С произвольными неоднородностями
Скачать 20.52 Kb.
|
| УДК 004.652, 539.3 КАРКАСНЫЙ АНАЛИЗ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ: СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ Б.Е. Панченко, А.М. Назаренко Ключевые слова: реляционный каркас, схема реляционной базы данных, предметная область - динамические задачи теории упругости, изотропные среды с произвольными неоднородностями, CASE-средство Введение Современные вычислительные комплексы в сочетании с программными системами, базирующимися на хорошо обусловленных алгоритмах, позволяют высокоэффективно моделировать напряженно-деформированное состояние сред с усложненными свойствами. Однако вопрос автоматизированного синтеза приложений, гибко перенастраиваемых в зависимости от изменения конфигурации механических систем, практически не изучен. Большинство исследований посвящено развитию метода конечных элементов [1]. Однако существуют иные подходы, позволяющие существенно экономить вычислительные ресурсы и повышать тем самым точность вычислений. Поэтому при рассмотрении вопроса проектирования инструментальных программных средств (CASE-средств) [2], позволяющих синтезировать и сопровождать приложения (моделирующие динамическое поведение сложных механических систем), необходимо проанализировать именно эти методики решения задач механики сплошных сред. Для анализа ресурсов конструкций, содержащих значительное число неоднородностей и работающих под воздействием динамических нагрузок, исследуют взаимодействие волн перемещений и напряжений в упругой среде с отверстиями, включениями, трещинами или линейными вставками. Поэтому изучение дифракции упругих волн на системах произвольных неоднородностей является вопросом важным и актуальным. Однако вследствие необходимости привлечения больших объемов вычислений и значительных ресурсов цифровой памяти такие задачи исследованы мало. В связи с этим особое значение приобретают эффективные параллельные алгоритмы, в основе которых лежат обоснованные аналитические методы [3]. Для решения плоских и антиплоских задач теории дифракции [4,5] большой эффективностью обладает метод интегральных уравнений [6-8]. Дополнительные преимущества этого метода заключаются в сокращении числа пространственных переменных, достаточно высокой скорости сходимости и возможности применения различных эффективных численных методов решения [6]. Кроме того, метод обладает большими возможностями при построении параллельных вычислительных схем [9]. Постановка задачи При проектировании того или иного CASE-средства синтеза и сопровождения приложений как правило предметная область (ПрО) представляется в виде схемы базы данных (БД) [2,10]. И все дальнейшие действия сводятся к проектированию инструментального приложения БД. Целью настоящей работы является анализ специализированной ПрО - метода сингулярных интегральных уравнений (СИУ), а также алгоритма параллельного численного решения СИУ на примере моделирования задач динамической теории упругости. Результатом анализа является построение схемы БД и как следствие – проект CASE-средства параллельного решения систем СИУ, разработанный на ПрО моделирования поведения систем неоднородностей в изотропной неограниченной среде от воздействия гармонических волн плоской и антиплоской деформации. Схему БД исследуемой ПрО будем разрабатывать с использованием каркасного анализа, когда реляционный каркас [10] используется как шаблон схемы. Каркасный анализ ПрО позволил сформировать списки основных сущностей-объектов, а также всех связей между ними. И обеспечить структуре разрабатываемой программной системы соответствие требованиям модифицируемости и безаномальности [10], что в свою очередь позволяет говорить о кроссплатформности и интероперабельности проектируемого средства. Дополнительным конкурентным преимуществом такого подхода является возможность применения современных ОЛАП-решений к получаемым итоговым множествам (массивам решений), хранимым в реляционной БД. И тем самым корректному решению обратных задач механики – идентификации и управления поведением систем [11]. Такой анализ позволяет учесть в схеме БД все необходимые совокупности сущностей-объектов – метаданных, геометрических характеристик исследуемых решеток, искомых величин, объектов интерфейса приложений и т.п. При этом основные математические структуры ПрО, которые положены в основу проектируемого инструментального средства, представлены в виде списков. А основные функции работают как процедуры отслеживания целостности данных. Проведем подробное описание некоторых базовых задач, а также основных отличительных особенностей метода СИУ для каждой из них. Антиплоская деформация Под продольным сдвигом (или антиплоской деформацией) понимают напряженно-деформированное состояние цилиндрического тела, нагруженного по боковой поверхности усилиями, направленными и равномерно распределенными вдоль образующей. В предположении, что ось деформации направлена вдоль оси OZ декартовой прямоугольной системы координат OXYZ, отличными от нуля являются две компоненты тензора напряжений   и одна компонента перемещения W(x,y,t), причем: ,  ,  ,где  - плотность,  - модуль сдвига среды, t - время, f - объемная сила.Из этого вытекает, что перемещение W(x,y,t) удовлетворяет неоднородному волновому уравнению Гельмгольца [6]:  ,  .Система цилиндрических неоднородностей в бесконечной среде Рассмотрим неограниченное изотропное пространство, содержащее систему m бесконечных вдоль оси OZ неоднородностей, поперечное сечение которых представляет собой замкнутые (без общих точек) или разомкнутые контура произвольной формы. Обозначим L-совокупность указанных контуров и пусть положительное направление выбрано так, что при движении вдоль L область D остаётся слева (рис. 1). Совокупность L будем разделять на: 1.  – совокупность контуров однородных упругих включений;2.  – совокупность контуров отверстий;3.  – совокупность замкнутых контуров однородных жёстких включений.4.  – совокупность разомкнутых контуров криволинейных жёстких вставок.5.  – совокупность криволинейных контуров трещин-разрезов. Рис. 1 В качестве источника внешнего воздействия поля перемещений может выступать набегающая на цилиндры из бесконечности монохроматическая SH-волна или гармонический сосредоточенный источник заданной интенсивности [7]. В результате взаимодействия приходящей волны с указанной системой неоднородностей возникает сложное дифрагированное волновое поле. Считаем, что отражённая и проникающая (случай присутствия упругих включений) волны имеют ту же частоту колебаний, что и возбуждающий источник. Это позволяется сделать переход к амплитудам перемещений. Пусть  ,  и  – амплитуды перемещений возбуждающего, отраженного и проникающего полей соответственно. Тогда общее поле W равно  в матрице (область  ) и  внутри упругих включений (область  ). В случае гармонической зависимости от времени ( ) амплитуды и удовлетворяют уравнениям Гельмгольца [6].Сформулируем краевые условия на L для разрешающих уравнений Гельмгольца. 1. На  :  ,  – условие типа склейки соответствующих касательных напряжений и перемещений со стороны матрицы и включений.
Таким образом, задача дифракции SH-волн на системе неоднородностей указанного типа в неограниченной изотропной среде сводится к решению уравнений Гельмгольца при выполнении краевых условий на L и дополнительных условий излучения типа Зоммерфельда на бесконечности [6]. В данной работе решение краевых задач 1 – 4 основано на представлении амплитуды рассеянного поля (и амплитуды приникающего поля при наличии ) в виде потенциала типа простого слоя [9]: ,  ,  , (1) ,  ,  ,а краевой задачи 5 – в виде потенциала типа двойного слоя:  . (2)Приведенные интегральные представления автоматически удовлетворяют необходимым уравнением Гельмгольца и условиям излучения на бесконечности. Остаётся выполнить граничные условия на контурах неоднородностей. Сделаем следующее замечание. Удовлетворение граничных условий по перемещениям приводит к интегральным уравнениям 1-го рода с логарифмическими ядрами, численная реализация которых не очень эффективна с точки зрения точности параллельных вычислений. С целью получения СИУ 1-го рода, для которых разработана высокоточная схема параллельных вычислений [9], граничное равенство по перемещениям дифференцировалось по дуговой координате  . Единственные решения СИУ 1-го рода, которые возникают в результате выполнения модифицированных граничных условий, получаются, если к этим уравнениям присовокупить некоторые дополнительные интегральные равенства, вытекающие из постановки соответствующей краевой задачи.В случае, если совокупность содержит I контуров упругих включений, необходимые дополнительные условия вытекают из равенства средних перемещений на  ,  (  – длина контура ): , . (3)Если совокупность  содержит K контуров подвижных жёстких включений, дополнительные интегральные равенства следуют из закона движения включений как абсолютно жёстких тел. Уравнения движения включений здесь можно записать в виде: ,  , (4)где  – частота колебаний,  и  – плотность и площадь однородных жёстких включений.В случае  – совокупность M контуров криволинейных жёстких вставок дополнительные условия вытекают из равенства нулю главного вектора сил, действующих на контуре  m-й вставки ( ): ,  на  . (5)Удовлетворение соответствующих граничных условий на L сводит рассматриваемые краевые задачи к системе интегральных уравнений.
 ,  . (6)Здесь решение имеет корневую особенность на концах n–го разреза. В качестве примера запишем СИУ в случае  , где – совокупность I контуров упругих включений, – совокупность J контуров полостей. Имеем  , (7)  ,  ,  ,  .Здесь ядра  ,  – сингулярны, остальные ядра – непрерывны. СИУ следует рассматривать совместно с дополнительными условиями (3).В случае полупространства с защемлённой или свободной от сил границей y = 0 система СИУ может быть построена, если исходить из соответствующих интегральных представлений, рассмотренных в [12-14]. |
.
.
.
– берега трещин-разрезов свободны от сил.
дают систему СИУ 1-го рода. Необходимые дополнительные условия для разрешимости этих уравнений вытекают из (4).
на 
на 
, Разместите кнопку на своём сайте: