Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку




Скачать 32.72 Kb.
НазваниеНаучно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку
Дата03.02.2016
Размер32.72 Kb.
ТипДокументы



Брянская городская администрация

Управление образования

Городской информационно-методический центр


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 53» г. Брянска


Научно-практическая конференция учащихся и педагогов

,,Первые шаги в науку"


Исследовательский проект

«Трансцендентные кривые»

математика


Выполнили: ученицы 11 ,,А" класса

Филюкова Евгения

Ушакова Алла

Руководитель: Драп Людмила Стальевна.


г. Брянск - 2013г.

Аннотация


А вы знаете, что представляют собой трансцендентные кривые, и где мы сталкиваемся с ними в жизни?
Я тоже не знала, а проведя анкетирование в своей школе, выяснила, что большинство учеников солидарны со мной в этом вопросе. Именно поэтому в качестве темы своей работы я выбрала «Трансцендентные кривые».

Изучая выбранную тему, я потратила огромное количество времени на сбор наиболее полной информации о трансцендентных кривых, что сподвигло меня на создание общедоступного интернет-сайта, позволяющего каждому пользователю ознакомиться с основной информацией и примерами графиков кривых, что, по моему мнению, значительно сэкономит его время.
Я создала единственный, на данное время, сайт, который наиболее полно отражает информацию о трансцендентных кривых. Он будет полезен для учеников 10-11 классов, людей, которые интересуется данной темой и математикой в целом, и пользователей интернета.

Цель:

Классифицирование трансцендентных кривых по особым критериям и создание сайта с примерами решений трансцендентальных уравнений.

Задачи:

  1. Сбор и систематизация информации по выбранной теме.

  2. Рассмотрение кривых по определённым признакам.

  3. Поиск (создание) трансцендентальных уравнений.

  4. Создание сайта с основной информацией о трансцендентных кривых и примерами решений данных уравнений.

Методы изучения:



1. Аналитический

1.1. Сбор теоретических данных

1.2. Обработка информации

1.3.Обобщение

2.Практическое применение полученной информации


Трансцендентные кривые

Определение:
Кривая наз. трансцендентною, если прямолинейные координаты произвольной точки этой кривой не удовлетворяют уравнению вида:

Axαyß + A1xα1yß1 +... + Аnхαnyßn = 0, где А, А1, А2,... An данные числа, а показатели α, ß, а1, ß1, α2, ß2... αn, ßn числа целые положительные. Некоторые из этих показателей могут равняться нулю.

Если же уравнение кривой может быть приведено к вышеуказанному виду, то кривая называется алгебраическою.

Виды трансцендентных кривых

Каннабола (cannabola) — интернет-мем, представляющий собой выведенное (по собственным данным) пользователями «Живого Журнала» семейство математических функций, описывающих поведение внешней границы листа конопли. Самая простая каннабола аналитически записывается как r = (1 + sin(φ))(1 + 0.9cos(8φ))(1 + 0.1cos(24φ))
Архимедова спираль — плоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча с началом в O, в то время как сам луч равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ пропорционально углу поворота φ луча. Повороту луча на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так: ρ = k·φ, где k - смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану. Повороту прямой на 2π соответствует смещение a = 2kπ. Число a -называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так: ρ = (a/2π)·φ

Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая. Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так: ρ·φ = k. Параметрическая запись уравнения: x= k·cos(t)/t; y=k·sin(t)/t. При t->0:  x-> ∞; y->k
Логарифмическая спираль или изогональная спираль ― особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis ("удивительная спираль"). В полярных координатах кривая может быть записана как  ρ= a·exp(b·φ) либо φ=(1/b)·ln(r/a), что объясняет название "логарифмическая".  В параметрической форме может быть записана как x(t)=a·exp(bt)cos(t); y(t)=a·exp(bt)sin(t). Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке его на надгробие поместили Архимедову спираль.

Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная, нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами. Является плоской трансцендентной кривой. Уравнение в декартовых координатах: a·(exp(x/a)+exp(-x/a))/2. Цепь подвесного моста имеет массу намного меньшую, чем пролёт. При таких условиях цепь принимает форму параболы, а не цепной линии. Перевёрнутая цепная линия - идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.

Лемниската Бернулли — кривая, у которой произведение расстояний от каждой её точки до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. В прямоугольных координатах: (x2 + y2)2 - 2a2(x2 - y2) = 0, в полярных координатах: 
ρ2 = 2a2cos(2φ).  Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Название "лемниската" восходит к античному Риму, где так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению. Обобщением является многофокусная лемниската. (см. прил.,рис.1)

Алгебраические и трансцендентные кривые


Важный класс аналитических кривых составляют те, для которых функция  есть многочлен от двух переменных. В этом случае кривая, определяемая уравнением , называется алгебраической, в противном случае — трансцендентной.

Алгебраические кривые, определяемые уравнениями высших степеней, рассматриваются в алгебраической геометрии. При этом бо́льшую стройность приобретает их теория, если рассмотрение ведется на комплексной проективной плоскости. В этом случае алгебраическая кривая определяется уравнением вида

, где  — однородный многочлен трех переменных, являющихся проективными координатами точек.

Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать через линию уровня аналитической функции (или, в многомерном случае, системы функций). Примеры: Синусоида, Циклоида, Спираль Архимеда, Трактриса, Цепная линия, Гиперболическая спираль

1. Синусо́ида — плоская кривая, задаваемая в прямоугольных координатах уравнением

График уравнения вида

также называется синусоидой; термин «косинусоида» используется редко. Данный график получается из синусоидального сдвигом на  в отрицательном направлении оси абсцисс.

В приведённых формулах a, b, c, d — постоянные;

  • a характеризует сдвиг графика по оси Oy. Чем больше a, тем выше поднимается график;

  • b характеризует растяжение графика по оси Oy. Чем больше увеличивается b, тем сильнее возрастает амплитуда колебаний;

  • с характеризует растяжение графика по оси Ox. При увеличении c частота колебаний повышается ;

  • d характеризует сдвиг графика по оси Ox. При увеличении d график двигается в положительном направлении оси абсцисс.

Синусоидальное изменение какой-либо величины называется гармоническим колебанием. Примерами могут являться любые колебательные процессы начиная от качания маятника и кончая звуковыми волнами. Также синусоида — проекция на плоскость трёхмерной спирали, например, скрученного провода.

Синусоида пересекает ось абсцисс в точках . Ось ординат пересекает единожды в точке .

2. Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής — круглый)  плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса , катящейся без скольжения по прямой.
Уравнения


Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса .

Циклоида описывается параметрически ,

  • Уравнение в декартовых координатах:



  • Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Свойства


  • Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом . За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида , где  — произвольное целое число.

  • Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.

  • Длина арки циклоиды равна . Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).

  • Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли сообщил, что этот факт Галилей открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды. Математически этот факт первым доказал Роберваль около 1634 года с помощью метода неделимых.

  • Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен .

Таутохронность циклоиды

«Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности (см.прил.,рис.2): тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.

  • Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.

  • Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно — параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».

  • Детали машин, которые совершают одновременно равномерное, вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).

3. Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M , которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так: (1)

где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану (прил,рис.3).

Повороту прямой на  соответствует смещение a = |BM| = |MA| = . Число a— называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:



При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (прил, рис. 4), при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям  соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали . При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.

Площадь сектора


Площадь  сектора OCM:

где .

При   , формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

, где  — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — .

Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.

Вычисление длины дуги Архимедовой спирали


Бесконечно малый отрезок дуги  равен (прил, рис.5):

, где  — приращение радиуса , при приращении угла  на . Для бесконечно малого приращения угла , справедливо: . Поэтому:

так как  и или . Длина дуги  равна интегралу от  по  в пределах от  до :



4. Трактриса (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.

Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.

Уравнения


  • Параметрическое описание:





  • Уравнение в декартовых координатах:

, при 

Свойства


  • Площадь, ограниченная трактрисой и её асимптотой:

  • Длина дуги, от точки (0 ; a) до произвольной точки трактрисы:



  • Радиус кривизны:

  • Поверхность вращения трактрисы вокруг своей асимптоты (оси x), является псевдосферой.

  • Эволюта (огибающая нормалей):  (цепная линия)

  • При  трактриса имеет отрезок касательной постоянной длины, равный .

5. Цепная линия

Висящая цепь образует цепную линию (прил,рис.6)

Цепна́я ли́ния(прил.,рис.7)  — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Уравнение в декартовых координатах:

(о функции  см. Гиперболический косинус).

Свойства


  • Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии. Именно такая поверхность, проходя через две окружности, имеет минимальную площадь.

  • Длина дуги от вершины до произвольной точки (x; y):



  • Радиус кривизны:

  • Площадь, ограниченная цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс:


Применения

Арка


Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.

На арке в Сент-Луисе написана её формула в футах:



В метрах это

6. Гиперболическая спираль (прил.,рис.8) — плоская трансцендентная кривая. Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координатявляется обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так:



Уравнение гиперболической спирали в декартовых координатах:



Параметрическая запись уравнения:

Спираль имеет асимптоту y = a: при t стремящемся к нулю ордината стремится к a, а абсцисса уходит в бесконечность:





Вывод

Данная тема заинтересовала меня своей малоизученностью и неизвестностью широкому кругу читателей, поэтому я уверена, что моя работа найдёт широкое применение в данной области. Я достигла своей главной цели: проклассифицировала кривые по особым признакам. Изучив и переработав всю информацию, я сама сделала первый интернет-сайт ( расположен на сайте школы http://schckola53.ucoz.ru и transtsendentny.ucoz.ru.), объединяющий в себе всю информацию о кривых, который позволит любому человеку сэкономить огромное количество времени. Не нужно разыскивать теорию в просторах интернета, а прочесть всё ,что нужно, на одном ресурсе. Удобнее, не правда ли?

Список используемой литературы:

1. Большой энциклопедический словарь «Математика»,

Гл. редактор Ю.В. Прохоров, Научное изд-во «Большая Российская Энциклопедия», М.: 1998

2. Д.В. Клетеник Сборник задач по аналитической геометрии под ред. проф. Н.В.Ефимова, Государственное изд-во физико-математической литературы, М.: 1960

3. Математическая энциклопедия. Главный редактор И.М. Виноградов, т.3 – М.: «Советская энциклопедия», 1982

4.Материалы сети Internet

Приложение


Рис.1



Каннабола Архимедова спираль Гиперболическая спираль




Цепная линия Лемниската Бернулли Логарифмическая спираль


Рис.2 Рис.3 свойство таутохронности Архимедова спираль в полярной системе


Рис.4



Архимедова спираль при вращении по(зелёная линия) и против(синяя линия) часовой стрелки

Рис.5


Бесконечно малый отрезок дуги   Архимедовой спирали.


Рис.6 Рис.7


Висящая цепь образует цепную линию Цепная линия


Рис.8



Гиперболическая спираль


Исторический очерк


Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель (фр. Charles de Bovelles, 1479—1566) в труде 1501 года. Но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.

Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея
Мерсенн. Среди трансцендентных кривых, то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от , циклоида — первая из исследованных.

Паскаль писал о циклоиде:

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.

История


Открытие и первое исследование трактрисы (1670 год) принадлежит французскому инженеру, врачу и любителю математики Клоду Перро, брату знаменитого сказочника. Новая кривая заинтересовала математиков, её свойства выясняли Ньютон (1676), Гюйгенс (1692) и Лейбниц (1693).



Похожие:

Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку iconИсследовательская работа «Современное состояние беллигеративных ландшафтов на территории Брянской области»
Международная научно-практическая конференция учащихся и педагогов «Первые шаги в науку»
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку iconМеждународная научно-практическая конференция учащихся и педагогов «первые шаги в науку»
...
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку iconИсследовательская работа тема комплексная оценка видового состава растений экосистем рекреационной зоны «дубрава» природного комплекса «любужский лесопарк»
Международная научно-практическая конференция учащихся и педагогов «первые шаги в науку»
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку iconИсследовательская работа на тему: «Диагностика антропогенных нарушений ландшафтов по наличию видов-неофитов их сообществ в растительном покрове на примере отдельных территорий г. Брянска»
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов города Брянска «Первые шаги в науку»
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку iconНазвание работы
Наименование конференции: Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку»
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку iconИсследовательская работа «Динамика и распространение заболеваний желудочно-кишечного тракта среди детей и подростков города Брянска»
Международная научно-исследовательская конференция учащихся и педагогов «Первые шаги в науку»
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку iconНаучно-практическая конференция учащихся и педагогов города Брянска «Первые шаги в науку» «Нахождение центра масс полуцилиндра. Экспериментальная проверка вычислений»
Среди задач, в которых рассматривается движение механических систем (то есть отдельного твердого тела или системы тел), по конечной...
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку iconНаучно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку» Определение токсичности некоторых бытовых отходов методами биотестирования
Характеристика полимерных материалов, используемых при изготовлении одноразовой посуды и упаковок
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку iconНаучно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку»
Хх века приходится на англо-американизмы. Интерес к данным заимствованиям последних десяти-пятнадцати лет особенный. Поэтому для...
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку iconМеждународная научно-практическая конференция школьников и педагогов «Первые шаги в науку» Влияние электромагнитных полей
Например, если держать руку над теплой кухонной плитой, батареей отопления или же электрической лампочкой, то чувствуешь, как излучается...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib2.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница