости признаков. ( Newbold (1995), Гл. 11, Шведов (2005), Гл. 3, 5, 6, 7, 11; Шведов (2007), Гл. 3)


Тема 11. Дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ, проверка гипотез о равенстве нескольких средних. Двухфакторный дисперсионный анализ. (Шведов (2005), Гл. 7; Newbold (1995), Гл. 15.)


Тема 12. Моменты случайных векторов. Свойства ковариационной матрицы. Многомерное нормальное распределение. Другие примеры многомерных распределений. . Функция распределения функции случайной величины. Пугачев (2002), Разд. 3.3 – 3.5, 4.5, Шведов (2007), Гл. 1)


Тема 13. Информация Фишера. Информационное неравенство. Асимптотически эффективные оценки. Состоятельность, асимптотическая эффективность и асимптотическая нормальность оценок максимального правдоподобия. Достаточные статистики (Шведов (2007), Гл. 1, Бородин (1999), Разд. 22, 25.)


Тема 14. Порядковые статистики. (Бородин (1999), Разд. 18.)

Основная литература


  1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – С.-П.: Лань, 1999.

  2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Физматлит, 2002.

  3. Hogg R.V., Craig A.T. (1995) Introduction to Mathematical Statistics. 5th ed., Upper Saddle River, Prentice Hall.

  4. Newbold P. (1995) Statistics for Business and Economics. 4th ed. London: Prentice-Hall.



Дополнительная литература


  1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

  2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.

  3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1984.

  4. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984.

  5. Кокс Д., Снелл Э. Прикладная статистика. М.: Мир, 1984.

  6. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

  7. Ликеш И., Ляга Й, Основные таблицы математической статистики. М.: Финансы и статистика, 1985.

  8. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М.: Изд-во МГУ, 1972.

  9. Lindley V., Scott W.F. (1995) New Cambridge Statistical Tables. Ed.2, Cambridge: Cambridge University Press.

  10. Mood A.M., Graybill F.A., Boes D.C. (1974) Introduction to the Theory of Statistics. N.Y.: McGraw-Hill.

  11. Rice J.A. (1988) Mathematical Statistics and Data Analysis. Pacific Grove: Wadsworth and Brook.

  12. Snedecor G.W., Cochran W.G. (1980) Statistical Methods. 7th edition, Ames: Iowa State University Press.

  13. Wackerly D.D., Mendenhall W., Scheaffer R.L. (1996) Mathematical Statistics with Applications. 5th ed., Belmont: Duxbury Press.

  14. Wetherill G.B. (1981) Intermediate Statistical Methods, London: Chapman and Hall.

Сборники задач





  1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1998.

  2. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. Л.: ЛГУ,1967.

  3. Ивченко Г.П., Медведев Ю.И., Чистяков А.В. Сборник задач по математической статистике. М.: Высшая школа, 1989.

  4. Климов Г.П., Кузьмин А.Д. Вероятность, процессы, статистика. Задачи с решениями. М.: МГУ, 1985.

  5. Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. М.: Наука, 1970.

  6. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (сост. Ратникова Т.А., Шведов А.С.). М.: ВШЭ, 2004.


Тематика заданий по различным формам текущего контроля


1. Совместимы ли события A и ?


2. Пусть случайная величина X имеет функцию плотности f(x), и случайная величина Y связана со случайной величиной X соотношением Y=aX+b, где a и b –константы. Найти функцию плотности случайной величины Y.

3а. График функции распределения случайной величины X лежит под графиком функции распределения случайной величины Y:



Выберите верное утверждение и докажите его.

А. Математическое ожидание случайной величины Y больше математического ожидания случайной величины X.

Б. Математическое ожидание случайной величины Y не меньше математического ожидания случайной величины X.

В. Математическое ожидание случайной величины X больше математического ожидания случайной величины Y.

Г. Ничего нельзя сказать об отношении математических ожиданий случайных величин X и Y.


3б. Совместная плотность распределения случайных величин X и Y задается формулой при . При других значениях аргументов совместная плотность считается равной нулю. Найти математическое ожидание и дисперсию каждой из случайных величин X и Y и корреляцию этих случайных величин.


3в. Монета с вероятностью выпадения герба 0.5 и с вероятностью выпадения решетки 0.5 бросается 7 раз. Найти корреляцию (коэффициент корреляции) между числом гербов, выпадающих при первых 5 бросках, и числом решеток, выпадающих при последних 4 бросках.


4. Аналитик изучил проспекты акций большого числа корпораций. Некоторые из этих акций он рекомендовал для приобретения. По прошествии года выяснилось, что 25% из всех рассматриваемых акций принесли доход значительно выше среднего по рынку, 50% из всех рассматриваемых акций принесли доход примерно равный среднему по рынку и 25% из всех рассматриваемых акций принесли доход значительно ниже среднего по рынку. 30% из числа акций, которые принесли доход значительно выше среднего по рынку, были рекомендованы аналитиком для приобретения; 20% из числа акций, которые принесли доход примерно равный среднему по рынку, были рекомендованы аналитиком для приобретения; 10% из числа акций, которые принесли доход значительно ниже среднего по рынку, были рекомендованы аналитиком для приобретения. Какова вероятность, что акция, рекомендованная аналитиком для приобретения, принесла доход значительно выше среднего по рынку?


5а. Две игральные кости бросают до выпадения числа 6 хотя бы на одной из них. Найти вероятность того, что две кости будут брошены ровно k раз.


5б. Сформулируйте правило «трех сигм».


6а. Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона и . Найдите вероятность события .


6б. Цистерна оптового торговца бензином имеет определенный объем, и торговец заполняет ее каждый понедельник. Интересующий торговца вопрос состоит в том, какая доля всего запаса бензина продается в течение недели. Путем длительных наблюдений торговец определил, что данная доля бензина может моделироваться случайной величиной, имеющей бета распределение с параметрами . Найти вероятность того, что в некоторую выбранную неделю торговец продаст больше 90% всего своего запаса.


6в. Геологические исследования показывают, что в определенном регионе скважина дает нефть с вероятностью 0.2. Компания ведет бурение скважин в данном регионе. Найдите вероятность того, что третья скважина с нефтью встретится при пятом бурении.


7а. Найдите вероятность того, что случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с 5 степенями свободы, принимает значение большее 1.96. Сравните эту вероятность с вероятностью того, что случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение, принимает значение большее 1.96. Чему равна дисперсия каждой из этих случайных величин? Связано ли различие вероятностей с различием дисперсий?


7б. Случайная выборка из 250 домов была взята из большой популяции домов старой постройки, чтобы оценить долю домов в популяции с ненадежной электропроводкой. Предположим, что в действительности 30% всех домов в популяции имеют ненадежную электропроводку. Найдите вероятность того, что в выборке доля домов с ненадежной электропроводкой будет между 0.25 и 0.35.


7в. Известно, что в большом городе счета за электричество летом для домов, предназначенных для одной семьи, описываются нормальным распределением со стандартным отклонением $100. Взята случайная выборка из 25 таких счетов.

(а) Найдите вероятность того, что выборочное стандартное отклонение будет меньше $75.

(б) Найдите вероятность того, что выборочное стандартное отклонение будет больше $150.


7г. В США 1395 колледжей, из которых 364 имеют 2-летнюю программу обучения и 1031 – 4-летнюю программу обучения. Взята стратифицированная случайная выборка из 40 колледжей с 2-летней программой обучения и 60 колледжей с 4-летней программой обучения. Для каждого колледжа из выборки взято число студентов, прослушавших в прошлом году курс бизнес статистики. Результаты исследования приведены в следующей таблице.

колледжи с 2-летней колледжи с 4-летней

программой обучения программой обучения

Среднее 154.3 411.8

Стандартное отклонение 87.3 219.9


Оцените общее количество студентов в США, прослушавших курс бизнес статистики в прошлом году.


8а. Отношения рыночной цены акции к чистой прибыли компании в расчете на одну акцию для 10 акций, торгуемых на NYSE, в определенный день составили

10 16 5 10 12 8 4 6 5 4

Оцените для генеральной совокупности всех акций, торгуемых на NYSE, среднее отношение рыночной цены акции к чистой прибыли компании в расчете на одну акцию в данный день, дисперсию, стандартное отклонение, а также долю акций в генеральной совокупности, для которых отношение рыночной цены акции к чистой прибыли компании в расчете на одну акцию больше 8.5.


8б. Предполагается, что n наблюдений являются значениями независимых одинаково распределенных случайных величин , имеющих распределение с функцией плотности, равной 0 при и равной при . Методом моментов оцените .


9. Из представителей компаний, набирающих выпускников колледжей на работу, взята случайная выборка, состоящая из 142 представителей. Этим представителям был задан вопрос, какую роль играют оценки, полученные в колледже, при отборе кандидата. 87 представителей компаний выбрали ответы «решающую», «крайне важную» или «очень важную». Постройте 95% доверительный интервал, чтобы оценить долю тех компаний из числа всех, набирающих выпускников колледжей на работу, которые руководствуются подобными принципами.


10а. Что такое функция мощности? Почему при сложной альтернативной гипотезе мы говорим о мощности не как об одном числе, а как о некоторой функции? Что является областью определения и областью значений для этой функции?


10б. Профессор политологии хочет сравнить успеваемость студентов, которые принимали участие в президентских выборах, и студентов, которые не принимали участие в президентских выборах. Из первой генеральной совокупности была взята выборка из 114 студентов, и для этой выборки средняя оценка оказалась 2.71 со стандартным отклонением 0.64. Из второй генеральной совокупности была взята независимая выборка из 123 студентов, и для этой выборки средняя оценка оказалась 2.79 со стандартным отклонением 0.56. Проверьте гипотезу, что средние оценки для обеих генеральных совокупностей одинаковы. Какие дополнительные предположения необходимо сделать для проверки этой гипотезы?


10в. Число дорожно-транспортных происшествий на оживленном перекрестке фиксировалось в течение 50 недель. Результаты приведены в следующей таблице.

Число ДТП Количество недель с таким числом ДТП

  1. 32

  2. 12

  3. 6

  4. 0

Проверьте гипотезу, что число ДТП на данном перекрестке описывается распределением Пуассона. Примите уровень значимости 0.05.


11. Производитель консервов готовится выпустить в продажу новый вид консервов и решает вопрос, при каком цвете консервных банок продажи будут наилучшими. Для этого изготовлены пробные партии консервов в банках трех разных цветов, красного, желтого и синего. Для их продажи выбраны 16 магазинов примерно одинакового размера. В 6 магазинов направлены консервы в банках красного цвета, в 5 магазинов – в банках желтого цвета и в 5 магазинов – в банках синего цвета. Через несколько дней проверены продажи в каждом из этих магазинов. Результаты (в десятках банок) приведены в следующей таблице.

Красные Желтые Синие

43 52 61

52 37 29

59 38 38

76 64 53

61 74 79

81


Проверьте гипотезу, что объемы продаж не зависят от цвета банки.


12а. Как изменяется ковариационная матрица при линейном преобразовании случайного вектора?


12б. Пусть случайные величины и имеют двумерное нормальное распределение. Покажите, что условное распределение при условии нормально с математическим ожиданием и с дисперсией .

13а. Найдите информационное количество Фишера относительно параметра q, содержащееся n наблюдениях, если наблюдения являются значениями независимых одинаково распределенных случайных величин , имеющих распределение с функцией плотности, равной 0 при и равной при .


13б. Приведите пример оценки, построенной методом максимального правдоподобия, которая не является состоятельной. Какое из условий теоремы о состоятельности оценок максимального правдоподобия в данном случае нарушено?


14. Устройство содержит n одинаковых блоков, работающих независимо друг от друга. Время, в течение которого блок остается работоспособным – это случайная величина, имеющая экспоненциальное распределение с параметром l. Устройство остается работоспособным, пока остаются работоспособными хотя бы k блоков, , и становится неработоспособным в противном случае. Построить функцию распределения для времени, в течение которого устройство остается работоспособным.


Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


1. Определение события. Независимость событий. Примеры не независимых событий.

2. Определение случайной величины. Независимость случайных величин. Примеры не независимых случайных величин.

3. Определения математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения, ковариации, корреляции случайных величин. Определение моментов случайных величин.

4. Свойства математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения, ковариации, корреляции случайных величин.

5. Определение и свойства функции распределения случайной величины.

6. Непрерывные случайные величины и свойства функции плотности. Совместное непрерывное распределение.

7. Определение и примеры дискретных случайных величин. Совместное дискретное распределение.

8. Нормальное распределение, вид функции плотности. Ковариационная матрица случайного вектора. Многомерное нормальное распределение.

9. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

10. Маргинальные дискретные функции плотности и маргинальные функции плотности. Критерии независимости случайных величин. Условные дискретные функции плотности и условные функции плотности.

11. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение. Приближенные формулы Муавра – Лапласа.

12. Распределение Пуассона. Экспоненциальное распределение. Их связь с пуассоновским потоком событий.

13. -распределение, t-распределение, F-распределение. Примеры их использования в задачах статистического вывода.

14. Простая случайная выборка. Выборочное среднее, выборочная дисперсия; их назначение и свойства.

15. Точечные оценки и их свойства, несмещенность, состоятельность, эффективность. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.

16. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для среднего при известной и неизвестной дисперсии. Другие примеры доверительных интервалов.

17. Нормальное распределение и центральная предельная теорема. Примеры использования центральной предельной теоремы при проверке гипотез.

18. Проверка гипотез. Уровень значимости. Функция мощности.

19. Тесты Колмогорова – Смирнова.

20. Информация Фишера. Ее использование при изучении свойств оценок.


Автор программы: А.С.Шведов

Похожие:

Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования iconПравительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение Высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования iconПравительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования iconПравительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования iconПравительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования iconПравительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования iconПравительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования iconПравительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования iconПравительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования iconПравительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования iconПравительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница