Литература по математическим методам в педагогике литература




Скачать 38.01 Kb.
НазваниеЛитература по математическим методам в педагогике литература
страница7/10
Дата03.02.2016
Размер38.01 Kb.
ТипЛитература
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Контрольная группа

















X




X































X

X




X




X













X




X

X

X

X




X

X

X







X




10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Фон

Рис. 4


Такое распределение данных по их значениям дает нам уже го­раздо больше, чем представление в виде рядов. Однако подобную груп­пировку используют в основном лишь для качественных данных, четко разделяющихся на обособленные категории.

Что касается количественных данных, то они всегда располага­ются на непрерывной шкале и, как правило, весьма многочисленны. Поэтому такие данные предпочитают группировать по классам, чтобы яснее видна была основная тенденция распределения.

Такая группировка состоит в основном в том, что объединяют данные с одинаковыми или близкими значениями в классы и определяют частоту для каждого класса. Способ разбиения на классы зависит от того, что именно экспериментатор хочет выявить при разделении измерительной шкалы на равные интервалы. Например, в нашем случае можно сгруппировать данные по классам с интервалами в две или три единицы шкалы:

Контрольная группа







X X



















X

X

X










X

X

X

X







X

X

X

X

X




X

Классы 10-11 12-13 14-15 16-17 18-19 20-21 22-23

Частоты 1 2 5 3 3 О I

Фон (с интервалами в 2 ед.)


Рис. 5












X
















X













X

X













X

X

X







X


9-11

1

X

X

11-14

4

X

X

15-17

6

X

X

18-20

3

X


21-23

1

Классы


Частоты

Фон (с интервалами в 3 ед.)

Рис. 6

Выбор того или иного типа группировки зависит от различных соображений. Так, в нашем случае группировка с интервалами между классами в две единицы хорошо выявляет распределение результатов вокруг центрального "пика". В то же время группировка с интервалами в три единицы обладает тем преимуществом, что дает более обобщенную и упрощенную картину распределения, особенно если учесть, что чис­ло элементов в каждом классе невелико *. Именно поэтому в дальней­шем мы будем оперировать классами в три единицы. Данные, разбитые на классы по непрерывной шкале, нельзя представить графически. По­этому предпочитают использовать так называемые гистограммы - способ графического представления в виде примыкающих друг к другу прямо­угольников (см. рис. 7).

Наконец, для еще более наглядного представления общей конфигурации распределения мож­но строить полигоны распределе­ния частот. Для этого отрезками прямых соединяют центры верхних сторон всех прямоугольников гис­тограммы, а затем с обеих сторон "замыкают" площадь под кривой, доводя концы полигонов до горизонтальной оси (частота = 0) в точках, соответствующих самым крайним значениям распределения. При этом получают картину, представленную на рис. 8.




Рис. 7


Частоты



9-11 12-14 15-17 18-20 21-23 5-7 8-10 11-1 14-16 17-19 20-22

Фон После воздействия

Контрольная группа Опытная группа

Рис. 8

Если сравнивать полигоны, например, для фоновых (исходных) значений контрольной группы и значений после воздействия для опыт­ной группы, то можно будет увидеть, что в первом случае полигон почти симметричен (т.е., если сложить полигон вдвое по вертикали, проходящей через середину, то обе половины належатся друг на друга), тогда как для экспериментальной группы он асимметричен и смещен влево (так что справа у него как бы вытянутый шлейф).

Полигон для фоновых данных контрольной группы сравнительно близок к идеальной кривой, которая могла бы получиться для беско­нечно большой популяции. Такая кривая - кривая нормального распре­деления - имеет колоколообразную форму и строго симметрична. Если же количество данных ограничено (как в выборках, используемых для научных исследований), то в лучшем случае получают лишь некоторые приближение (аппроксимацию) к кривой нормального распределения. Если вы построите полигон для фоновых значений опытной группы и значений после воздействия для контрольной группы, то вы наверняка заметите, что также будет обстоять дело и в этих случаях.

__________________________________________________________________

*При небольшом количестве данных число классов по возможности должно быть где-то в пределах от 10 до 20, с интервалами до 10 и более.


Оценка центральной тенденции

Если распределения для контрольной группы и для фоновых зна­чений в опытной группе более или менее симметричны, то значения, по­лучаемые в опытной группе после воздействия, группируются, как уже говорилось, больше в левой части кривой. Это говорит о том, что после употребления марихуаны выявляется тенденция к ухудшению пока­зателей у большого числа испытуемых.

Для того чтобы выразить подобные тенденции количественно, ис­пользуют три вида показателей моду, медиану и среднюю.

1. М о д а (Мо) - это самый простой из всех трех показателей. Она соответствует либо наиболее частому значению, либо среднему значению класса с наибольшей частотой. Так, в нашем примере для экспериментальной группы мода для фона будет равна 15 (этот резуль­тат встречается четыре раза и находится в середине класса 14-15-16), а после воздействия - 9 (середина класса 8-9-10).

Мода используется редко и главным образом для того, чтобы дать общее представление о распределении. В некоторых случаях у распределения могут быть две моды; тогда говорят о бимодальном рас­пределении. Такая картина указывает на то, что в данном совокуп­ности имеются две относительно самостоятельные группы.

2. М е д и а н а (Ме) соответствует центральному значению в последовательном ряду всех полученных значений. Так, для фона в экспериментальной группе, где мы имеем ряд:

Бимодальное распределение

10 11 12 13 14 14 15 15 15 15 17 17 19 20 21,

медиана соответствует 8-му значению, т.е. 15. Для результатов воздей­ствия в экспериментальной группе, она равна 10.



Рис. 9

В случае если число данных n четное, медиана равна средней арифметической между значениями, находящимися в ряду на n /2-м и n + 1-м местах. Так, для результатов воздействия для восьми юношей опытной группы медиана располагается между значениями, нахо­дящимися на 4-м (8/2 = 4) и 5-м местах в ряду. Если выписать весь ряд для этих данных, а именно

7 8 9 11 12 13 14 16,

то окажется, что медиана соответствует (11 + 12) / 2 = 11,5 (видно, что медиана не соответствует здесь ни одному из полученных значе­ний).

3. Средняя арифметическая (<М>) (далее просто "средняя") - это наиболее часто используемый показатель центральной тенденции. Ее применяют, в частности, в расчетах, необходимых для описания рас­пределения и для его дальнейшего анализа. Ее вычисляют, разделив сумму всех значений данных на число этих данных. Так, для нашей опытной группы она составит 15,2 (228/15) для фона и 11,3(169/15) для резуль­татов воздействия.

Если теперь отметить все эти три параметра на каждой из кривых для экспериментальной группы, то будет видно, что при нормальном распределении они более или менее совпадают, а при асимметричном распределении - нет.

Прежде чем идти дальше, полезно будет вычислить все эти пока­затели для обоих распределений контрольной группы - они пригодятся нам в дальнейшем:




Рис. 10

Как мы уже отмечали, характер распределения результатов после воздействия изучаемого фактора в опытной группе дает существенную информацию о том, как испытуемые выполняли задание. Сказанное отно­сится и к обоим распределениям в контрольной группе:





Рис. 11

Сразу бросается в глаза, что если средняя в обоих случаях поч­ти одинакова, то во втором распределении результаты больше разброса­ны, чем в первом. В таких случаях говорят, что у второго распределе­ния больше диапазон, или размах вариаций, т.е. разница между макси­мальным и минимальным значениями.

Так, если взять контрольную группу, то диапазон распределения для фона составит 22-10=12, а после воздействия 25-8=17. Это позво­ляет предположить, что повторное выполнение задачи на глазодвигатель­ную координацию оказало на испытуемых из контрольной группы опреде­ленное влияние: у одних показатели улучшились; у других ухудшились.*

Однако для количественной оценки разброса результатов относительно средней в том или ином распределении существуют более точные методы, чем измерение диапазона.

Чаще всего для оценки разброса определяют отклонение каждого из полученных значений от средней (М - <М>), обозначаемое буквой, а затем вычисляют среднюю арифметическую всех этих отклонений. Чем она больше, тем больше разброс данных и тем более разнородна выбор­ка. Напротив, если эта средняя невелика, то данные больше сконцентри­рованы относительно их среднего значения и выборка более однородна.

Итак, первый показатель, используемый для оценки разброса, это среднее отклонение. Его вычисляют следующим образом (пример, ко­торый мы здесь приведем, не имеет ничего общего с нашим гипотетиче­ским экспериментом).

Собрав все данные и расположив их в ряд:

3 5 6 9 11 14,

находят среднюю арифметическую для выборки:

(3+5+6+9+11+14)/6=48/6=8

Затем вычисляют отклонения каждого значения от средней и сум­мируют их:

-5 -3 -2 +1 +3 +6

(3-8) +(5-8) +(6-8) +(9-8) + (11-8) + (14-8).

Однако при таком сложении отрицательные и положительные отклонения будут уничтожать друг друга, иногда даже полностью, так что резуль­тат (как в данном примере) может оказаться равным нулю. Из этого яс­но, что нужно находить сумму абсолютных значений индивидуальных от­клонений и уже эту сумму делить на их общее число. При этом получит­ся следующий результат:

5 3 2 1 3 6

(3-8) + (5-8) + (6-8) + (9-8) + (11-8) + (14-8) = 20/ 6 = 33,3

Общая формула:

Среднее отклонение = Σ׀ d ׀/n ,


где Σ (сигма) означает сумму; (d) - абсолютное значение каждого индивидуального отклонения от средней; n - число данных.



_________________________________________________________________

*Здесь мог проявиться эффект плацебо, связанный с тем, что за­пах дыма травы вызвал у испытуемых уверенность в том, что они нахо­дятся под воздействием наркотика. Для проверки этого предположения следовало бы повторить эксперимент со второй контрольной группой, в которой испытуемым будут давать только обычную сигарету.

Однако абсолютными значениями довольно трудно оперировать в алгебраических формулах, используемых в более сложном статистиче­ском анализе. Поэтому статистики решили пойти по "обходному пути", позволяющему отказаться от значений с отрицательным знаком, а имен­но возводить все значения в квадрат, а затем делить сумму квадратов на число данных. В нашем примере это выглядит следующим образом:

((-5)2+(-3)2+(-2)2+(+1)2+(+3)2+(+3)2+(+6)2)/6=25+9+4+1+9+36 = 84/6 =14

В результате такого расчета получают так называемую вариансу*. Формула для вычисления вариансы, таким образом, следующая:

Варианса = Σ d2/n

Наконец, чтобы получить показатель, сопоставимый по величине со средним отклонением, статистики решили извлекать из вариансы квад­ратный корень. При этом получается так называемое стандартное отклонение**: Стандартное отклонение = В нашем примере стандартное отклонение равно = 3,74. Следует еще добавить, что для того, чтобы более точно оценить стандартное отклонение для малых выборок (с числом элементов менее 30), в знаменателе выражения под корнем надо использовать не n, a (n-1): Σd2/(n-1).

Вернемся теперь к нашему эксперименту и посмотрим, насколько полезен оказывается, этот показатель для описания выборок. На первом этапе, разумеется, необходимо вычислить стандартное отклонение для всех четырех распределений.

Сделаем это сначала для фона опытной группы:

Таблица 17

Расчет стандартного отклонения для фона контрольной группы


Испытуемые

Число пора­женных мише­ней в серии

Средняя

Отклонение от средней

Квадрат отклонения от средней (d2)

1

19

15,8

-3,2

10,24

2

10

15,8

+5,8

33,64

3

12

15,8

+3,8

14,44

*

*

*

*

-

15

22

15,8

-6,2


38,44

Сумма Σ d2=131,94

Варианса S2 = Σd2/(n-1)=131,94/14=9,42

Стандартное отклонение (S) = = = 3,07.

__________________________________________________________________

*Варианса представляет собой один из показателей разброса, ис­пользуемых в некоторых статистических методиках (напр., при вычисления кри­терия t Стьюдента). Следует отметить, что в отечественной литературе вариансу часто называют дисперсией. - Прим. перев.). **Стандартное отклонение для популяции обозначается маленькой гре­ческой буквой сигма (σ), а для выборки - буквой S . Это касается и вариансы, то есть квадрата стандартного отклонения: для популяции она обозначается σ2, а для выборки – S2 .

*Формула для расчетов и сами расчеты приведены здесь лишь в качестве иллюстрации. В наше время гораздо проще приобрести такой карманный микрокалькулятор, в котором подобные расчеты уже заранее запрограммированы, и для расчета стандартного отклонения достаточно лишь вести данные, а затем нажать клавишу б*.

О чем же свидетельствует стандартное отклонение, равное 3,07? Оказывается, оно позволяет сказать, что большая часть результатов (выраженных здесь числом пораженных мишеней) располагается в пределах 3,07 от средней, т.е. между 12;73(15,8 - 3,07) и 18,87(15,8 + 3;07). Для того чтобы лучше понять, что подразумевается под большей частью результатов, нужно сначала рассмотреть те свойства стандарт­ного отклонения, которые проявляются при изучении популяции с нор­мальным распределением.




Статистики показали, что при нормальном распределении "большая часть" результатов, располагающаяся в пределах одного стандартного отклонения по обе стороны от средней, в процентном отношении всегда одна и та же и не зависит от величины стандартного отклонения: она соответствует 68 % популяции (т.е. 34 % ее элементов располагается слева и 34 % - справа от средней):

Рис.12

Точно так же рассчитали, что 94,45% элементов популяции при нор­мальном распределении не выходит за пределы двух стандартных откло­нений от средней:




Рис.13

и что в пределах трех стандартных отклонений умещается почти вся популяция 99,73%




Рис.14

Учитывая, что распределение частот фона контрольной группы до­вольно близко к нормальному, можно полагать, что 68 % членов всей популяции, из которой взята выборка; тоже будет получать сходные ре­зультаты, т.е. попадать примерно в 13-19 мишеней из 25. Распределение результатов остальных членов популяции должно выглядеть следующим образом:



Гипотетическая популяция, из которой взята контрольная группа (фон)

Рис. 15

Что касается результатов той же группы после воздействия изучаемого фактора, то стандартное отклонение для них оказалось рав­ным 4,25 (пораженных мишеней). Значит, можно предположить, что 68% результатов будут располагаться именно в этом диапазоне отклонений от средней, составляющей 16 мишеней, т.е. в пределах от 11,75(16-4,25) до 20,25(16+4;25), или, округляя, 12-20 мишеней из 25. Видно, что здесь разброс результатов больше, чём в фоне. Эту разницу в разбросе между двумя выборками для контрольной группы можно графически пред­ставить следующим образом:




Рис. 16

Поскольку стандартное отклонение всегда соответствует одному и тому же проценту результатов, укладывающихся в его пределах вокруг средней, можно утверждать, что при любой форме кривой нормального распределения та доля ее площади, которая ограничена (с обеих сторон) стандартным отклонением, всегда одинакова и соответствует одной и той же доле всей популяции. Это можно проверить на тех наших выборках, для которых распределение близко к нормальному, на данных о фоне для контрольной и опытной групп.

Итак, ознакомившись с описательной статистикой, мы узнали, как можно представить графически и оценить количественно степень разбро­са данных в том или ином распределении. Тем самым мы смогли понять, чем различаются в нашем опыте распределения для контрольной группы до и после воздействия. Однако можно ли о чем-то судить по этой раз­нице - отражает ли она действительность или же это просто артефакт, связанный со слишком малым объемом выборки? Тот же вопрос (только еще острее) встает и в отношении экспериментальной группы, подверг­нутой воздействию независимой переменной. В этой группе стандартное отклонение для фона и после воздействия тоже различается примерно на 1(3,14 и 4,04 соответственно). Однако здесь особенно велика разница между средними - 15,2 и 11,3. На основании чего можно было бы утверж­дать, что эта разность средних действительно достоверна, т.е. доста­точно велика, чтобы можно было с уверенностью объяснить ее влиянием независимой переменной, а не простой случайностью? В какой сте­пени можно опираться на эти результаты и распространять их на всю популяцию, из которой взята выборка, т.е. утверждать, что потребле­ние марихуаны и в самом деле обычно ведет к нарушению глазодвигатель­ной координации?

На все эти вопросы и пытается дать ответ индуктивная статистика.


Индуктивная статистика

Задачи индуктивной статистики заключаются в том, чтобы опреде­лять, насколько вероятно, что две выборки принадлежат к одной попу­ляции.

Давайте наложим друг на друга, с одной стороны, две кривые - до и после воздействия - для контрольной группы и, с другой стороны, две аналогичные кривые для опытной группы. При этом масштаб кривых должен быть одинаковым.



Рис. 17

Видно, что в контрольной группе разница между средними обоих распределений невелика, и поэтому можно думать, что обе выборки принадлежат к одной и той же популяции. Напротив, в опытной группе большая разность между средними позволяет предположить, что рас­пределения для фона и воздействия относятся к двум различным попу­ляциям, разница между которыми обусловлена тем, на одну из них пов­лияла независимая переменная.

Проверка гипотез

Как уже говорилось, задача индуктивной статистики - определять, достаточно ли велика разность между средними двух распределений для того, чтобы можно было объяснить ее действием независимой переменной, а не случайностью, связанной с малым объемом выборки (как, по-види­мому, обстоит дело в случае с опытной группой нашего эксперимента).


При этом возможны две гипотезы:

I) нулевая гипотеза0), согласно которой разница между распределениями недостоверна; предполагается, что различие недостаточ­но значительно, и поэтому распределения относятся к одной и той же популяции, а независимая переменная не оказывает никакого внимания;

2) альтернативная гипотеза1), какой является рабочая гипо­теза нашего исследования. В соответствии с этой гипотезой различия между обоими распределениями достаточно значимы и обусловлены влия­нием независимой переменной.

Основной принцип метода проверки гипотез состоит в том, что выдвигается нулевая гипотеза Н0, с тем чтобы попытаться опровергнуть ее и тем самым подтвердить альтернативную гипотезу Н1. Действительно, если результаты статистического теста, используемого для анализа разницы между средними, окажутся таковы, что позволят отбросить Н, это будет означать, что верна Н1, т.е. выдвинутая рабочая гипотеза подтверждается.

В гуманитарных науках принято считать, что нулевую гипотезу можно отвергнуть в пользу альтернативной гипотезы; если по резуль­татам статистического теста вероятность случайного возникновения найденного различия не превышает 5 из 100*. Если же этот уровень достоверности не достигается, считают, что разница вполне может быть случайной и поэтому нельзя отбросить нулевую гипотезу.

Для того чтобы судить о том, какова вероятность ошибиться, принимая или отвергая нулевую гипотезу, применяют статистические ме­тоды, соответствующие особенностям выборки.

Так, для количественных данных при распре­делениях, близких к нормальным, используют параметрические методы, основанные на таких показателях, как средняя и стандартное отклоне­ние. В частности, для определения достоверности разницы средних для двух выборок применяют метод Стьюдента, а для того чтобы судить о различиях между тремя или большим, числом выборок, - тест F , или дисперсионный анализ.

__________________________________________________________________

*Разумеется, риск ошибиться будет еще меньше, если окажется, что эта вероятность составляет 1 на 100 или, еще лучше, 1 на 1000. Кроме того, выбор статистического метода зависит от того, явля­ются ли те выборки, средние которых сравниваются, независимыми (т.е., например, взятыми из двух разных групп испытуемых) или зависимыми (т.е. отражающими результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия или после двух различных воздействий).

Если же мы имеем дело с неколичественными данными или выборки слишком малы для уверенности в том, что популяции, из которых они взяты, подчиняются нормальному распределению, тогда используют нeпараметрические методы - критерий χ2 (хи-квадрат) для качественных данных и критерии знаков, рангов, Манна-Уинти, Вилкоксона и др. для порядковых данных.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящее пособие написано как введение в экспериментальную педагогику, где представлены лишь некоторые ее вопросы и наиболее доступные математические методы обработки. Рассмотренные в пособии основные понятия, используемые при математической обработке данных, правильный выбор критериев, метода математической статистики помогут педагогам грамотно провести эксперимент и обработать его результаты. Важным моментом при начинании любого исследования всегда является правильный расчет объемов выборки и репрезентативность педагогического эксперимента. С использованием доступных примеров эти вопросы рассмотрены в главах 4 и 5. Шестая глава «Статистика и обработка данных» дает некоторые представления об основных понятиях статистики, использование которых на практике также будет способствовать успешному началу педагогического исследования. Внимательное изучение библиографических списков литературы по ходу всего пособия поможет начинающим исследователям расширить свой круг познаний в области математической обработки данных, а также пополнить личную картотеку книг.


ПРИЛОЖЕНИЕ 1


Рекомендации по применению математического аппарата

при обработке результатов педагогического эксперимента

[Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. – СПб.: Изд-во «Речь», 2001. – 350с.]


1. Ознакомиться с типами шкал измерения (наименований, порядковая, интервальная, отношений) [с.12-20].

2. Рассмотреть формулы для вычисления среднего арифметического и дисперсии (Д) [с.21], среднего квадратического (σ = √Д) [с.22] , показателей асимметрии и эксцесса распределения [с.22-23] , правило «трех сигм», условие «нормальности» ( , т.е. равенство среднего, моды и медианы).

3. Рассмотреть смысл «нулевой» (Ho) и «альтернативной» (H1) гипотез [с.24-25] , назначение статистических критериев, понятие степеней свободы (для зависимой выборки υ = n - 1, для 2-х независимых выборок, например, контрольной и экспериментальной групп численностью n1 и n2 имеем для υ = (n1+ n2) – 2) [с.26-27].

4. Критерии делятся на параметрические, включающие в форму расчета параметры распределения, т.е. средние и дисперсии (t - критерий Стьюдента, критерий Фишера F и др.) и непараметрические, основанные на частотах или рангах (критерий знаков, критерий Вилкоксона Т и др.). Возможности и ограничения их приведены в табл. 1.1. (стр.28), например:

- t критерий Стьюдента позволяет прямо оценить различия в средних, полученных в двух выборках (КГ и ЭГ);

- критерий φ* позволяет выявить тенденции изменения признака при переходе от одного условия к другому при любом распределении признака.

5. Нулевая гипотеза (Но) отклоняется и принимается альтернативная (Н1), если расчетное значение критерия (tрасч) ≥ tкрит (α) при заданном уровне значимости α (αopt = 0,01 или 0,05) или доверительной вероятности γ = 1-α (0,99 или 0,95).

6. Классификация задач и методов их решения приведена в табл.1.2 (стр.34), например:

- для выявления различий в уровне исследуемого признака в 2-х выборках используется критерии Розенбаума (Q), или Манна-Уитни (U), или φ* (угловое преобразование Фишера);

- для оценки сдвига значений исследуемого признака по двум замерам в одной и той же выборке – критерии знаков (G), или Вилкоксона (Т), или φ* - критерий;

- для выявления различий в распределении признака – критерий Пирсона (χ2) или φ* - критерий;

- для выявления степени согласованности изменений двух признаков – коэффициент ранговой корреляции Спирмена (rs).

7. Алгоритмы принятия решения о методе обработки результатов эксперимента зависят от его постановки и приведены на стр. 35.

8. Критерий Розенбаума (Q) используется для оценки различий между двумя выборками по уровню признака, измеренного количественно, когда в каждой выборке ≥ 11 чел. (алгоритм подсчета приведен на стр.48).

9. Критерий Вилкоксона (Т) применяется для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке (nє [5;50]). Алгоритм подсчета приведен на стр.94.

10. Многофункциональный критерий φ* (угловое преобразование Фишера) предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта.


ПРИЛОЖЕНИЕ 2


О применении t-критерия Стьюдента


Известно, что t-критерий Стьюдента применяется для сравнения результатов эксперимента в двух выборках. Если они независимы (разные группы уч-ся, студентов; одна и та же группа, но эксперимент проводится по разным методикам), то при условии распределения индивидуальных результатов эксперимента по нормальному закону, результаты считаются статистически различными на уровне значимости α (α: 0,10; 0,05; 0,01),

если tрасч≥tкрит (1)

Значения tкрит берутся из таблиц с учетом значения α. Так, например, при α=0,05 tкрит = 2,0 (табл. ts). Значение tрасч вычисляется по ф-ле:

(2)

где N1 и N2 – объемы сравниваемых выборок, - дисперсии результатов в двух выборках, - математические ожидания (средние арифметические) результатов эксперимента:

(3)

где Мi – значения измеряемого параметра i-го испытуемого:

(4)

Если положить, что для стратифицированной группы (подгруппы) N1≈N2 , а σ1 ≈ σ2 ≈ d/6, где d=qmax- qmin – размах используемой шкалы, то ф-ла (2) принимает вид:

(5)

где

Пример 1.

Предположим, что d = 3 (5-ти балльная шкала: qmax=5б., qmin = 2б.), а N=25 чел., то



Для выполнения условия tрасч ≥ tкрит = 2,0 (для N>20) необходимо потребовать, чтобы (6)

Пример 2.

Если d=9 (10-ти балльная шкала), то при N=25 чел.



из условия tрасч ≥ tкрит = 2,0 следует, что (7)

Пример 3.

Если d=3, а N=100 чел., то

, отсюда: (8)


Пример 4.

Если d=9, а N=100, то

Отсюда:

Если выборки зависимые, то вместо ф-лы (2), используется формула:

(9)

где разность между 2-м и 1-м результатом у каждого i-го испытуемого; N- их число.

Пример 5.

Пусть результаты 1-й, 2-й и 3-й контр. работы у 20-ти уч-ся одного класса по 5-ти балльной шкале:

2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,3,4,4,4,5,5,5,5 ()

3,3,3,2,2,5,3,4,4,5,5,5,5,3,5,4,4,3,5,5 ()

4,3,5, далее idem ()



(относительная разность:

(10)

для α = 0,10 tкр = 1,73.

Тогда имеем: t/расч < tкр, т.е. различия нет,

t//расч > tкр., т.е. различие есть.

Для α = 0,05 tкр = 2,0, т.е. на этом уровне различия в результатах нет.


ПРИЛОЖЕНИЕ 3



О применении коэффициента ранговой корреляции Спирмена (rs)


При обработке результатов педагогического эксперимента, выраженных в рангах (порядковая шкала), для определения корреляции (correlatio-

латин.-соотношение [БСЭ,т.13,с.210-212]) можно использовать коэффициент

Спирмена:

(1)

где DR – разность рангов двух групп показателей, n – число показателей.

Пример 1. Пусть две группы экспертов оценили важность разделов учебного предмета.

Таблица 1

i

Э1

Э2

R1i

R2i

DRi

DRi2

1

4

6

5,5

7,5

- 2,0

4

2

1

2

1,5

2,5

-1,0

1

3

4

3

5,5

4

1,5

2,25

4

2

1

3

1

2,0

4

5

5

6

7

7,5

-0,5

0,25

6

1

2

1,5

2,5

-1,0

1

7

3

4

4

5

-1,0

1

8

6

5

8

6

2,0

4

å

26

29

36

36

0

17,5

Так как встречаются совпадающие значения (связанные ранги), то заменим их на полусуммы занимаемых ими мест (столбцы R1 i и R2 i по схеме:

1 и 1 занимают 1-е и 2-е место и заменяются на (1+1) : 2=1,5 ранга; 2 оказалось теперь на 3-м месте; 3 – на 4-м; 4 и 4 занимают теперь 5 и 6 места и заменяются на (5+6) : 2=5,5 и т.д.). Если все ранги разные, то их сумма должна быть равна n (n=1)/2 (в нашем случае: 8 (8+1) /2 =36). Если разность значений рангов (R1i - R2i или R2i – R1i) найдена правильно, то их сумма равна нулю. Так как , а n = 8, то r s = 0,79. Промежуточные значения – 1 < r s < 1 являются мерой корреляционной зависимости между мнениями двух групп экспертов (в общем случае – между двумя результатами педагогического эксперимента), причем, чем ближе

| r s | к нулю, тем зависимость меньше. Если r s = 1, то между данными имеется прямая зависимость, а если r s = -1, то противоположная (с увеличением ранга по 1-й группе показателей соответствующий ранг по 2-й группе уменьшается; «чем лучше «А», тем хуже «В»). (Требование «нормальности» распределения значений r i на данный метод не распространяется).

Значимость вычисленного коэффициента r s можно проверить по схеме:

| tрасч. | > tкрит. (a), (2)

(3)

где a - уровень значимости (значения tкр находится из таблиц для критических точек распределения Стьюдента с учетом числа степеней свободы К = n-2).

Для нашего примера: к = 6 , t кр: 1,94; 2,45; 3,14; 3,71

для значений a = 0,10; 0,05; 0,02; 0,01 (соответственно).
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Литература по математическим методам в педагогике литература iconКрупнейшие Электронные библиотеки
Альдебаран крупнейшая электронная библиотека on-line. Здесь собрана художественная, учебная и техническая литература и книги различных...
Литература по математическим методам в педагогике литература icon1. Античная литература Апулей
Скандинавская литература 9 авторов, 52 текста; 10. Польская литература 6 авторов, 20 текстов
Литература по математическим методам в педагогике литература iconLidia Zasaviţchi Janna Nikolaev
Всесоюзное совещание по физическим и математическим методам в координационной химии (Кишинев)
Литература по математическим методам в педагогике литература iconРабочая программа 5 класс Литература пояснительная записка
«Литература. 1-11 кл.»/ Под ред. Г. И. Беленького, Ю. И. Лысого, М: «Мнемозина», 2009 год; умк состоит прежде всего из учебника «Литература....
Литература по математическим методам в педагогике литература iconЛитература основная литература общая
Электронный вариант. Саратов, 2005. Патентное законодательство. Юридические акты и комментарий. М.: "Юрид литература", 1994. Справочник...
Литература по математическим методам в педагогике литература iconЛитература второй половины 19 века Литература конца 19 и начала 20 века Литература первой половины 20 века Литература второй половины 20 века Тест имеет следующую структуру: Раздел «Теория литературы»
Тест состоит из 30 заданий, к каждому из которых даны варианты ответов. Задания расположены по принципу возрастания трудности. При...
Литература по математическим методам в педагогике литература iconУчебно-методический комплекс по дисциплине дпп. Ф. 14. Детская литература (уд-04. 13-004) Для специальности 050301 Русский язык и литература
Учебно-методический комплекс дисциплины «Детская литература» раскрывает содержание и методику работы по одной из основных дисциплин...
Литература по математическим методам в педагогике литература iconКазанский государственный университет Научная библиотека им. Н. И. Лобачевского
Литература. Литературоведение. Народное поэтическое творчество. Художественная литература. 20
Литература по математическим методам в педагогике литература iconЛитература: тематический план
Тематическае планы лекционных курсов, практических занятий и экзаменационные вопросы, рекомендуемая литература
Литература по математическим методам в педагогике литература iconСтатья относится к достаточно самостоятельной области математическим методам анализа социологических данных. Основной интерес в ней к математическим вопросам, социологические постановки служат для постановки математических задач.
Орлов А. И. Теория измерений и методы анализа данных // Современная социология — современной России: Сборник статей памяти первого...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница