Случай 2.1. Две фирмы на рынке в ситуации картельного сговора.
Предполагается, что картельный сговор заключается фирмами на равных условиях, то есть как выпуски, так и прибыли обеих фирм равны. Стратегия поведения фирм на рынке в ситуации картельного сговора – максимизация своей совместной прибыли. При этом общие выпуск, доход, издержки выпуска и прибыль фирм, а также цена за единицу товара равны аналогичным величинам для случая монополии на рынке:
 ,  ,  ,  ,  , (13)
а выпуск, доход, издержки выпуска и прибыль каждой i-ой фирмы рассчитываются как половина соответствующих величин для случая монополии на рынке:
 ,  ,  ,  . (14)
Случай 2.2. Две конкурирующие фирмы в ситуации равновесия Курно.
Равновесие Курно складывается в ситуации, когда обе фирмы в конкурентной борьбе применяют стратегию Курно. Тогда прибыль каждой i-ой фирмы составляет
 , (15)
а выпуск каждой i-ой фирмы равен
 . (16)
При этом на рынке складывается цена за единицу товара
 . (17)
Доход каждой i-ой фирмы составит
 , (18)
а издержки выпуска каждой i-ой фирмы равны
 . (19)
Общий выпуск фирм равен
 , (20)
общий доход фирм равен
 , (21)
общие издержки выпуска фирм равны
 , (22)
а общая прибыль фирм равна
 . (23)
Случай 2.3. Две конкурирующие фирмы в ситуации равновесия Стакельберга.
Равновесие Стакельберга складывается в ситуации, когда одна из двух фирм в конкурентной борьбе применяет стратегию Стакельберга, в то время как другая фирма применяет стратегию Курно. Без ограничения общности будем считать, что первая фирма применяет стратегию Стакельберга, а вторая – стратегию Курно. Тогда прибыль первой фирмы составляет
 , (24)
прибыль второй фирмы составляет
 , (25)
выпуск первой фирмы равен
 , (26)
а выпуск второй фирмы равен
 . (27)
При этом на рынке складывается цена за единицу товара
 . (28)
Доход i-ой фирмы составит
 , (29)
а издержки выпуска i-ой фирмы равны
 . (30)
Общий выпуск фирм равен
 , (31)
общий доход фирм равен
 , (32)
общие издержки выпуска фирм равны
 , (33)
а общая прибыль фирм равна
 . (34)
Случай 2.4. Две конкурирующие фирмы в ситуации неравновесия Стакельберга.
Неравновесие Стакельберга складывается в ситуации, когда обе фирмы в конкурентной борьбе применяют стратегию Стакельберга. Тогда прибыль каждой i-ой фирмы составляет
 , (35)
а выпуск каждой i-ой фирмы равен
 . (36)
При этом на рынке складывается цена за единицу товара
 . (37)
Доход каждой i-ой фирмы составит
 , (38)
а издержки выпуска каждой i-ой фирмы равны
 . (39)
Общий выпуск фирм равен
 , (40)
общий доход фирм равен
 , (41)
общие издержки выпуска фирм равны
 , (42)
а общая прибыль фирм равна
 . (43)
Случай 3. Большое число участников на конкурентном рынке с малой долей каждого из них на нем.
Для нормального функционирования рынка с большим числом участников необходимо, чтобы индивидуальные действия различных участников были согласованы между собой. Разрешение конфликта между участниками рынка, преследующими свои цели, возможно не только прямым принудительным путем, но и косвенно через конкурентный рыночный механизм, основанный на регулирующем действии системы цен. Если система цен определена, то любая рыночная сделка независимо от того, является ли рынок конкурентным или нет, осуществляется в соответствии с этой системой цен. Если участники не могут влиять на цены, то рынок называется конкурентным. На конкурентном рынке цены для каждого участника неуправляемы, и ему остается только пассивно приспосабливаться к существующей системе цен.
При некоторой системе цен индивидуальные планы (намерения) участников становятся совместимыми, т.е. такая система цен обеспечивает распределение ресурсов и продуктов на основе разрешения конфликта между участниками. Такая равновесная ситуация называется конкурентным равновесием. Конкурентное равновесие представляет собой совместное распределение производства и потребления, при котором совокупный спрос не превосходит совокупного предложения, стоимость совокупного спроса в конкурентных ценах равна стоимости совокупного предложения в этих же ценах, при этом каждый потребитель максимизирует свою полезность в конкурентных ценах, а каждый производитель – свою прибыль в этих же ценах. Таким образом, существование конкурентного равновесия означает существование такой системы равновесных (конкурентных) цен, при которой согласуются конфликтные интересы потребителей и производителей.
Для изучения конкурентного равновесия разработана модель Вальраса. В рамках модели Вальраса решается вопрос о том, при каких условиях существует конкурентное равновесие (теорема Эрроу-Дебре), исследуется, для каких состояний экономики возможен переход в состояние конкурентного равновесия, а для каких невозможен. Если же переход возможен, модель Вальраса позволяет указать управляющее правило, при котором этот переход осуществится.
При выполнении данной расчетно-графической работы предполагается, что состояние конкурентного равновесия на рынке возможно и осуществим переход в это состояние (установление равновесной цены). Существует много моделей установления равновесной цены на монотоварном рынке. В данной расчетно-графической работе производятся расчеты по каждой из трех наиболее известных из них: паутинообразной модели, дискретной и непрерывной модели Эванса.
В моделях установления равновесной цены на монотоварном рынке поведение продавцов-производителей полностью описывается функцией предложения. При выполнении данной расчетно-графической работы используется линейная функция предложения, имеющая следующий вид:
 ,  ,  ,  , (44)
где S – количество товара, поставляемого на данный рынок за единицу времени при цене p за единицу товара (по-английски “supply” – предложение),
– модуль свободного члена функции предложения,
– коэффициент функции предложения.
Состояние равновесия характеризуется равенством спроса и предложения
 , (45)
причем при выполнении условия
 (46)
это уравнение имеет единственное решение  , так что состояние равновесия
 (47)
единственно. Равновесная цена рассчитывается следующим образом:
 , (48)
а спрос и предложение при равновесной цене вычисляется по формуле
 . (49)
Само состояние конкурентного равновесия (45), описываемое равновесной ценой (48) и величиной спроса и предложения при ней (47), едино для всех моделей установления равновесной цены, но динамика цены, спроса и предложения в процессе установления равновесной цены различна для разных моделей. Все модели установления равновесной цены основаны на предположении, что изменение цены зависит от разности спроса и предложения: если спрос выше предложения, то цена возрастает, в противном случае убывает. Далее рассмотрим отдельно каждую из трех таких моделей: паутинообразная модель, дискретная модель Эванса и непрерывная модель Эванса.
Случай 3.1. Паутинообразная модель установления равновесной цены.
Паутинообразная модель позволяет реализовать процесс «нащупывания» равновесной цены. Пусть в начальный момент времени установлена начальная цена  , при этом спрос оказался меньше предложения, т.е.  , тогда понижаем цену до уровня  , при котором спрос равен предложению при первоначальной цене  . При новой цене уже спрос превышает предложение, т.е.  , поэтому повышаем цену до уровня  , при котором  , и т.д. Таким образом, реализуется рекуррентный процесс, описываемый рекуррентным соотношением
 ,  . (50)
Для сходимости этого процесса к состоянию равновесия при линейных функциях спроса и предложения необходимо и достаточно выполнения условия
 , (51)
т.е. линия спроса должна быть более наклонной, чем линия предложения. Сходимость данного рекуррентного процесса означает устойчивость состояния равновесия.
Для линейных функций спроса и предложения рекуррентное соотношение (50) принимает вид:
 , , (52)
откуда
 , . (53)
Случай 3.2. Дискретная модель Эванса.
В дискретной модели Эванса время считается дискретным (вся числовая ось времени разбита на равные интервалы длиной  , отмеряющие шаги по времени). Все рассматриваемые в модели моменты времени пронумерованы неотрицательными целыми числами (момент времени с номером t имеет величину  ). Скорость изменения цены полагается пропорциональной превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности  , определяемым как
 , (54)
где  – величина изменения цены за один шаг времени при величине превышения спроса над предложением, равной  .
Проведение расчетов по дискретной модели Эванса заключается в реализации рекуррентного вычислительного процесса, описываемого рекуррентным соотношением для цены в момент времени t:
 , . (55)
Результаты расчетов по паутинообразной модели и дискретной модели Эванса сводятся в таблицу 2.
Таблица 2 – Результаты расчетов по паутинообразной модели и дискретной модели Эванса
Номер
итерации
|
Паутинообразная модель
|
Дискретная модель Эванса
|
Цена
|
Спрос
|
Предложение
|
Цена
|
Спрос
|
Предложение
|
0
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
T
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина спроса и предложения на очередной итерации t рассчитывается как
 ,  , ,  , (56)
 ,  , ,  (57)
соответственно. Начальное значение цены  должно удовлетворять условию
 . (58)
Случай 3.3. Непрерывная модель Эванса.
В непрерывной модели Эванса время считается непрерывным, цена оказывается непрерывной функцией времени  , а скорость изменения цены пропорциональна превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности , определяемым как
 . (59)
Динамика цены описывается дифференциальным уравнением
 ,  . (60)
Уравнение (60) имеет стационарную (равновесную) точку (48), имеющую смысл равновесной цены. Решение дифференциального уравнения (60) дается следующей формулой:
 . (61)
Результаты расчетов по непрерывной модели Эванса сводятся в таблицу 3.
Таблица 3 – Результаты расчетов по непрерывной модели Эванса
Время t
|
Цена
|
Спрос
|
Предложение
|
0
|
|
|
|
1
|
|
|
|
2
|
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
T
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина спроса и предложения в момент времени  рассчитывается как
 , (62)
 (63)
соответственно. Начальное значение цены должно удовлетворять условию (58).
|
