«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей




Скачать 18.96 Kb.
Название«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей
Дата03.02.2016
Размер18.96 Kb.
ТипДокументы


Министерство образования и науки Республики Тыва

XVI -я Республиканская научно-практическая конференция школьников

«Шаг в будущее»


Многогранники


Автор: Донгак Кузел

Кудажыевич,

9 класс,

ГБОУ Аграрный лицей


Руководитель: Серен-оол С.А.,

учитель математики

первой категории

ГБОУ АЛРТ


Сукпак 2012


Оглавление


Введение……………………………………………………………………………………………………………3стр.

  1. Красота и сложность многогранников …………………………..…………………….. 5стр.

  2. Процесс каскадного вписывания…………………………….………………….............6стр.


Заключение……………………………………………………………………………………………………...10стр.

Список литературы……………………………………………………………………………………..11стр.

Приложение


Аннотация

Возрастающая потребность общества в людях, способных творчески подходить к любым изменениям, нетрадиционно и качественно решать существующие проблемы, обусловлена ускорением темпов развития общества и, как следствие, необходимостью подготовки людей к жизни в быстро меняющихся условиях. Стратегия современного образования заключается в предоставлении возможности всем учащимся проявить свои таланты и творческий потенциал, подразумевающий возможность реализации личных планов. В связи с этим считаю, что актуальна проблема поиска средств развития мыслительных способностей, связанных с творческой деятельностью школьников. Один из возможных путей развития интереса к геометрии у большинства учащихся – совместное изучение геометрии и оригами.

Введение

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.Правильные многогранники известны с древнейших времён.Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела», о которых он писал в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру.Евклиддал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал.

  • Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке.

  • Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра.

  • В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников.

Известно еще множество совершенных тел, получивших название полуправильных многогранников или Архимедовых тел. Множество Архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них, составляют пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Для Платоновых тел усечение может быть сделано таким образом, что и получающиеся новые грани и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.Удивительная красота форм многогранников невольно наталкивает на мысль: « А что, если их модели сделать не по их разверткам, а используя технику оригами?»… «Искусство складывания из бумаги, или оригами, насчитывает уже несколько сотен лет. В последние десятилетия в данном виде искусства стали использоваться достижения математики. Подобные исследования занимаются вопросами различных геометрических построений и во многом похожи на соответствующий раздел математики — построения с помощью циркуля и линейки. Помимо этого, математика оригами решает вопрос о возможности плоского складывания, а также вопрос о возможности твердого складывания какой-либо модели. Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была изобретена бумага. Первоначально оригами использовалось в религиозных обрядах. Долгое время этот вид искусства был доступен только представителям высших сословий, где признаком хорошего тона было владение техникой складывания из бумаги. Только после второй мировой войны оригами вышло за пределы Востока и попало в Америку и Европу, где сразу обрел своих поклонников». (Материал из Википедии)

Актуальность

Оригами может быть интересно людям разного возраста. Во – первых, при помощи оригами я получаю возможность создавать своими руками красивые геометрические фигуры из бумаги. Во - вторых, можно сделать оригинальный подарок близким или просто сделать что- то своими руками из бумаги - одно удовольствие. В - третьих, оригами это всегда красиво и оригинально.

Объект исследования - оригами

Предмет исследования - место оригами в рамках предмета «Геометрия».

Цель: вписать в модуль Сонобе тетраэдр.

Задачи исследования:

  1. Изучить историю возникновения оригами, необходимый материал, приемы и технологию выполнения

  2. Изучить лист бумаги, выполнив необходимые измерения.

  3. Изучить каскадное вписывание многогранников.

  4. Решить ряд задач.

  5. Выполнить каскадное вписывание в модуль Сонобе тетраэдра и изготовить образцы изделий в технике оригами.

Гипотеза: Возможно, для того, чтобы выполнить каскадное вписывание многогранников, необходимо вычислить площадь необходимой бумаги для тетраэдра и для гексаэдра, ребра.


  1. Красота и сложность многогранников.


“Правильных многогранников так мало,но это весьма скромный по численности

отряд сумел пробратьсяв самые глубины различных наук”.( Л. Кэрролл).

«Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников,— одна из самых увлекательных глав геометрии»(русский математик Л.А. Люстернак).

c:\users\1\desktop\images.jpeg2.jpegc:\users\1\desktop\images.jpeg

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.

Правильных многогранников – 5.Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. Для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360о, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).( 4)

Теорема Эйлера

Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение:

Г+В-Р=2,

где Г-число граней, В-число вершин, Р- число ребер данного многогранника.

Грани + Вершины - Рёбра = 2.

Названия правильные многогранники связано с числом их граней:

  1. тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре,

  2. гексаэдр (куб) имеет 6 граней, в переводе с греческого "эдрон" - грань,"гекса" - шесть;

  3. октаэдр - восьмигранник, в переводе с греческого "окто" - восемь;

  4. додекаэдр - двенадцатигранник, в переводе с греческого "додека" двенадцать;

  5. икосаэдр имеет 20 граней, в переводе с греческого "икоси" - двадцать.




  1. Процесс каскадного вписывания


Правильные многогранники можно вписывать друг в друга. При этом возможны следующие случаи:

  1. Вершинами вписанного многогранника являются некоторые вершины описанного многогранника.

  2. Вершинами вписанного многогранника являются середины ребер описанного многогранника.

  3. Вершинами вписанного многогранника являются центры граней описанного многогранника.

  4. Серединами ребер вписанного многогранника являются центры граней описанного многогранника.

  5. Центрами граней вписанного многогранника являются некоторые центры граней описанного многогранника.

Последовательное вписывание друг в друга правильных многогранников называется каскадом.

Правильные многогранники можно вписывать друг в друга. Так, в куб можно вписать октаэдр. Центры граней куба образуют вершины вписанного в него октаэдра. В свою очередь, центры граней октаэдра образуют вершины вписанного в него куба. Многогранники, обладающие таким свойством, называются взаимно двойственными. Таким образом, октаэдр и куб - взаимно двойственные многогранники (рис. 1, а, б).



Другим примером взаимно двойственных правильных многогранников являются додекаэдр и икосаэдр. Центры граней додекаэдра находятся в вершинах вписанного в него икосаэдра. И наоборот, центры граней икосаэдра служат вершинами вписанного в него додекаэдра (рис. 2, а, б).



Правильные многогранники можно вписывать друг в друга не только таким способом, о котором сказано выше. Например, в куб можно вписать тетраэдр. При этом вершины тетраэдра будут лежать в вершинах куба (рис. 3). В свою очередь, куб можно вписать в додекаэдр так, чтобы вершины куба лежали в вершинах додекаэдра (рис. 4).При вписывании одного правильного многогранника в другой, вершины первого могут лежать на серединах ребер второго. Такими многогранниками являются тетраэдр и вписанный в него октаэдр (рис. 5).



Есть и еще один способ: середины ребер вписываемого многогранника лежат в центрах граней описываемого. А именно, построим на гранях куба отрезки, параллельные ребрам и середины которых лежат в центрах граней. Одним из таких отрезков является отрезок AB (рис. 6). Соединим концы этих отрезков, как показано на рисунке 6. В результате получим многогранник, гранями которого являются двадцать треугольников и в каждой вершине сходится пять ребер. Для того чтобы этот многогранник был икосаэдром, нужно подобрать такую длину отрезка AB, чтобы все его ребра были равны.

Пусть ребро куба равно 2. Обозначим длину половины ребра AB через x. Вычислим длину ребра BC. На рисунке 7 изображено сечение куба, перпендикулярное AB и проходящее через его середину D. Имеем = 1 + = – 2x + 2. = + = 2 – 2x + 2. Из условия AB = BC получаем уравнение 4 = 2– 2x + 2. Откуда находим x =, т. е. x равно золотому отношению. (Смирнова И.М., М.:Просвещение, 1995)

Теперь, для того, чтобы сделать мне каскадное вписывание тетраэдра в гексаэдр, необходимо решить ряд задач.

Задача 1. Найдите ребро тетраэдра, вписанного в куб с ребром х.



Решение. Так как ребро у тетраэдра является диагональю грани куба, а грань куба – есть квадрат, то диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника внутри квадрата. По теореме Пифагора: += . y=

Ответ: =

Задача 2. Вычислить, используя 1 модуль Сонобе, отрезок равный ребру тетраэдра, если берется квадрат из бумаги формата А4, т.е. сторона квадрата равна 21 см.

Решение. На 4 шаге (см. приложение, рис.1.4) заметим, что ребро тетраэдра, вписанного в куб с данным размером, совпадает с длиной, равной половине длины куба. Следовательно, отрезок, равный ребру тетраэдра, составляет: 21:2=10,5(см).

Ответ: 10,5 см.

Задача 3. Исследовать, какого размера нужно брать квадрат, чтобы ребро тетраэдра, вписанного в искомый куб, составляло 10,5 см?

Решение. Возьмем бумажный квадрат со стороной 21 см. Используя метод оригами, будем строить тетраэдр. На 3шаге (см. приложение, рис.2.3) заметим, что длина ребра тетраэдра равен длине диагонали куба, куда будет вписан тетраэдр: 10,5 см.

Вывод: чтобы построить каскадное вписывание тетраэдра в гексаэдр по методу оригами, нужно брать квадратный лист одного итого же размера.

Задача 4. Выполнить модель каскадного вписывания тетраэдра в гексаэдр, используя модуль Сонобе , метод оригами, результаты 1-3 задач.

Решение. См. приложение рис. 2.7,2.


Заключение.

По результатам моего исследования можно сделать вывод, что гипотеза подтвердилась. Вывод: искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для ее изучения. Занимаясь оригами, я вышел за границы стандартной программы по математике и познакомился на практике с элементами геометрии в пространстве, а также выяснил, что оригами выступает как иллюстративный материал при проведении исследовательской работы.

С многогранниками мы постоянно встречаемся в нашей жизни – это древние Египетские пирамиды и кубики, которыми играют дети; объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы; вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп, прочные конструкции – шестиугольные соты, которые пчелы строили задолго до появления человека, книжные полки, вазы, письменный стол, шкатулки, коробочки, аквариумы, часы. Строить модели мне очень нравится, особенно используя оригами. Планирую продолжить моделирование каскадных вписываний многогранников.


Список литературы:


  1. "Математика - Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998

  2. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Высшая школа, 1989.

  3. Стахов А. Коды золотой пропорции.

  4. Смирнова И.М. В мире многогранников. - М.: Просвещение, 1995

  5. Журнал «Наука и техника»

  6. Журнал «Квант», 1973, № 8.

  7. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

  8. http://ru.wikipedia.org

  9. http://festival.1september.ru

  10. http://images.yandex.ru

  11. http://pedsovet.su

  12. http://museum.ru

  13. Материалы Википедии.



Приложение.




Рис 1.1




Рис 1.2




Рис 1.3


c:\documents and settings\kejik1\рабочий стол\img_2524.jpg

Рис 1.4




Рис 1.5




Рис 1.6




Рис 2.1




Рис 2.2




Рис 2.3




Рис 2.4




Рис 2.5




Рис 2.6




Рис 2.7



Рис 2.8



Рис 2.9 Рис 2.10

img_2539.jpg

Похожие:

«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей iconПрограмма для молодежи и школьников: «шаг в будущее»
Автор: Онучина Анна Андреевна. Россия г. Усть-Илимск моу «Средняя общеобразовательная школа №8», 7 класс
«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей iconНа выставку
Оргкомитет XVII научно-практической конференции учащихся Псковской области «Шаг в будущее» рекомендует вашу работу для участия в...
«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей iconНа конференцию
Оргкомитет XVII научно-практической конференции учащихся Псковской области «Шаг в будущее» рекомендует вашу работу для участия в...
«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей iconРекомендация на конференцию
Оргкомитет XVIII научно-практической конференции учащихся Псковской области «Шаг в будущее» рекомендует вашу работу для участия в...
«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей iconКонференция учащихся «шаг в будущее». Дорогами псковской провинции село велье. Автор работы: Петров Андрей Викторович
Пушкиногорского района. Использовались разнообразные методы: анализ литературы, изучение данных археологических разведок и беседы...
«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей iconПрограмма XVIII научно-практической конференции учащихся псковской области «шаг в будущее»
На XVIII научно-практическую конференцию учащихся Псковской области «Шаг в будущее» заявлено 200 работ учащихся 3-11 классов, студентов...
«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей iconОргкомитет XVI научно-практической конференции учащихся Псковской области «Шаг в будущее» рекомендует вашу работу для участия в Всероссийском форуме научной
Оргкомитет XVI научно-практической конференции учащихся Псковской области «Шаг в будущее» рекомендует вашу работу для участия в Всероссийском...
«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей iconПриказ т 28. 12. 2009 №1593 г. Псков от 11. 01. 2012 №12 Об итогах проведения научно-практической
Государственного управления образования Псковской области от 02. 12. 2011 №1265 «О проведении научно-практической конференции учащихся...
«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей iconШкольная конференция научно исследовательских и творческих работ обучающихся “Шаг в будущее” Секция Химия. Экология
Школьная конференция научно исследовательских и творческих работ обучающихся “Шаг в будущее”
«Шаг в будущее» Многогранники Автор: Донгак Кузел Кудажыевич, 9 класс, гбоу аграрный лицей iconПрограмма для молодежи и школьников «Шаг в будущее- созвездие нттм»
Образ учителя в литературе
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница