Литература по математическим методам в педагогике литература




Скачать 38.01 Kb.
НазваниеЛитература по математическим методам в педагогике литература
страница2/10
Дата03.02.2016
Размер38.01 Kb.
ТипЛитература
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


Вывод: Мода равна 2, т.к. ρx =0.2-max ; при ΔX=idem ρ=p

Медиана (Мe) - значение случайной величины из вариационного ряда, которое делит его на 2 части: больше и меньше значения Мe.

Пример 2. Пусть имеем ряд из n оценок: 2,2,3,4,4 (n,- нечетное число). Здесь Мe =3. Для ряда, где n - четное число: 2,2,3,4,4,5, Me = 3,5 балла, т.е. полусумме "центральных" оценок.

СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ОЖИДАНИЕ


Среднее арифметическое X определяется по формуле:

(6)

где Xi - значения переменной величины X,принимающей n значений.

Среднее значение случайной величины X, способной принимать значения X1, X2, X3, …, Xn, соответственно с вероятностями P1, P2, P3, ..., Pn определяется по формуле:

(7)

где M(Х) - математическое ожидание величины X (среднее "взвешенное").

Учитывая, что



из формулы (7)следует, что

(8)

т.е. формула аналогична формуле (6).

Пример 3. Пусть по результатам экзаменов 10 уч-ся получили оценку "2", 70 - "3", 10 - "4", 10 - "5". Тогда: Р1 = 0,1; Р2 = 0,7; Р3 = Р4 = 0,1. Средний балл равен: 0,1 ∙ 2 + 0,7 ∙ 3 + 0,1 ∙ 4 + 0,1 ∙5 = 3,2.

Если случайная величина X распределена с плотностью ρ(X), то

(9)

Ряд (8) и несобственный интеграл (9) должны быть сходящимися [3].


ДИСПЕРСИЯ. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ.

КВАНТИЛИ. ПОГРЕШНОСТЬ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО

ИЗМЕРЕНИЯ


Среднее квадратическое (σ) определяется по формуле:

(10)


Дисперсия определяется как квадрат σ по формуле [2,3,4]:


(11)

Очевидно, что при больших значениях N σN ≈ σN-1 и DN ≈ DN-1

Пример 4. Пусть имеем следующие результаты ПИ (1-го экзамена: 2,3,3,4,4,5,5,5,5,5 и 2-го: 3,3,4,4,4,4,4,5,5,5). Хотя средний балл одинаков (), но σ1 ≠ σ2 .

Схема расчетов по формуле типа (10):

Таблица 3

i


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Xi

2

3

3

4

4

5

5

5

5

5

Xi

-2,1

-1,1

-1,1

-0,1

-0,1

0,9

0,9

0,9

0,9

0,9

(Xi)2

4,41

1,21

1,21

0,01

0,01

0,81

0,81

0,81

0,31

0,81



Схема расчетов по формуле типа (11):

Таблица 4

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



Xi

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5



X2i

9

9

16

16

16

16

16

25

25

25





Видно, что формула (11) более "удобная". Величина σ может быть использована для определения погрешности измерения с по­мощью формулы вида [2]:

(12)

где N - число измерений, t γ - квантиль нормального распределения.

(Квантиль - одна из числовых характеристик случайной вели­чины X. Квантиль Кр порядка р - это число, для которого вероятность неравенства

X < Кр равна Р. Так, например, кван­тиль К1/2 - это медиана. Для нормального закона: К1/4 = - 0,67; К3/4 = 0,67. (БСЭ,т.2,с.569)).

Квантиль нормального распределения, соответствующий довери­тельной вероятности γ, приведен в таблице 5.

Таблица 5

γ

0,80

0,85

0,90

0,95

0,99

t γ

0,84

1,04

1,28

1,64

2,33


Видно, что для значений γ, встречающихся в ПИ (γ € [0,8; 0,9], t γ в среднем ≈ 1.

Тогда формула (12) принимает вид:

(13)

(если считать, что оценки распределены по нормальному закону).

Для нашего примера получаем:

Х1€ [4,10 ± 0,33] и Х2€ [4,10 ± 0,22]. (14)*

При построении графиков (гистограмм) следует учитывать, что экс­периментальные данные имеют погрешность ΔX=σ и с учетом этой погрешности и строить графики (гистограммы) в виде "полосы" шири­ной σ, т.е. для однократного измерения ΔX=σ, а также в случаях, когда данные измерения не распределяются по нормальному закону (вместо (14)*) правильней положить:

Х1€ [4,10 ± 1,04](!?) и Х2€ [4,10 ± 0,71]

Не следует считать, что с увеличением N погрешность асимп­тотически стремится к нулю, т.к. σ зависит от N , а разброс (отклонение) - |Хi-| с ростом N увеличивается (как сум­ма квадратов отклонения - см. формулу (10) и др.).


РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА. ПРАВИЛО "ТРЕХ СИГМ"


Так называемое "правило трех сигм" известно в математической статистике как простой прием проверки распределения значений слу­чайной величины на соответствие его нормальному распределению Гаусса. Считается, что если 68,3% от общего количества значений случайной величины (экспериментальных значений в ПИ) попадают в полосу (Х± σ), 94,4% - в полосу (Х±2 σ) и 99,7% - в полосу (Х±3 σ), то данное множество экспериментальных данных распределено по нор­мальному закону [2,3,4].

Из данных, использованных выше в примере № 4, видно, что в полосу ±2 σ попадает в первом случае 20% оценок, во втором - всего 30%, т.е. данные множества не распределены по закону Гаусса.

Если возникают сложности с вычислением σ (большой массив, нет микрокалькулятора с функцией вычисления σ как у типа "MK71"), то можно воспользоваться таблицей 6, приведенной ниже [8]).

Таблица 6

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Σ

Wi

1

4

11

21

26

21

11

4

1

100%

Здесь: i - номер интервала для случайной величины X (ин­тервал значений X от Хmin до Хmax делится на 9 равных частей), Wi - частотный показатель, равный проценту "попадания" значения. X в i-й интервал, т.е.:

Wi = ni / n0 ,

где - ni количество значений величины X попавшей в i -и интервал, n0 - общее количество значений X.

Возможны и другие, более точные, процедуры проверки распреде­ления данных относительно нормального распределения, например, с помощью критерия Пирсона [8], M ,Мe,: M ≈ Мe ≈


РАЗМАХ ОЦЕНОК. РАНЖИРОВАНИЕ


Под размахом оценок (d) понимается разность между максималь­ным и минимальным значением оценок в выборной шкале. Так, например, в 5-балльной шкале qmax= 5,qmin= 1 и d = 5-1= 4 бал­ла. В 10-балльной шкале d = 9 и т.п. При выборе размаха шкалы при проведении педагогических измерений следует руководствоваться правилом: размах шкалы выбирается тот, при котором минимальна дисперсия.

При выставлении оценок меньшую дисперсию имеют, как правило, интервальные оценки: 3-4, 7-8 и т.п.

Под ранжированием понимается проставление рангов показате­лям анкеты (объектам) по схеме: самому важному присваивается ранг 1- аналог 1-го места, наименее важному - ранг n , где n -число ранжируемых показателей (объектов). Остальным показателям присваиваются ранги от 2 до n - 1. Если rij ранг, выстав­ленный (назначенный) j - м экспертом (респондентом) i-му по­казателю (объекту), то сумма rij по индексу j означает сумми­рование рангов, назначенных всеми m экспертами одному i-му показателю. Эта сумма

(15)

где Ri - суммарный ранг i-го показателя.

Суммирование rij по индексу i означает сумму мест, назначенных j - м экспертом всем n показателям:

(16)

Если ранги все разные ("несвязанные"), то всегда

Rj= n (n+1)/2 (17) Пусть, например, rij=1,2,3,4,5 (n=5). Видно, что дей­ствительно Rj =(5∙6)/2 = 15

Если в группе оценок l более важных, а t - одинаковых, то величина "связанного" ранга

rсв= l+(t+1)/2 (18)

Пусть, например, rij = 1,2,2,3,4,4,5. Для r = 2, l = 1, t = 2 и rсв = 2,5.

Для r = 4, l = 4, t = 2 и rсв = 5,5.

Видно, что величина rсв равна полусумме занятых мест: (2 + 3)/2 = 2,5; (5 + 6)/2 = 5,5. Можно убедиться, что для rсв справедливо равенство (16). Величину rсв приходится учитывать в ряде статистических критериев, например, в статистике "xu-квадрат" (χ2)[6]. Расчеты показывают, что если "длина связи" (количество одинаковых рангов) составляет не более 1/3 от общего количества рангов, то с погрешностью, не превышающей 10%, можно использовать формулы математической статистики, выведенные для случая несвязанных рангов. Дело в том, что в практике ПИ часто встречаются ситуации, когда эксперты или респонденты выставляют одинаковые ранги группам показателям. Рекомендуется советовать рес­пондентам не назначать одинаковых рангов более чем по 30 % показателям.

При использовании значений рангов для определения весовых ко­эффициентов (ВК) показателей анкеты необходимо сначала произвести их "инверсию" по формуле

rij*=(n+1)- rij , (19)

т.к. иначе значения ВК для более важных показателей будут меньши­ми. С учетом формулы (17) для определения значений ВК можно исполь­зовать формулу вида:

(20)


где n- число ранжируемых показателей, m - число респон­дентов, t - номер показателя.

Значения rij можно использовать в методике "метод наименьшей суммы мест", когда наиболее важный показатель (объект) определяется по наименьшей сумме полученных от респондентов мест.

При балльной оценке показателей (Бij) для определения ВК можно использовать формулу:

(21)

АССИМЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Литература по математическим методам в педагогике литература iconКрупнейшие Электронные библиотеки
Альдебаран крупнейшая электронная библиотека on-line. Здесь собрана художественная, учебная и техническая литература и книги различных...
Литература по математическим методам в педагогике литература icon1. Античная литература Апулей
Скандинавская литература 9 авторов, 52 текста; 10. Польская литература 6 авторов, 20 текстов
Литература по математическим методам в педагогике литература iconLidia Zasaviţchi Janna Nikolaev
Всесоюзное совещание по физическим и математическим методам в координационной химии (Кишинев)
Литература по математическим методам в педагогике литература iconРабочая программа 5 класс Литература пояснительная записка
«Литература. 1-11 кл.»/ Под ред. Г. И. Беленького, Ю. И. Лысого, М: «Мнемозина», 2009 год; умк состоит прежде всего из учебника «Литература....
Литература по математическим методам в педагогике литература iconЛитература основная литература общая
Электронный вариант. Саратов, 2005. Патентное законодательство. Юридические акты и комментарий. М.: "Юрид литература", 1994. Справочник...
Литература по математическим методам в педагогике литература iconЛитература второй половины 19 века Литература конца 19 и начала 20 века Литература первой половины 20 века Литература второй половины 20 века Тест имеет следующую структуру: Раздел «Теория литературы»
Тест состоит из 30 заданий, к каждому из которых даны варианты ответов. Задания расположены по принципу возрастания трудности. При...
Литература по математическим методам в педагогике литература iconУчебно-методический комплекс по дисциплине дпп. Ф. 14. Детская литература (уд-04. 13-004) Для специальности 050301 Русский язык и литература
Учебно-методический комплекс дисциплины «Детская литература» раскрывает содержание и методику работы по одной из основных дисциплин...
Литература по математическим методам в педагогике литература iconКазанский государственный университет Научная библиотека им. Н. И. Лобачевского
Литература. Литературоведение. Народное поэтическое творчество. Художественная литература. 20
Литература по математическим методам в педагогике литература iconЛитература: тематический план
Тематическае планы лекционных курсов, практических занятий и экзаменационные вопросы, рекомендуемая литература
Литература по математическим методам в педагогике литература iconСтатья относится к достаточно самостоятельной области математическим методам анализа социологических данных. Основной интерес в ней к математическим вопросам, социологические постановки служат для постановки математических задач.
Орлов А. И. Теория измерений и методы анализа данных // Современная социология — современной России: Сборник статей памяти первого...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница