С произвольными неоднородностями




Скачать 20.52 Kb.
НазваниеС произвольными неоднородностями
страница1/3
Дата03.02.2016
Размер20.52 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
УДК 004.652, 539.3


КАРКАСНЫЙ АНАЛИЗ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ: СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД
С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ



Б.Е. Панченко, А.М. Назаренко


Ключевые слова: реляционный каркас, схема реляционной базы данных, предметная область - динамические задачи теории упругости, изотропные среды с произвольными неоднородностями, CASE-средство


Введение

Современные вычислительные комплексы в сочетании с программными системами, базирующимися на хорошо обусловленных алгоритмах, позволяют высокоэффективно моделировать напряженно-деформированное состояние сред с усложненными свойствами. Однако вопрос автоматизированного синтеза приложений, гибко перенастраиваемых в зависимости от изменения конфигурации механических систем, практически не изучен. Большинство исследований посвящено развитию метода конечных элементов [1]. Однако существуют иные подходы, позволяющие существенно экономить вычислительные ресурсы и повышать тем самым точность вычислений. Поэтому при рассмотрении вопроса проектирования инструментальных программных средств (CASE-средств) [2], позволяющих синтезировать и сопровождать приложения (моделирующие динамическое поведение сложных механических систем), необходимо проанализировать именно эти методики решения задач механики сплошных сред.

Для анализа ресурсов конструкций, содержащих значительное число неоднородностей и работающих под воздействием динамических нагрузок, исследуют взаимодействие волн перемещений и напряжений в упругой среде с отверстиями, включениями, трещинами или линейными вставками. Поэтому изучение дифракции упругих волн на системах произвольных неоднородностей является вопросом важным и актуальным. Однако вследствие необходимости привлечения больших объемов вычислений и значительных ресурсов цифровой памяти такие задачи исследованы мало. В связи с этим особое значение приобретают эффективные параллельные алгоритмы, в основе которых лежат обоснованные аналитические методы [3]. Для решения плоских и антиплоских задач теории дифракции [4,5] большой эффективностью обладает метод интегральных уравнений [6-8]. Дополнительные преимущества этого метода заключаются в сокращении числа пространственных переменных, достаточно высокой скорости сходимости и возможности применения различных эффективных численных методов решения [6]. Кроме того, метод обладает большими возможностями при построении параллельных вычислительных схем [9].


Постановка задачи


При проектировании того или иного CASE-средства синтеза и сопровождения приложений как правило предметная область (ПрО) представляется в виде схемы базы данных (БД) [2,10]. И все дальнейшие действия сводятся к проектированию инструментального приложения БД.

Целью настоящей работы является анализ специализированной ПрО - метода сингулярных интегральных уравнений (СИУ), а также алгоритма параллельного численного решения СИУ на примере моделирования задач динамической теории упругости. Результатом анализа является построение схемы БД и как следствие – проект CASE-средства параллельного решения систем СИУ, разработанный на ПрО моделирования поведения систем неоднородностей в изотропной неограниченной среде от воздействия гармонических волн плоской и антиплоской деформации.

Схему БД исследуемой ПрО будем разрабатывать с использованием каркасного анализа, когда реляционный каркас [10] используется как шаблон схемы. Каркасный анализ ПрО позволил сформировать списки основных сущностей-объектов, а также всех связей между ними. И обеспечить структуре разрабатываемой программной системы соответствие требованиям модифицируемости и безаномальности [10], что в свою очередь позволяет говорить о кроссплатформности и интероперабельности проектируемого средства.

Дополнительным конкурентным преимуществом такого подхода является возможность применения современных ОЛАП-решений к получаемым итоговым множествам (массивам решений), хранимым в реляционной БД. И тем самым корректному решению обратных задач механики – идентификации и управления поведением систем [11].

Такой анализ позволяет учесть в схеме БД все необходимые совокупности сущностей-объектов – метаданных, геометрических характеристик исследуемых решеток, искомых величин, объектов интерфейса приложений и т.п. При этом основные математические структуры ПрО, которые положены в основу проектируемого инструментального средства, представлены в виде списков. А основные функции работают как процедуры отслеживания целостности данных.

Проведем подробное описание некоторых базовых задач, а также основных отличительных особенностей метода СИУ для каждой из них.


Антиплоская деформация


Под продольным сдвигом (или антиплоской деформацией) понимают напряженно-деформированное состояние цилиндрического тела, нагруженного по боковой поверхности усилиями, направленными и равномерно распределенными вдоль образующей. В предположении, что ось деформации направлена вдоль оси OZ декартовой прямоугольной системы координат OXYZ, отличными от нуля являются две компоненты тензора напряжений и одна компонента перемещения W(x,y,t), причем:

, , ,

где - плотность, - модуль сдвига среды, t - время, f - объемная сила.

Из этого вытекает, что перемещение W(x,y,t) удовлетворяет неоднородному волновому
уравнению Гельмгольца [6]:

, .

Система цилиндрических неоднородностей в бесконечной среде

Рассмотрим неограниченное изотропное пространство, содержащее систему m бесконечных вдоль оси OZ неоднородностей, поперечное сечение которых представляет собой замкнутые (без общих точек) или разомкнутые контура произвольной формы. Обозначим L-совокупность указанных контуров и пусть положительное направление выбрано так, что при движении вдоль L область D остаётся слева (рис. 1).

Совокупность L будем разделять на:

1. – совокупность контуров однородных упругих включений;

2. – совокупность контуров отверстий;

3. – совокупность замкнутых контуров однородных жёстких включений.

4. – совокупность разомкнутых контуров криволинейных жёстких вставок.

5. – совокупность криволинейных контуров трещин-разрезов.





Рис. 1


В качестве источника внешнего воздействия поля перемещений может выступать набегающая на цилиндры из бесконечности монохроматическая SH-волна или гармонический сосредоточенный источник заданной интенсивности [7]. В результате взаимодействия приходящей волны с указанной системой неоднородностей возникает сложное дифрагированное волновое поле. Считаем, что отражённая и проникающая (случай присутствия упругих включений) волны имеют ту же частоту колебаний, что и возбуждающий источник. Это позволяется сделать переход к амплитудам перемещений. Пусть , и – амплитуды перемещений возбуждающего, отраженного и проникающего полей соответственно. Тогда общее поле W равно в матрице (область ) и внутри упругих включений (область ). В случае гармонической зависимости от времени () амплитуды и удовлетворяют уравнениям Гельмгольца [6].

Сформулируем краевые условия на L для разрешающих уравнений Гельмгольца.

1. На : , – условие типа склейки соответствующих касательных напряжений и перемещений со стороны матрицы и включений.

  1. На : .

  2. На : .

  3. На : .

  4. На : – берега трещин-разрезов свободны от сил.

Таким образом, задача дифракции SH-волн на системе неоднородностей указанного типа в неограниченной изотропной среде сводится к решению уравнений Гельмгольца при выполнении краевых условий на L и дополнительных условий излучения типа Зоммерфельда на бесконечности [6].

В данной работе решение краевых задач 1 – 4 основано на представлении амплитуды рассеянного поля (и амплитуды приникающего поля при наличии ) в виде потенциала типа простого слоя [9]:

, , , (1)

, , ,

а краевой задачи 5 – в виде потенциала типа двойного слоя:

. (2)

Приведенные интегральные представления автоматически удовлетворяют необходимым уравнением Гельмгольца и условиям излучения на бесконечности. Остаётся выполнить граничные условия на контурах неоднородностей.

Сделаем следующее замечание. Удовлетворение граничных условий по перемещениям приводит к интегральным уравнениям 1-го рода с логарифмическими ядрами, численная реализация которых не очень эффективна с точки зрения точности параллельных вычислений. С целью получения СИУ 1-го рода, для которых разработана высокоточная схема параллельных вычислений [9], граничное равенство по перемещениям дифференцировалось по дуговой координате . Единственные решения СИУ 1-го рода, которые возникают в результате выполнения модифицированных граничных условий, получаются, если к этим уравнениям присовокупить некоторые дополнительные интегральные равенства, вытекающие из постановки соответствующей краевой задачи.

В случае, если совокупность содержит I контуров упругих включений, необходимые дополнительные условия вытекают из равенства средних перемещений на ,
( – длина контура ):

, . (3)

Если совокупность содержит K контуров подвижных жёстких включений, дополнительные интегральные равенства следуют из закона движения включений как абсолютно жёстких тел. Уравнения движения включений здесь можно записать в виде:

, , (4)

где – частота колебаний, и – плотность и площадь однородных жёстких включений.

В случае – совокупность M контуров криволинейных жёстких вставок дополнительные условия вытекают из равенства нулю главного вектора сил, действующих на контуре m-й вставки ():

, на . (5)

Удовлетворение соответствующих граничных условий на L сводит рассматриваемые краевые задачи к системе интегральных уравнений.

  1. На выполнение граничных условий по напряжениям приводит к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода, а выполнение модифицированных граничных условий по перемещениям – к СИУ 1-го рода. Для замыкания алгоритма к последним необходимо присовокупить дополнительные условия (3).

  2. На краевая задача сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода.

  3. На модифицированные граничные условия дают систему СИУ 1-го рода. Необходимые дополнительные условия для разрешимости этих уравнений вытекают из (4).

  4. На также выполняются модифицированные граничные условия и получаются СИУ 1-го рода на системе разомкнутых контуров. Дополнительные интегральные равенства, обеспечивающие единственность решения, имеют вид (5). Здесь плотности интегральных уравнений равняются скачкам производной по нормали от амплитуды перемещения ( на ), и они имеют корневую особенность на концах m-й криволинейной вставки ().

  5. На интегральное представление (2) автоматически обеспечивает непрерывность производной по нормали от перемещения и скачок перемещения на ( на , ). Краевая задача сводится к сингулярным интегро-дифференциальным уравнениям 1-го рода. Необходимые дополнительные условия вытекают из условия равенства нулю скачков перемещений на концах , и записываются в виде

, . (6)

Здесь решение имеет корневую особенность на концах n–го разреза.

В качестве примера запишем СИУ в случае , где ­– совокупность I контуров упругих включений, – совокупность J контуров полостей. Имеем



, (7)

, ,



, .

Здесь ядра , – сингулярны, остальные ядра – непрерывны. СИУ следует рассматривать совместно с дополнительными условиями (3).

В случае полупространства с защемлённой или свободной от сил границей y = 0 система СИУ может быть построена, если исходить из соответствующих интегральных представлений, рассмотренных в [12-14].

  1   2   3

Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница